2021届高考数学复习 压轴题训练 椭圆（4）（含解析）.doc

1、椭圆1直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是ABCD解：如图所示：对直线，令，解得，令，解得，故，则，设，则，而，则，解得，点又在椭圆上，所以，整理得，所以，所以故选：2已知椭圆的上顶点为，、为椭圆上异于的两点，且，则直线过定点AB，CD解：因为，所以，所以直线斜率存在，设直线，联立方程，消得，又，整理得，即，所以，代入得：，整理得得，所以直线过定点故选：3已知椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若，的平分线分别交轴于点，且，则椭圆的离心率为ABCD解：如下图所示：因为，所以由余弦定理得，又，所以因为，分别为，的平分线，所以，所以由题意可知，点，则由，可得，即，

2、在等式的两边同时除以，可得，因为，解得故选：4如图，椭圆的右焦点为，分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆上一点，记椭圆的离心率为，则ABCD解：，则，直线，与椭圆方程联立，可得，可得点的横坐标为，则，即，由，得，即，整理为：，则，即，解得或（舍去）故选：5已知椭圆的左、右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点设直线，的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为ABCD解：，设，则，则，则令，故时，取最小值，椭圆的离心率为故选：6卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线已知卡西尼卵形线是中心对

3、称图形且有唯一的对称中心若某卡西尼卵形线两焦点间的距离为2，且上的点到两焦点的距离之积为1，则上的点到其对称中心距离的最大值为A1BCD2解：设左、右焦点分别为，以线段的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，设曲线上任意一点，则，化简得该卡西尼卵形线的方程为，显然其对称中心为由得，所以，所以，所以当且仅当时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大值为故选：7已知椭圆上有三个点、，的中点分别为、，的斜率都存在且不为0，若为坐标原点），则A1BCD解：如图，设，则，两式作差得，即同理可得，故选：8已知点为椭圆的左顶点，为椭圆的右焦点，、在椭圆上，四边形为平行四边形为

4、坐标原点），过直线上一点作圆的切线，为切点，若面积的最小值大于，则椭圆的离心率的取值范围是ABCD解：因为四边形为平行四边形，所以，设点纵坐标为，代入椭圆的方程得，解得，则，解得，当，可得，所以直线的方程为，化简可得，所以即为点到直线的距离，所以，所以，整理得，故，所以，所以，所以舍去）或，所以的取值范围为，故选：二、 多选题9如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行，设圆形轨道的半径为，圆形轨道的半径为，则A椭圆轨道上任意两点距离最大为B椭圆轨

5、道的焦距为C若不变，则越大，椭圆轨道的短轴越短D若不变，则越小椭圆轨道的离心率越大解：由题可知椭圆轨道的半径为，为椭圆，设为，所以，为圆形轨道，半径为，所以，对于：由题可知椭圆上任意两点最大距离为，故不正确；对于：椭圆的焦距为，得，故正确；对于：由得，所以，若不变，越大，越大，故不正确；对于，不变，越小，越大，越小，则越大，故正确故选：10已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是A椭圆的焦距为2B椭圆的短轴长为C的最小值为D过点的圆的切线斜率为解：对于：因为椭圆的长轴长与圆的直径长相等，所以，即，设椭

6、圆的左焦点，由椭圆的定义可知，所以，所以，解得或5，因为，所以，即椭圆的焦距为，故正确，对于：由，所以椭圆的短轴长为，故错误，对于，故错误，对于：设过点的切线方程为，则，解得，故正确，故选：11如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，连接，并延长分别交于，两点，连接，与的面积分别记为，则下列命题：若记直线，的斜率分别为，则的大小是定值的面积是定值1线段，长度的平方和是定值5设，则其中正确的命题有ABCD解：，设直线方程为，代入抛物线方程得：，设，则，正确设直线的方程为：，由对称性令，代入椭圆的方程得：，同理可得，点到直线的距离，正确，正确，当且仅当时等号成立不正确故选：12已知椭圆

7、的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是A若，则的面积为B四边形，可能为矩形C直线的斜率为D若与、两点不重合，则直线和斜率之积为解：由椭圆，得，在中，由余弦定理可得，即，解得，故错误；若四边形为矩形，则，即，即，联立，得，得，即，得，该方程有实根，故正确；由，得，由对称性，不妨设，得，则，则，故正确；，所在直线方程为，与椭圆联立，可得，即得，故，则，故错误故选：三、 填空题13设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为解：的外接圆的半径，由正弦定理，所以，又由于，所以，在中，由余弦定理可得，

8、而，所以，所以可得：，由三角形的面积相等可得：，所以，所以，整理可得：，解得或，故答案为：14已知为椭圆的右焦点，过的下顶点和的直线与的另一交点为，若，则解：法（1）由椭圆的方程可得，所以，所以直线，联立，整理可得，可得或，所以，所以，因为，则，所以，解得，即，法（2）作垂直于轴于，易知，因为，所以，所以的纵坐标为，的横坐标为，所以的坐标为：，将点的坐标代入椭圆的方程：，解得，即，故答案为：315曲面被平面截成一椭圆，则椭圆上的点到原点距离的取值范围是解：设椭圆上的点，则椭圆上的点到原点的距离，满足的条件为：，作拉格朗日函数，可得，所以有或，有，不符合题意，所以舍弃，将代入和可得：，解得：，由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值分别在这两点处取到处取得，而，所以最大值和最小值分别为：，；故答案为：，16已知、为椭圆上两点，线段的中点在圆上，则直线在轴上截距的取值范围为解：设点，、，线段的中点为，则，两式相减整理得，当，即或时，此时直线的方程为，令，则，若，则在，上单调递减，；若，则在，上单调递减，；当时，直线过点或，且垂直于轴，在轴上无截距综上所述，直线在轴上截距的取值范围为，故答案为：，