（新教材）《人教B版》2020版数学必修二课件：4-2-2对数运算法则 .ppt

1、4.2.2 对数运算法则1.积、商、幂的对数若a0,且a1,M0,N0,则有(1)积的对数:loga(MN)=logaM+logaN.(2)商的对数:loga_=logaM-logaN.(3)幂的对数:logaMn=nlogaM.【思考】在积的对数运算性质中,三项的乘积式loga(MNQ)是否适用?你可以得到一个什么样的结论?提示:适用,loga(MNQ)=logaM+logaN+logaQ,积的对数运算性质可以推广到n项的乘积.2.换底公式若a0,且a1,c0,且c1,b0,则有logab=_.【思考】(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式?提示:logab=,logab=.

2、(2)你能用换底公式推导出结论logNM吗?提示:logNM.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)lg(x+y)=lg x+lg y.()(2)log2(16-8)=log216-log28.()(3)=log48.()提示:(1).令x=y=1,则lg(x+y)=lg 2lg 1=0,而lg x+lg y=0,不成立.(2).等式的左边=log2(16-8)=log28=3,右边=log216-log28=4-3=1.(3).由换底公式知正确.2.以下运算正确的是()A.lg 2lg 3=lg 6B.(lg 2)2=lg 4C.lg 2+lg 3=lg 5D.lg 4-l

3、g 2=lg 2【解析】选D.lg 2+lg 3=lg 6,lg 2+lg 2=lg 4,lg 4-lg 2=lg 2.3.log69+log64=()A.log62B.2C.log63D.3【解析】选B.log69+log64=log636=2.类型一 利用对数运算法则化简【典例】用lg x,lg y,lg z表示下列各式:(1)lg(xyz).(2)lg.(3)lg.(4)lg.【思维引】利用积、商、幂的对数展开.【解析】(1)lg(xyz)=lg x+lg y+lg z.(2)lg=lg(xy2)-lg z=lg x+2lg y-lg z.(3)lg=lg(xy3)-lg=lg x+3l

4、g y-lg z.(4)lg=lg-lg(y2z)=lg x-2lg y-lg z.【内化悟】利用对数运算法则化简的一般顺序是什么?提示:先商,再积,最后幂.【类题通】关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征,确定化简的顺序,其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开.【习练破】1.如果lg 2=m,lg 3=n,则等于()【解析】选C.因为lg 2=m,lg 3=n,所以2.化简.【解析】因为0且x20,0,所以y0,z0.loga=loga(x2)-loga=logax2+loga-loga=2loga|x|+logay-logaz.【加练固】已知y0,化简loga.【解析】因为0,y0

5、,所以x0,z0.所以loga=loga-loga(yz)=logax-logay-logaz.类型二 利用对数运算法则求值【典例】1.(2019昌吉高一检测)计算lg 2+lg 5+2log510-log520的值为()A.21B.20C.2D.12.计算lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg)2+lg+lg 0.06.世纪金榜导学号【思维引】1.逆用对数的运算法则合并求值.2.综合利用对数的运算性质求值.【解析】1.选C.lg 2+lg 5+2log510-log520=1+log5 =1+1=2.2.原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2=3l

6、g 5lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1.【内化悟】1.lg 2与lg 5之间有何关系?提示:lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2.2.应用对数运算性质求值时关键是什么?提示:关键是对数的底数应该相同,才能利用性质合并计算.【类题通】利用对数运算求值的方法(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).【习练破】1.(lg 5)2+lg 2lg 5+lg 2=_.【解析】原式

7、=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2=lg 10=1.答案:12.计算:+lg 4+lg 25.【解析】原式=()6+2lg 2+2lg 5=6+2(lg 2+lg 5)=8.【加练固】求下列各式的值(1)+2lg 2+lg 25.(2)log2+log212-log242.(3)【解析】(1)原式=+lg 4+lg 25=+lg 100=(2)原式=(log27-log248)+log23+2log22-(log22+log23+log27)=log27-log23-log216+log23+2-log27-(3)原式=2.类型三 换底公式的应用角度1 化简求值【典

8、例】设log34log48log8m=log416,则m的值是世纪金榜导学号()A.B.9C.18D.27【思维引】利用换底公式,换成常用对数求值.【解析】选B.因为log34log48log8m所以lg m=lg 3=lg 32,解得m=9.【素养探】在应用换底公式化简求值的过程中,常常用到核心素养中的数学运算,先根据条件恰当换底,再化简运算.将本例变为:化简log34log48log816log1627.【解析】原式=3.角度2 证明等式【典例】(2019大连高二检测)若4m=9n=6,求证:=2.【思维引】用对数式表示出m,n,再利用对数换底公式证明.【证明】由4m=9n=6,得m=lo

9、g46,n=log96,即=log64,=log69,所以=log64+log69=log636=2.【类题通】换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值.(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用.(3)注意一些常见结论的应用,如对数的倒数公式=logba.【习练破】1.计算:(log32+log35)lg 9=()A.1B.2C.lg 3D.2lg 7【解析】选B.(log32+log35)lg 9=log310lg 9=2lg 3=2.2.已知2x=5y=t,=2,则t=()A.B.C.D.100【解析】选C.因为2x=5y=t0,t1,所以x=,y=,代入=2,所以=2,所以ln 10=ln t2,所以t2=10,则t=.【加练固】若实数a,b满足3a=4b=12,则=()A.B.C.D.1【解析】选D.3a=4b=12,即有a=log312,b=log412,则=log123+log124=log1212=1.