山东省济宁市某教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版高考复习专题：第16讲 定积分与微积分基本定理 .doc

1、第十三节定积分与微积分基本定理考情展望1.利用微积分基本定理直接计算定积分的值.2.利用定积分的几何意义，考查曲边梯形的面积.3.利用定积分求变力做功、变速运动的质点的运动路程一、定积分的概念与性质1定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x) dxlif(i)2定积分的几何意义(1)当f(x)0时，定积分f(x) dx表示由直线xa，xb(a

2、b)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(2)当f(x)在a，b上有正有负时，如图2131所示，图2131则定积分f(x)dx表示介于x轴，曲线yf(x)以及直线xa，xb(ab)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即f(x)dxA1A3A2A4.3定积分的基本性质kf(x)dxkf(x)dx.(k为常数)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)定积分与曲边梯形的面积如图，设阴影部分面积为S.Sf(x)dx；Sf(x)dx；Sf(x)dxf(x)dx；Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx.二、微积分基本定理一般地，如

3、果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且F(x)f(x)那么f(x)dxF(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式其中F(x)叫做f(x)的一个原函数为了方便，常把F(b)F(a)记作F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a)三、定积分在物理中的应用变速直线运动作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即v(t)dt.变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)，那么变力F(x)所做的功为F(x)dx.1已知质点的速度v10t，则从t0到tt0

4、质点所经过的路程是()A10t B5t C.t D.t【解析】Svdt10tdt5t2t005t.【答案】B2求曲线yx2与yx所围成图形的面积，其中正确的是()AS(x2x)dx BS(xx2)dxCS(y2y)dy DS(y)dy【解析】由得或，S(xx2)dx，故选B.【答案】B3设f(x)，则1f(x)dx的值是()A.1x2dx B.12xdxC.1x2dx2xdx D.12xdxx2dx【解析】由分段函数的定义及积分运算性质，1f(x)dx12xdxx2dx.【答案】D4如果f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx_.【解析】f(x)dxf(x)dxf(x)dx1f(x)dx

5、1，f(x)dx2.【答案】25(2013湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2【解析】由v(t)73t0，可得t4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dtdt425ln 5.【答案】C6(2013湖南高考)若x2dx9，则常数T的值为_【解析】x2dxx39，T3.【答案】3考向一 044定积分的计算(1)(2014西安模拟)若0(sin xacos x)dx2，则实数

6、a等于()A1B1C.D(2)定积分dx的值为()A9 B3 C. D.(3)设f(x)(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为_【思路点拨】(1)寻求使F(x)sin xacos x的F(x)，运用微积分基本定理求值；(2)利用定积分的几何意义求解；(3)f(x)是分段函数，故根据定积分的性质把所求定积分转化为两个定积分和的形式求解【尝试解答】(1)(asin xcos x)sin xacos x.0(sin xacos x)dx(asin xcos x)0(asin 0cos 0)a12.a1.(2)由定积分的几何意义知，dx是由曲线y，直线x0，x3，y0围成的封闭图形的面积，故dx

7、，故选C.(3)f(x)，f(x)dxx2dxdxx3ln xln e.【答案】(1)B(2)C(3),规律方法1 1.用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数.此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加.2.根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.3.若yf(x)为奇函数，则af(x)dx0.对点训练(1)|1x|dx_.(2)1dx_.【解析】(1)|1x|dx|1x|dx|1x|dx(1x)dx(x1)dx1.(2)由定积分的几何意义知，1dx是由曲线y，直线x1，x0，y0围成的封闭图

8、形的面积，故1dx.【答案】(1)1(2)考向二 045利用定积分求平面图形的面积(1)(2014烟台模拟)如图2132，设OABC是图中边长分别为1和2的矩形区域，则矩形OABC内位于函数y(x0)图象下方的阴影部分区域面积为()图2132Aln 2B1ln 2C2ln 2 D1ln 2(2)(2014广州模拟)曲线yx2与直线ykx(k0)所围成的曲边图形的面积为，则k_.【思路点拨】(1)(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积【尝试解答】(1)如图，过D作DEx轴于点E，由图可知，S阴影SOEDC dx2ln x1ln 2. (2)由得或则曲线yx2与直线ykx(

9、k0)所围成的曲边梯形的面积为(kxx2)dxk3，即k38，k2.【答案】(1)D(2)2规律方法21.求曲边图形面积的方法与步骤,(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.2.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.对点训练(1)(2014贵阳模拟)由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A.B1C.D.图2133(2)已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图2

10、133所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为_【解析】(1)由题意知Scos xdxsin x.(2)f(x)3x22axb，f(0)0，b0，f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或a(a0)S阴影(x3ax2)dxa4，a1.【答案】(1)D(2)1考向三 046定积分物理意义的应用物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A3B4C5D6【思路点拨】利用定积分分别计算出物体A、B行驶的路程，

11、然后利用它们之间的关系求解【尝试解答】因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，所以(3t2110t)dt(t3t5t2)t3t5t25(t5)(t21)0，即t5.故选C.【答案】C规律方法3利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.对点训练设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_J(x的单位：m，力的单位：N)【解

12、析】由题意知变力F(x)对质点M所做的功为(x21)dx342.【答案】342易错易误之五定积分的几何意义不明不白1个示范例1个防错练(2011课标全国卷)由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A.B4C.D6【解析】作出曲线y，直线yx2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积由得交点A(4,2)因此y与yx2及y轴所围成的图形的面积为(x2)dx(x2)dx此处在求解时，常因不理解定积分的几何意义，导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示.81624.【防范措施】由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限.求由曲线y，y2x，yx所围成图形的面积【解】法一画出草图，如图所示解方程组，及，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)所以Sdxdxdxdx692.法二若选积分变量为y，则三个函数分别为xy2，x2y，x3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)所以S1(2y)(3y)dy(2y)y2dy1(22y)dy0(2yy2)dy(2yy2)(21)2.