2021年高考数学三轮冲刺训练 圆锥曲线中的基本量及性质的考查（含解析）.doc

1、圆锥曲线中的基本量及性质的考查考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程一、椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0) 1 (ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2

2、的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F22c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径 设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”） 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为焦点三角形面积：（其中）一、 双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM2a，2c，其中a，c为常数，且a0，c0.(1)当ac时，点P的轨迹是双曲线；(2)当ac时，点P的轨迹是两条射线；(3)当ac时，点P不存在二 、双曲线的标准方程和几何

3、性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)a，b，c的关系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径2、与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线

4、的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.三、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22p x(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径公式：设抛物线的焦点为，则焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）1、已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=A2B3C6D9【答案】C【解析】设抛物线的焦

5、点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C2、设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为A B C D 【答案】B【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B3、设双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为P是C上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为4，则a=A 1B 2C 4D 8【答案】A【解析】，根据双曲线的定义可得，即，即，解得，故选：A4、设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为A B C D【答案】D【

6、解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，因为，解得故选：5、已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为A 4B 5C 6D 7【答案】A【解析】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A6、若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A2 B3 C4 D8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D7、双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则PFO的面积为ABCD【答案】A【解析】由，又P

7、在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，故选A8、已知椭圆（ab0）的离心率为，则Aa2=2b2B3a2=4b2Ca=2bD3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B.9、已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为ABCD【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，.故选D.10、渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是AB1CD2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.11、已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点若，则C的方程为ABCD【答案】B【解

8、析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B12、已知曲线.A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若m=n0，则C是圆，其半径为 C若mn0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示平行于轴

9、的两条直线，故D正确；故选：ACD13、已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .【答案】2【解析】联立，解得，所以.依题可得，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为.故答案为：14、已知直线和圆相交于两点若，则的值为_【答案】5【解析】因为圆心到直线的距离，由可得，解得故答案为：【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题15、已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_【答案】；【解析】在双曲线中，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，所以，双曲线的焦点

10、到其渐近线的距离为.故答案为：；.16、在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 【答案】【解析】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：17、设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为_.【答案】【解析】由已知可得，设点的坐标为，则，又，解得，解得（舍去），的坐标为18、已知椭圆C1：(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|

11、=5，求C1与C2的标准方程【解析】（1）由已知可设的方程为，其中.不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的离心率为.（2）由（1）知，故，设，则，故.由于的准线为，所以，而，故，代入得，即，解得（舍去），.所以的标准方程为，的标准方程为.19、已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，求的面积【解析】（1）由题设可得，得，所以的方程为.（2）设，根据对称性可设，由题意知，由已知可得，直线BP的方程为，所以，因为，所以，将代入的方程，解得或.由直线BP的方程得或8.所以点的坐标分别为.，直线的

12、方程为，点到直线的距离为，故的面积为.，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.综上，的面积为.20、已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【解析】设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故一、单选题1、抛物线的焦点坐标为（ ）ABCD【答案】C【解析】由得，所以抛物线为开口向上的抛物线，且，所以焦点坐标为，故选：C2、已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则值为（ ）A2B3C4D【答案】C【解析】因为双曲线的

13、渐近线方程为，又其一条渐近线与直线垂直，直线的斜率为，所以故选：C.3、若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题,离心率,解得,因为焦点在轴上,则渐近线方程为,即故选：C4、抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（ ）A10B9C8D5【答案】B【解析】抛物线的焦点，准线为，因为M到焦点的距离为10，由定义可知，M到准线的距离也为10，所以到M到轴的距离是9.故选:B5、设分别是双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则，由余弦定理得，解得，为直角三角形，故选：B.6、已知双曲线

14、：（，）的上、下顶点分别为，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】设点，又，则 ，所以，又因为点在双曲线上得，所以，故，所以 则双曲线的渐近线方程为.故选：B二、多选题7、已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）ABCD【答案】ABC【解析】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，轴，由抛物线的定义可知，则为等边三角形，则，得，A选项正确；，又，为的中点，则，B选项

15、正确；，（抛物线定义），C选项正确；，D选项错误.故选：ABC.8、已知双曲线C：的左、右焦点分别为，则能使双曲线C的方程为的是( )A离心率为B双曲线过点C渐近线方程为D实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；故选：ABC.9、关于双曲线，下列说法正确的是（ ）A该双曲线与双曲线

16、有相同的渐近线B过点作直线与双曲线交于，若，则满足条件的直线只有一条C若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率D过点能作4条直线与双曲线仅有一个交点【答案】ACD【解析】双曲线的渐近线方程可表示为为，双曲线的渐近线方程可表示为，整理后都是，故A正确；由于双曲线的实轴长为,过焦点与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是,存在关于对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，如图所示：故B错误；由于双曲线的渐近线的斜率为，焦点在x轴上，若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率，如图所示：故C正确；由于点在双曲线的两条渐

17、近线的上方，如图所示：故过能作4条直线与双曲线仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切.故选：.10、如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点则下列说法正确的（ ）A，两点的纵坐标之积为B点在定直线上C点与抛物线上各点的连线中，最短D无论旋转到什么位置，始终有【答案】ABC【解析】设点，将直线l的方程代入抛物线方程得：.则，故A正确；由题得，则，直线的方程为，直线的方程为，消去y得，将代入上式得，故点Q在直线上，故B正确；设抛物线上任一点，则，当时，最小，此时，即最短，故C正确；因为，但，所以D错误.故选：ABC.11、已知抛物线的焦点

18、为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（ ）ABCD的面积为【答案】BCD【解析】选项A. 由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.选项B. 所以，抛物线方程为将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确选项C. 当时，则，则直线的方程为： 则 ，得，解得或所以，则，同理当时，可得，所以C正确.选项D.由上可知当时， 同理当时，所以D正确.故选：BCD三、填空题12、双曲线的左右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且，则的面积为_.【答案】3【解析】因为，故直线的方程为，代入，整理得，解得或，故，故.故答案为：3.13、已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解

19、析】因为椭圆与双曲线的焦点相同，所以，即，解得，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为：14、已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心，半径为的圆与交于点，过点作圆的切线，切点为，若，且的面积为，则_【答案】2【解析】因为， 所以，因为，所以是线段的中点,因为的面积为，所以的面积为.又由可得，所以,所以，解得.故答案为：2四、解答题15、在平面直角坐标系中，设的内切圆分别与边相切于点，已知，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过的直线与轴正半轴交于点，与曲线E交于点轴，过的另一直线与曲线交于两点，若，求直线的方程.【解析】 (1)由内切圆的性质可知，.所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆(除去与轴的交点).设曲线则，即所以曲线的方程为.(2)因为轴，所以，设，所以，所以，则因为，所以，所以所以，所以设则，所以直线斜率不存在时， 方程为此时，不符合条件舍去.直线的斜率存在时，设直线的方程为.联立，得所以，将代入得，所以.所以，所以直线的方程为或.16、已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，若为锐角，求实数的取值范围.【解析】（1）设为椭圆的左焦点,连接,由椭圆的对称性可知,所以,所以, 又,解得,所以椭圆的标准方程为（2）设点,则,联立,得,所以,因为为锐角,所以,所以, 解得或