山东省烟台市中英文学校2021届高三数学上学期冬学竞赛试题202101050362.doc

1、山东省烟台市中英文学校2021届高三数学上学期冬学竞赛试题一、 单选题：本大题共8个小题.每小题5分；共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 2.已知全集，集合, 集合，那么= （ ）A. B. C. D. 3、已知，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件4、已知为等差数列，为其前项和，若，则（ ）A. 49B. 91C. 98D. 1825、已知函数，要得到的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位6

2、、已知向量，则（ ）A. B. C. 5 D. 257、函数的图象大致是A. B. C. D. 8、已知函数，（其中为自然对数的底数），若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4个小题.每小题5分，漏选得3分，错选不得分，共20分9、设是等差数列，为其前项和，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 、均为的最大值10、下列命题正确是：（ ）A. 函数的图像关于坐标原点对称，B. 若，则，C. 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为D. 设、，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则不与垂直11、对于函数，下列正确的是（ ）A. 是函数的

3、一个极值点B. 的单调增区间是，C. 在区间上单调递减D. 直线与函数的图象有3个交点12. 如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间（单位：）表示他从小岛到城镇的时间,（单位：）表示此人将船停在海岸处距点的距离.设，则（ ）A 函数为减函数 B C 当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D、当时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过 三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的数学百草园、好玩的数学、故事中的数学等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜

4、爱.下面我们一起来看好玩的数学中谈老的一篇文章五分钟内挑出埃及分数：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如果两个埃及分数与的和表示等.从这个埃及分数中挑出不同的个，使得它们的和为，这三个分数是 （按照从大到小的顺序排列）14.在平面直角坐标系中，角的顶点是，始边是轴上的非负半轴，点是终边上一点，则的值是 15、 已知是第四象限角，且sin（+）=，则tan（）= .16、 设函数的最大值为，最小值为，则=_ .四、解答题：本大题共6小题，共70分其中17题10分，其它题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，

5、角所对的边分别为，若，且的面积为，求的值.18、在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在中，内角的对边分别为，且满足 .，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19、已知数列前项和为，其中为常数（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由 20、在数列中，已知，且对于任意正整数都有.（1）令，求数列的通项公式.（2）求的通项公式.21、已知函数（1）求函数的最大值；（2）若函数与有相同极值点求实数的值；若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，求实数的取值范围22、已知函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为.（1） 求；（2） 讨论函数

6、和的单调性；（3） 设，求证：数学答案1、复数，共轭复数为，故答案为B2.由题得A=x|x0,B=y|y1，所以.故答案为C3、 A4，即，故选B5、函数，所以将函数的图象向左平移个单位时，可得到的图象，选A.6、解：向量，.故选：C.7、当时，故函数图像过原点，排除又，令则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化结合四个选项，只有符合要求故选【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证8、解：函数为偶函数，且的最大值为1，由的导数为，可得时

7、，递增，或，递减，取得极小值，作出，的图象，函数有4个零点，即为有四个解，可令，若，则，则有3解，不符题意；若，则有4解，两个负的，两个正的，则可能有4，6解，不符题意；若，则有4解，两个负的，两个正的，（一个介于，一个大于1），则有6解，不符题意；若，则有4解，两个负的，两个正的（一个介于，一个大于1），则有4解，符合题意.故选：B.9、解：由得，即，又，故B正确；同理由，得，故A正确；对C，即，可得，由结论，显然C是错误的；与均为的最大值，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式和的最值问题，熟练应用公式是解题的关键.10、解：对A：的定义域为，则为奇函数，故A正确；

8、对B：由得，则，故，故B正确；对C：由题可得，得，解得，则当时，的最小值为，故C正确；对D：，则与垂直，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数的奇偶性，三角函数的性质，对数的性质，向量的运算法则，是基础题.11、解：由题得，令，可得，则在，上单调递增，在上单调递减，是函数的一个极值点，故AC正确，B错误；因为，又，根据在上单调递减得得，所以直线与函数图象有3个交点，故D正确.故选：ACD.12、 AC13、14、15、解：是第四象限角，则，又sin（），cos（）cos（）sin（），sin（）cos（）则tan（）tan（）故答案为16、，令，则为奇函数，所以的最大值和最小值和为0，又

9、.有，即.答案为：2.17、解：（1），的最小正周期为；（2），则，又的面积为，则，由余弦定理得.18、在横线上填写“”解：由正弦定理，得由，得，由，得所以又（若，则这与矛盾），所以 又，得.由余弦定理及，得 .即将代入，解得所以在横线上填写“”解：由及正弦定理，得又，所以有因为，所以从而有又所以.由余弦定理及，得， 即将代入，解得所以在横线上填写“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得， 即将代入，解得所以19、（I）由题设，两式相减得，由于，所以（II）由题设，可得，由（I）知，令，解得故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；是首

10、项为3，公差为4的等差数列，所以，因此存在，使得为等差数列20、解：（1）由已知可得，即，则是公比为的等比数列，又，所以，即；（2）由（1）知，所以，令，有，则是公比为的等比数列，又，所以，所以. 21、 （1），由得，由得，在上为增函数，在上为减函数，函数的最大值为；（2），（）由（1）知，是函数的极值点，又函数与有相同极值点，是函数的极值点，解得，经检验，当时，函数取到极小值，符合题意；（）， ， 即，由（）知，当时，当时，故在为减函数，在上为增函数，而，当，即时，对于，不等式恒成立，又，当，即时，对于，不等式，又，综上，所求的实数的取值范围为22、 解：（1）对求导，得.因此.又因为.所以曲线在点处的切线方程为，即.由题意，显然适合上式.令，求导得，因此为增函数故是唯一解（2）由（1）可知，因此所以为减函数因为所以为增函数.（3）证明：由，易得.由（2）可知，在上为减函数.因此，当时，即 令，得，即因此，当时，所以成立下面证明：.由（2）可知，在上为增函数.因此时，即.因此，即.令，得，即.当时，.因为，所以，所以.所以，当时，.所以，当时，成立.综上所述，当时，成立.