2021年高考数学复习之专题突破训练07 不等式（含解析）.doc

1、不等式1二次函数的性质与图象【二次函数】 二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化它的一般表达式为：yax2+bx+c（a0）【二次函数的性质】 二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移这里面略谈一下他的一些性质开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a0（0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x；最值为：f（）；判别式b24ac，当0时，函数与x轴只有一个交点；0时，与

2、x轴有两个交点；当0时无交点根与系数的关系若0，且x1、x2为方程yax2+bx+c的两根，则有x1+x2，x1x2；二次函数其实也就是抛物线，所以x22py的焦点为（0，），准线方程为y，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离平移：当ya（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成ya（x1+b）2+c；【命题方向】 熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点2指数函数的图象与性质【知识点的认识】1、指数函数yax（a0，且a1）的图象和性质：yaxa10a1图象定义域R值域（0，+）性质过定点（0，1）当x0时

3、，y1；x0时，0y1当x0时，0y1；x0时，y1 在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当al时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0al时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴底数对函数值的影响如图 当a0，且al时，函数yax 与函数y的图象关于y轴对称3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值3函数的零点【函数的零点】 一般地，对于函数yf（x）（xR），我们把方程f（x）0的实数根

4、x叫作函数yf（x）（xD）的零点即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值函数的零点不是一个点，而是一个实数【解法二分法】确定区间a，b，验证f（a）*f（b）0，给定精确度； 求区间（a，b）的中点x1；计算f（x1）；若f（x1）0，则x1就是函数的零点； 若f（a）f（x1）0，则令bx1（此时零点x0（a，x1）；若f（x1）f（b）0，则令ax1（此时零点x0（x1，b） 判断是否满足条件，否则重复（2）（4）【总结】 零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）f（b）0，则（a，b）至少有一个零

5、点这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了4分段函数的应用【分段函数的应用】 分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数【具体应用】 正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法 例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0p100，即销售10

6、0元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件（）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？ 解：（）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8p）万件，年销售收入为（11.8p）万元，政府对该商品征收的税收y（11.8p）p%（万元）故所求函数为y（11.8p）p由11.8p0及p0得定义域为0p11.8（4分）（II）由y16得（11.8p）p16化简得p212p+200，

7、即（p2）（p10）0，解得2p10故当税率在0.02，0.1内时，税收不少于16万元 （9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）（11.8p）（2p10）在2，10是减函数g（p）maxg（2）800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大 这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关我们重点看看分段函数要注意的地方第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论【考查预测】 修炼自己的内功，其实分

8、不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答5不等关系与不等式【不等关系与不等式】 不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说ab，ab0就是不等式【不等式定理】对任意的a，b，有abab0；abab0；abab0，这三条性质是做差比较法的依据如果ab，那么ba；如果ab，那么ba如果ab，且bc，那么ac；如果ab，那么a+cb+c推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d如果ab，且c0，那么acbc；如果c0，那么acbc【例题讲解】例1：解不等式：sin

9、x 解：sinx，2k+x2k+（kZ），不等式sinx的解集为x|2k+x2k+，kZ 这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解例2：当ab0时，ab 证明：由ab0，知0 又ab，ab，即； 若，则ab 这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广6不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指

10、数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法其中比较法（作差、作商）是最基本的方法【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a0，b0，则p与qa+b的大小关系为（）Apq Bpq Cpq Dpq解：pqab（b2a2），a0，b0，a+b0，ab0，若ab，则pq0，此时pq，若ab，则pq0，此时pq，综上pq，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，的大小顺序是（）A B C D解：由指数函数的单调性可知，由幂函数的单调性可知，则，故，故选：B7一元二次不等式及其应用【概念】 含有一个未知数且

11、未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式它的一般形式是 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式【特征】 当b24ac0时，一元二次方程ax2+bx+c0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（xx1）（xx2） 当b24ac0时，一元二次方程ax2+bx+c0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（xx1）2 当b24ac0时一元二次方程ax2+bx+c0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点【实例解析】例1：一元二次不等式x2x+6的解集为 解：原不等式可变形为（x3）（x+2）0所以，2x3故答案为：（2，3）

12、这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解【一元二次不等式的常见应用类型】一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是R的等价条件是：a0且0；一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是R的等价条件是：a0且0分式不等式问题：0f（x）g（x）0；0f（x）g（x）0；0；08简单线性规划【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量

13、的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值【例题解析】例：若目标函数zx+y中变量x，y满足约束条件（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S （2）由zx+y，得yx+z，则平移直线yx+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线yx+z得截距最小，此时z最小为z2+35，当直线经过点B（4，3）时，直线yx+z得截距最大，此时z最大为z

14、4+37，故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值【典型例题分析】题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线ykx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （）A B C D分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可解答：不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx+过定点（0，）因此只有直线过AB中点时

15、，直线ykx+能平分平面区域因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）当ykx+过点（，）时，+，所以k答案：A点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点题型二：求线性目标函数的最值典例2：设x，y满足约束条件：，求zx+y的最大值与最小值分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y0来寻找最优解，求出目标函数的最值解答：先作可行域，如图所示中ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y0

16、，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使zx+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使zx+y达到最大值故zmin2，zmax7点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系题型三：实际生活中的线性规划问题典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润总

17、销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A50，0 B30，20 C20，30 D0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知求目标函数zx+0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数

18、，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；（3）求值解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值题型四：求非线性目标函数的最值典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的最小值是分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在

19、点（1，）处取到最大值（2）依题意得，+（x+1，y），|+|可视为点（x，y）与点（1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（1，0）向直线x+y2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（1，0）的距离最小，因此|+|的最小值是故答案为：（1）（2）点评：常见代数式的几何意义有（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率【解题方法点拨】1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不

20、等式标准化2在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值9其他不等式的解法【知识点的知识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解特例：一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0（a0）解的讨论（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对

21、值； 应用数形思想；应用化归思想等价转化注：常用不等式的解法举例（x为正数）：10基本不等式及其应用【概述】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数公式为：（a0，b0），变形为ab（）2或者a+b2常常用于求最值和值域【实例解析】例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是 A：a，b均为负数，则 B： C： D：解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件对于C选项中sinx2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值故选：C A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而

22、不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便例2：利用基本不等式求的最值？当0x1时，如何求的最大值 解：当x0时，y0，当x0时，用基本不等式若x0时，0y，若x0时，y0，综上得，可以得出y，的最值是与 这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果【基本不等式的应用】1、求最值例1：求下列函数的值域2

23、、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【解题方法点拨】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值技巧二：凑系数例2：当0x4时，求yx（82x）的最大值解析：由0x4知，82x0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值注意到2x+（82x）8为定值，故只需将yx（82x）凑上一个系数即可yx（82x）2x（82x）（）28当2x82x，即x2时取等号，当x2时，yx（8x2）的最大值为8评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值

24、技巧三：分离例3：求y的值域解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离y（x+1）+5，当x1，即x+10时，y2+59（当且仅当x1时取“”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令tx+1，化简原式在分离求最值技巧五：结合函数f（x）x+的单调性技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式11指、对数不等式的解

25、法【概述】 指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解【例题解析】例1：已知函数f（x）ex1（e是自然对数的底数）证明：对任意的实数x，不等式f（x）x恒成立 解：（I）设h（x）f（x）xex1xh（x）ex11，当x1时，h（x）0，h（x）为增，当x1时，h（x）0，h（x）为减，当x1时，h（x）取最小值h（1）0h（x）h（1）0，即f（x）x 这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力例2：已知函数f（x）loga（x1

26、），g（x）loga（3x）（a0且a1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）g（x）中x的取值范围 解：不等式f（x）g（x），即 loga（x1）loga（3x），当a1时，有，解得 2x3当1a0时，有，解得 1x2综上可得，当a1时，不等式f（x）g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1a0时，不等式f（x）g（x）中x的取值范围为（1，2） 这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以【考点点评】 本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学

27、习12余弦定理【知识点的知识】1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R （ R是ABC外接圆半径）a2b2+c22bccos A，b2a2+c22accos_B，c2a2+b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C；a：b：csinA：sinB：sinC；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A，cos B，cos C解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其

28、他两角【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素2、判断三角形的形状3、解决与面积有关的问题4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决解题关键在于明确：测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间

29、的距离问题（2）测量高度问题：解题思路：测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角13点到直线的距离公式【知识点的知识】 从直线外一点到

30、这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离设直线方程为Ax+By+C0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d【例题解析】例：过点P（1，1）引直线使A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k1，故直线方程为y1（x1），即xy0；当直线过AB的中点（3，4）时，斜率为k，故直线方程为y1（x1），即3x2y10；故答案为：xy0或3x2y10 这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值他告诉我们两

31、点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是一个好题【考点分析】 正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解析几何中可能会涉及到点到直线的距离14直线与圆相交的性质【知识点的知识】 直线与圆的关系分为相交、相切、相离判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离【例题解析】例：写出直线yx+m与圆x2+y21相交的一个必要不充分条件： 解：直线xy+m0若与圆x2+y21相交，则圆心（0，0）到直线的距离d1，即d，|m|，即，满足的必要不充分条件均可故答案为：满足的必要不充分条件均可 这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题【考点解析】 本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切