（新教材）2020-2021高中数学人教B版选择性必修三课件： 5-1-2 数列中的递推 .ppt

1、5.1.2 数列中的递推 必备知识素养奠基1.数列的递推公式如果已知数列的_(或_),且数列的_或_的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).首项前几项相邻两项两项以上【思考】数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?提示:不同点相同点通项公式可根据某项的序号,直接用代入法求出该项都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所有的项2.数列的前n项和(1)定义:一般地,给定数列an,称Sn=_为数列an的前n项和.(2)关系:a1+a2+a3+an【素养小测】1.思维辨析(对的

2、打“”,错的打“”)(1)递推公式不能用来表示数列.()(2)所有的数列都有递推公式.()(3)由公式an+1=an-2(n1)可写出数列an的所有项.()(4)若数列an满足an+1=an,则该数列是常数列.()提示:(1).递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2).并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,就没有递推公式.(3).还需知道数列中至少一项的值.(4).该数列每一项都相同.2.已知数列an满足a1=1,an+1=an+n,则a3的值为()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.由a1=1

3、,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.3.已知数列an满足a10,(nN+),则数列an是_数列(填“递增”或“递减”).【解析】由已知a10,an+1=2an(nN+),得an0(nN+).又an+1-an=2an-an=an0,所以数列an是递减数列.答案:递减关键能力素养形成类型一 由递推公式写数列的项【典例】1.数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN+),那么a4的值为()A.4B.8C.15D.312.已知数列an,a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n3),则a5=_.3.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出

4、通项公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(nN+);(2)a1=1,an+1=(nN+);(3)a1=3,an+1=3an-2(nN+).【思维引】1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入n=1,2,3,计算即可.2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入n=3,4,5计算即可.3.写出数列的前几项,归纳写出通项公式.【解析】1.选C.因为数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN+),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7,a4=2a3+1=14+1=15.2.由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8.答案:

5、83.(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以an=(n-1)2.(2)因为a1=1,a2=,a3=a4=,a5=,所以an=(3)因为a1=3=1+230,a2=7=1+231,a3=19=1+232,a4=55=1+233,a5=163=1+234,所以an=1+23n-1.【内化悟】由递推公式写出通项公式的步骤是什么?提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.(3)归纳总结写出一个通项公式.【类题通】由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分

6、的关系,依次代入计算即可.(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.【习练破】设数列an满足写出这个数列的前五项.【解析】据题意可知:a1=1,a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+,a5=1+.类型二 由递推公式求通项公式角度1 累加法【典例】在数列an中,a1=2,an+1=an+ln ,求数列的通项公式an.【思维引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.【解析】an+1-an=ln =ln(1+n)-ln n,a1=2,a2-a1=ln 2

7、,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,an-an-1=ln n-ln(n-1)(n2),以上各式相加得an=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+ln n-ln(n-1).所以an=2+ln n(n2).因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln n.【素养探】在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解,提高运算能力.将本例的条件改为“在数列an中,a1=1,an=an-1+(n2)”,求数列的通项公式.【解析】因为an=an-1+(n2),所以an-an-1=,所以a1=1,a2-

8、a1=,a3-a2=,a4-a3=,an-an-1=.所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=1+()+()+()+()=.当n=1时a1=1也适合上式,所以an=.角度2 累乘法【典例】设数列an中,a1=1,an=(n2),求数列的通项公式an.【思维引】将递推公式整理为=f(n),累乘求通项公式.【解析】因为a1=1,an=(n2),所以,an=又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=.【类题通】1.用“累加法”求数列的通项公式当an-an-1=f(n)(n2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-

9、a1)+a1累加来求通项an.2.用“累乘法”求数列的通项公式当=g(n)(n2)满足一定条件时,常用an=累乘来求通项an.【习练破】已知数列an中,a1=1,当nN+且n2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.【解析】当n2时,因为(2n+1)an=(2n-3)an-1,所以,所以所以,所以an=,当n=1时符合上式,所以an=,nN+.【加练固】若a1=2,an+1=,求该数列an的通项公式.【解析】由an+1=,可得,则an=时,a1=2也满足上式,所以an=.类型三 数列相关概念的应用角度1Sn与an的关系【典例】已知数列an的前n项和Sn=n2-9n,求通项公

10、式an.【思维引】利用前n项和Sn与通项公式an的关系求通项公式.【解析】因为Sn=n2-9n,所以n2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-8适合上式,所以an=2n-10(nN+).【素养探】本例中,若Sn=n2-9n+1,试求通项公式an.【解析】因为Sn=n2-9n+1,所以n2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-7,不适合上式.所以角度2 数列的单调性【典例】已知函数f(x)=(x+1)(xR),设数列an的通项公式an=f(n)(nN+).(1)试探究数列an的项的增减有何规律.(2)求该数列的最大项.【思维引】(1)利用an,an+1之间的关系进行判

11、断.(2)利用数列项的增减特征确定最大项后求值.【解析】(1)an=f(n)=(n+1).所以an+1-an=(n+2)-(n+1)=,当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an.则a1a2a3a11a12.所以数列an的项先递增到a9,a9与a10相等,从a10开始递减.(2)由(1)可知,数列an有最大项,为第9项和第10项.a9=a10=10 .【内化悟】数列an的通项an=f(n),如何求数列an的最大项?提示:先研究函数y=f(x)的单调性,再依据an=f(n)的定义域是正整数集(或其有限子集)求出数列an的最

12、大项.【类题通】1.关于Sn与an的关系数列an的前n项和Sn与通项公式an的关系为求通项公式时注意两个方面,一是书写an=Sn-Sn-1要注明n2,因为当n=1时,Sn-1无意义;二是要验证n=1时a1=S1是否适合an=Sn-Sn-1.2.数列单调性的判断方法根据定义判断:若an+1an,则an是单调递增数列;若an+10,则数列an是单调递增数列;若an+1-an0,则数列an是单调递减数列;若an+1-an=0,则数列an是常数列.3.求数列的最大项和最小项的方法方法一:利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项.方法二:解不等式(组):设an是最大项,则

13、有对任意nN+且n2均成立,解不等式组即可.【习练破】1.数列an中,an=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是()A.107B.108C.108 D.109【解析】选B.由已知,得an=-2n2+29n+3=-2 +108 ,由于nN+,故当n取距离最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列an中的最大值为a7=108.2.若数列an的前n项和Sn=n2+1,则a4=_,通项公式an=_.【解析】a4=S4-S3=16+1-9-1=7,答案:7【加练固】数列an的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.【解析】(

14、1)令an=n2-5n+40,得1n4,nN+,所以数列中仅有两项a2,a3是负数.(2)an=n2-5n+4=,其对称轴为n=,又nN+,所以n取2,3时,an有最小值-2.1.符合递推关系式an=an-1的数列是()A.1,2,3,4,B.1,2,C.,2,2,D.0,2,【解析】选B.B中从第二项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1.课堂检测素养达标2.已知数列an的通项公式为an=,则数列an为()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法确定数列的增减性【解析】选B.因为an=2+,所以n2时,an-an-1=2+0,所以anan-1,所以数列an为递减数列.3.已知数

15、列an满足an=4an-1+3,且a1=0,则a5=_.【解析】因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:2554.已知数列an中,a1=2,an=(n2),则a2 020=_.【解析】因为a2=-=-,a3=-=2,a4=-=a2,所以an的周期为2,所以a2 020=a2=-.答案:-【新情境新思维】两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,甲柱上有n(n3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图).把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,

16、在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为an,则当n3时,an和an+1满足()A.an+1=4an-3nB.an+1=4an-1C.an+1=2an+1D.an+1=2an+n【解析】选C.n(n3)个盘子最少移动次数为an,n+1个时,将最大的上面的n个移到丙需an次,然后将最大的移到乙,再将丙的n个移动到乙需an次,故总次数为an+1=2an+1.课时素养评价二 数列中的递推【基础练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选

17、错的得0分)1.数列的递推公式可以是()A.an=(nN+)B.an=(nN+)C.a1=,an+1=an(nN+)D.a1=,an+1=2an(nN+)【解析】选C.数列从第2项起,后一项是前一项的,故递推公式为a1=,an+1=an(nN+).2.数列an中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=()A.-3B.-11C.-5D.19【解析】选D.a3=a2+a1=5+2=7,a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19.3.(多选题)如果an为递增数列,则an的通项公式可以为()A.an=2n+3B.an=-n2-3n+1C.an=D.an=1+log

18、2n【解析】选AD.A是n的一次函数,一次项系数为2,所以为递增数列;B是n的二次函数,二次项系数为-1,且对称轴为n=-,所以为递减数列;C是n的指数函数,且底数为,是递减数列;D是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.【加练固】在递减数列an中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是()A.RB.(0,+)C.(-,0)D.(-,0【解析】选C.因为an是递减数列,所以an+1-an=k(n+1)-kn=k0.4.已知数列an,a1=1,ln an+1-ln an=1,则数列an的通项公式是()A.an=nB.an=C.an=en-1D.an=【解析】选C.因为ln an+1-ln

19、an=1,所以ln=1.所以=e.由累乘法可得an=en-1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列an满足a1=1,an=nan-1(n2),则a5=_.【解析】因为an=nan-1,且n2,所以当n=2时,a2=2a1=2;当n=3时,a3=3a2=6;当n=4时,a4=4a3=24;当n=5时,a5=5a4=120.故a5=120.答案:1206.数列an中,a1=1,对所有的n2,都有a1a2a3an=n2,则a3+a5=_.【解析】由题意a1a2a3=32,a1a2=22,a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,则答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.根据

20、下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.(1)a1=1,an+1=an+(nN+).(2)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(nN+).【解析】(1)a1=1,a2=,a3=2,a4=.猜想an=(2)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1.8.已知数列an的前n项和Sn=2n2-3n+1,求an的通项公式an.【解析】因为数列an的前n项和Sn=2n2-3n+1,所以a1=S1=212-31+1=0,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n+1)-2(n-1)2-3(n-1)+1=4n-5.n=1时,4n-5=-1a1,所以an的通项公

21、式an=(nN+).【能力练】(15分钟30分)1.(5分)已知,在数列an中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2 012=()A.3B.-3C.6D.-6【解析】选C.由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,故知an是周期为6的数列,所以a2 012=a2=6.2.(5分)已知数列an满足an=若对于任意的nN+都有anan+1成立,则实数a的取值范围是()A.(1,4)B.(2,5)C.(1,6)D.(4,6)【解析

22、】选A.因为对于任意的nN+都有anan+1成立,所以数列an单调递增,所以应满足解得1a0,得0n ,故数列an有6项是正数项,有无限个负数项,所以(1)错误,(2)正确;当n=3时,数列an取到最大值,而当x=3.25时,函数f(x)取到最大值,所以(3)错误;令-2n2+13n=-70,得n=10,或n=-(舍去).即-70是该数列的第10项,所以(4)正确.答案:(2)(4)5.(10分)已知数列an满足a1=,n2时,anan-1=an-1-an,求数列an的通项公式.【解析】因为anan-1=an-1-an,所以=1.所以n2时,=n+1.所以=n+1,所以当n2时,an=.当n=

23、1时,a1=也适合上式,所以an=(nN+).【培优练】1.(2020辛集高二检测)已知an=(nN+),则数列an的前50项中最小项和最大项分别是()A.a1,a50B.a1,a44C.a45,a50D.a44,a45【解析】选D.an=1+因为442=1 936,452=2 025,所以n44时,数列an单调递减,且0an1.所以在数列an的前50项中最小项和最大项分别是a44,a45.2.设an=n2-2kn+6(nN+,kR)(1)证明:k1是an为递增数列的充分不必要条件;(2)若对任意的nN+,1,求k的取值范围.【解析】(1)an+1-an=(n+1)2-2k(n+1)+6-(n2-2kn+6)=2n+1-2k0,解得k 所以k .所以k1是an为递增数列的充分不必要条件.(2)因为对任意的nN+,1,所以n+-2k1,即n+2k+1,因为n+5,所以2k+15,所以k2.所以k的取值范围是k2.本课结束