鲁教版五四制《数学》九年级第上册《综合与实践》内容分析及教学设计(共63张PPT).ppt

1、鲁教版五四制数学九年级第上册综合与实践内容分析及教学设计“综合与实践”是初中数学课程的重要组成部分，是积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识的重要和有效的载体。新数学课程标准将每个学段的学习内容分成四个领域数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。我们的新鲁教版课本则明确的在章末安排了综合与实践的课题。“综合与实践”活动，限于教学时间、教学任务、教学组织和场地器械等因素，无法大量的开展课外的“综合与实践”活动。因此我们可以将这种教学形式运作到日常教学活动中，进行课内的模拟“综合与实践”。我们教材中的课题就是开展这些活动的良好范例。九年级上册 目录 第一章 反比例函数 综合与实践：能将

2、矩形的周长和面积同时加倍吗 第二章 直角三角形的边角关系 综合与实践：设计遮阳篷 第三章 二次函数 综合与实践：拱桥形状设计 第四章 投影与 视图综合与实践：能将矩形的周长和面积同时加倍吗？内容分析：本课题的基本内容是：是否存在一个矩形，其周长与面积分别是已知矩形的周长与面积的相同倍数。教材从学生熟悉的简单图形出发，引导他们逐步思考一个个问题，不断经历判断、选择、以及综合应用二次方程、方程组、不等式、函数等知识的过程。通过“做一做”积累经验，通过“想一想”诱导发现，通过“议一议”中的问题拓展与提升，在“读一读”中引出不同思路。教学建议：活动1.探究正方形“倍增”问题活动2.探究矩形“倍增”问题

3、活动3.探究矩形“减半”问题第一课时第二课时教学中注意引导学生分类研究，经历特殊到一般的过程，发现一般性结论，并寻求解决方法。对于每个探究活动都可按照“猜想-验证-发现规律-证明-拓广”的方式展开探究活动，使学生体验“数学化”的过程。教学过程：问题：任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?探究活动1:正方形的“倍增”问题学生独立思考，小组交流，代表展示学生展示不同方法：1.（特殊值法）设已知正方形的边长为1，其面积为1.若周长倍增，即边长变为2，则面积应为4.若面积变为2，则其边长应为2.不存在2.（画图法）对于给定正方形，固定所求正方形周长为

4、已知正方形的2倍，看看其面积能否变为已知正方形的2倍。不存在探究活动1:正方形的“倍增”问题2.（画图法）对于给定正方形，固定所求正方形周长为已知正方形的2倍，看看其面积能否变为已知正方形的2倍。探究活动1:正方形的“倍增”问题从简单图形出发，自然经历将问题特殊化的过程与方法为后续研究矩形的问题做铺垫。1.（特殊值法）设边长为1的正方形，其面积为1.若周长倍增，即边长变为2，则面积应为4.若面积变为2，则其边长应为2.探究活动1:正方形的“倍增”问题猜想：对一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的两倍。这个猜想对任意正方形一定成立吗？设计说明:让学生意识到，通

5、过几个特例得来的猜想不一定适用于所有正方形，必须通过证明才能确认。解:设给定的正方形边长为a,则其面积是a2.n 若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2;若面积倍增,即面积变为2a2,则其边长应为a.结论：不存在这样的正方形.aa22a4a22a2a探究活动1:正方形的“倍增”问题探究问题证明：教师引导学生用字母表示边长，得到一般性的结论。aa22a4a22a2a探究活动1:正方形的“倍增”问题探究问题证明：思维深化：由于所有正方形都是相似图形，若周长变为2倍，则面积必然变为4倍。反之若面积边为2倍，则周长必然变为2倍.结论：不存在这样的正方形.aa22a4a22a2a探究活动1:正方形

6、的“倍增”问题探究问题证明：说明：对于正方形的探究虽然简单，但这里要让学生完整经历从“猜想-验证-证明”的过程。为后面对矩形的探究提供一定的示范。探究活动1:正方形的“倍增”问题其它图形是否也有这样的性质？拓展：是否存在另一个正三角形，它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的2倍。圆、等边三角形、正多边形。归纳特点：周长或面积加倍的图形都彼此相似探究活动2:矩形的“倍增”问题任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？类比活动1的方法，思考探究的一般步骤？先通过特例得到猜想，然后通过字母表示证明一般性的结论，最后进行拓广.n矩形的形状太多了我们可以先

7、研究一个具体的矩形,比如长和宽分别为2和1,怎么样?探究活动2:矩形的“倍增”问题 解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2.212412所求矩形的周长和面积应分别为12和4.分组合作探究，然后交流展示(1)从周长是12出发,看面积是否是4;如果设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x,其面积为x(6-x).根据题意,得x(6-x)=4.即x2-6x+4=0.如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在.解这个方程得:结论:存在这样的矩形探究活动2:矩形的“倍增”问题(2)从面积是4出发,看周长是否是12.解:如果设所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长为x+4/x).根据题意,

8、得x+4/x=6.即x2-6x+4=0.显然这个方程有解,由此说明这样的矩形存在.解这个方程得:探究活动2:矩形的“倍增”问题结论:存在这样的矩形探究活动2:矩形的“倍增”问题（3）已知矩形的长为2，宽为1，则周长为6，面积为2，加倍后的矩形周长为12，面积为4.设加倍后的矩形长为x，宽为y，则：结论:存在这样的矩形探究活动2:矩形的“倍增”问题Oxy246642图1归纳：最终都要转化成一元二次方程求解（4）对于长和宽分别为2和1的矩形，我们已经得到了结论，但是否对所有矩形都成立呢？w由特殊到一般探究活动2:矩形的“倍增”问题 如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?如果已知矩形

9、的长和宽分别为4和1,5和1,n和1呢?更一般地,当已知矩形的长和宽分别为m和n时,是否仍然有相同的结论?w由特殊到一般 如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,n和1呢?更一般地,当已知矩形的长和宽分别为m和n时,是否仍然有相同的结论?探究活动2:矩形的“倍增”问题说明：在探讨一般化结论的时候，由于字母系数的方程求解对学生难度较大，可以师生共同完成，并进行课件演示。w由特殊到一般 分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn.从周长是4(m+n)出发,看面

10、积是否是2mn;解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其面积为x2(m+n)-x.根据题意,得x2(m+n)-x=2mn.即x2-2(m+n)x+2mn=0.解这个方程得:探究活动2:矩形的“倍增”问题 结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.探究活动2:矩形的“倍增”问题拓展延伸：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍？课后作业，让学生尝试解决，并提交研究报告。任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?n 小明认为,这个结论是正确的,理由是

11、:既然任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形 的周长和面积可以同时“加倍”,那么,原矩形自然满足新矩形的“减半”要求,即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.探究活动3:矩形的“减半”问题n如果矩形的长和宽分别仍为2和1,那么是否存在一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半?n如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?n如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,n和1呢?w由特殊到一般探究活动3:矩形的“减半”问题n解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面

12、积应分别为3和1.设所求矩形的长为x,那么它宽为1.5-x,其面积为x(1.5-x).根据题意,得nx(1.5-x)=1.n即2x2-3x+2=0.n如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在.n由b2-4ac=32-422=-70,知道这个方程没有实数根.w由特殊到一般结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.探究活动3:矩形的“减半”问题探究活动3:矩形的“减半”问题xO212133图2w由特殊到一般 解:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为m+n和mn/2.设所求矩形

13、的长为x,那么它宽为(m+n)/2-x,其面积为x(m+n)/2-x.根据题意,得x(m+n)/2-x=mn/2.即2x2-(m+n)x+mn=0.由=b2-4ac=(m+n)2-42mn=m2+n2-6mn.知道只有当m2+n26mn时,这个方程才有实数根:n结论:如果矩形的长和宽满足m2+n26mn时.才存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.探究活动3:矩形的“减半”问题综合与实践：设计遮阳篷内容分析：本课题设计遮阳棚让学生综合运用所学习知识解决实际问题，使学生经历将实际问题数学化的数学建模过程。教学建议：本课题可分成2课时完成。第1课时探究简单的平行于地面的遮阳棚

14、；第2课时探究向下倾斜的遮阳棚。教学建议：活动中更关注建模过程，引导学生将遮阳棚的问题用图形方式来解决。将复杂问题简单化、理想化，舍弃次要因素，作出合理假设。并在此基础上用恰当的数学形式表示，通过计算和推理，得到问题的结果。欣赏遮阳篷假设日常生活中,某居民楼地处北半球某地,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的正午时刻,太阳光与地平面的最小夹角为,最大夹角为.请你为该窗户设计一个遮阳篷,要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.hh你能按要求设计一个遮阳篷吗？把图1画成图2，其中AB表示窗户(AB=hcm)，BCD表示直角形遮阳篷。BCAD图1将问题图形

15、化简单化直角遮阳篷BCD中，哪个量会影响太阳光的入射情况呢？BCAD图2主要是遮阳篷的安装高度(BC),宽(CD)影响太阳光的射入！想一想你能按要求表示出BC和CD的长度吗？BCAD将问题图形化简单化既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.DC当太阳光与地面的夹角为时，要想使太阳光刚好能全部射入室内，遮阳篷BCD应如何设计？画出示意图。BA图3BCAD图2显然，BC和CD都不惟一分组探究，展示交流当太阳光与地面的夹角为 时，要想使太阳光刚好不射入室内，遮阳篷BCD应如何设计？画出示意图。BA图3BCAD图2CD显然，BC和CD都不惟一分组探究，展示交流如果要同

16、时满足(1)(2)两个条件，那么遮阳篷BCD应如何设计？画出示意图。BA图3BCAD图2DC显然，BC和CD惟一确定h分组探究，展示交流BADCh你能用含h、的关系式分别表示BC和CD吗？探究活动的重点应在将实际问题模型化、简单化和数学化的过程。议一议：北半球冬至正午，太阳光与地面的夹角最小；夏至正午，太阳光与地面夹角最大。上面探究中的和角如何确定。想一想如何利用你所学的知识，测量本地正午时刻太阳光与地平面的夹角？想一想做一做说明：设计遮阳篷联系生活实际，学生兴趣高，又可以动手进行测量和操作，学习氛围好。是开展数学活动的良好载体。做一做环节可以完全放给学生，自主合作完成。以研究报告的形式提交成

17、果。查阅有关资料或实际测量获得本地相应数据，为学校某个窗户设计遮阳篷综合与实践：拱桥形状设计内容分析：本课题旨在让学生经历研究性学习的过程，体会数学在建筑上的应用，并把所学二次函数的知识运用到拱桥设计上。教学建议：本课题是三个综合实践中较为贴近学生能力水平的课题。建议在教师给定的流程下，让学生自主完成探究过程。第1课时通过交流学生课前收集的桥梁资料丰富对拱桥的认识；把拱桥问题抽象成函数问题建立二次函数模型；根据具体情境进行拱桥设计，并展示交流设计方案。第2课时修改完善设计方案情境展示1【活动1】学生展示桥梁图片拱桥按形状可分为：圆弧拱桥、抛物线拱桥、悬链线拱桥。本次研究的是抛物线拱桥。同时抛物

18、线型拱桥又可分为上承式、中承式、下承式三种。情境展示1上承式抛物线拱桥中承式抛物线拱桥下承式抛物线拱桥问题：这些抛物线桥拱的形状由什么因素来决定？建立模型2跨度跨度跨度拱高拱高拱高AB建立模型2实物模型问题：1、我们知道二次函数的图象是抛物线，那么抛物线桥拱的形状与我们所学的二次函数图像之间有什么关系？2、在已知跨度和拱高的情况下，可否求出桥拱对应的函数表达式？xyAB建立模型2【说明】形象感受数形结合的思想，从而建立数学模型，实现了难点的突破。问题3：根据跨度和拱高可求出桥拱对应的函数表达式，反之函数表达式yaxbxc的系数是如何影响桥拱的跨度、拱高，从而影响桥拱形状的？实物模型函数图像函数

19、表达式建立模型2 某河穿城而过，急需在河上架设一座公路桥，桥下是一条宽46m的河流，河面距所要架设的公路桥桥面的高度是12m。专家分析，架抛物线型拱桥是最佳选择。请按专家的建议，小组合作，设计一座公路桥。要求画出拱桥设计图、说明设计思路，并求出桥拱抛物线的表达式。拱桥设计3学生小组合作，自主完成设计小组派代表利用投影展示自己的设计 内容：设计思路及设计图 由设计图抽象出的数学模型 函数表达式及求解过程思考：这种设计的优越性在哪儿？不足是什么？如何改进？（达到完善设计方案的目的）方案交流4九年级上册的三个综合与实践各有不同的作用，能将矩形的周长和面积同时加倍吗偏重抽象与推理，对学生的运算能力要求较高。设计遮阳棚偏重建模的过程，更培养学生将实际问题数学化，将复杂问题简单化的能力。拱桥形状设计贴近学生的能力，可以让学生经历研究性学习的过程，在活动中获得成就感。总之综合与实践的课题虽然可以在课内开展，但教学形式和组织还还要更多让学生参与活动的全过程，让我们的综合与实践课程成为成就学生的舞台。谢谢