2021版高考数学一轮复习核心素养测评十七导数与函数零点的综合问题理北师大版.doc

1、核心素养测评十七 导数与函数零点的综合问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.函数f(x)=x3+x2+x+1的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为f(x)=x2+2x+1=(x+1)20,所以f(x)在R上单调递增,因为f(0)=10,f(-3)=-20,a-160,当a=16时,f(x)的图像与x轴有2个交点;当a16时,f(x)的图像与x轴只有1个交点.所以f(x)的零点个数为1或2.方法二:f(x)=x3-12x+a的零点个数方程x3-12x=-a的解的个数g(x)=x3-12x与h(x)=-a的交点个数.画出g(x)=x3-12x与h(x)=-

2、a的图像.由g(x)=3x2-12=0,得x=2,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)g(x)+0-0+g(x)16-16所以g(x)的图像如图所示:因为a16,所以y=-a-16.由图可知直线y=-a与y=x3-12x的图像有1个或2个交点.3.若函数f(x)= 恰有2个零点,则a的取值范围为 ()A.B.C.D.【解析】选D.当x0时,令f(x)=0,可得x3-x2-a=0,设g(x)=x3-x2,则g(x)=x(3x-2),当0x,g(x)时,g(x)0,g(x)min=g= -.当x0时,令f(x)=0,可得x2+2x-a=0,设h

3、(x)=x2+2x,h(x)min=-1,所以函数f(x)= 恰有2个零点,则a的取值范围为4.函数f(x)=ex+a-x3+2x2在(0,+)上只有一个零点,则a的值为 ()A.4B.4ln 2-3C.2D.5ln 2-4【解析】选D.函数f(x)=ex+a-x3+2x2在(0,+)上只有一个零点,可得ea=在(0,+)上只有一个解.令g(x)=,可得g(x)=-x,在(0,+)有2个极值点,x=1和x=4;x(0,1)时函数是减函数,x(1,4)时,函数是增函数,x(4,+)时函数是减函数,g(0)=0,所以函数g(x)的最大值为g(4)=,函数f(x)=ex+a-x3+2x2在(0,+)

4、上只有一个零点,可得ea=,所以a=5ln 2-4.二、填空题(每小题5分,共20分)5.方程x3-3x=k有3个不等的实根,则常数k的取值范围是_.【解析】令f(x)=x3-3x,要使x3-3x=k有三个不等的实根,则f(x)=x3-3x与y=k有3个交点.又f(x)=3x2-3,由f(x)=0得x=1.故f(x)在(-,-1和1,+)上递增,在(-1,1)上递减,所以x=-1时,f(x)取极大值2;x=1时f(x)取极小值-2.根据单调性情况画出y=x3-3x的大致图像(图略),可得-2k0,h(x)单调递增;当x(-3,2)时,h(x)0,h(x)单调递增.且h(-3)=,h(2)=-,

5、数形结合可得a的取值范围是.答案:7.已知函数f(x)=x3+mx+,g(x)=-ln x.mina,b表示a,b中的最小值,若函数h(x)=minf(x),g(x)(x0)恰有三个零点,则实数m的取值范围是_.【解析】f(x)=3x2+m,因为g(1)=0,所以要使h(x)=minf(x),g(x)(x0)恰有三个零点,需满足f(1)0,f0,m-,-m0,所以m=-1,要使方程ln x-x-mx=0在区间1,e2上有唯一实数解,只需m=-1有唯一实数解,令g(x)=-1,(x0),所以g(x)=,由g(x)0,得0xe;g(x)e,所以g(x)在区间1,e上是增函数,在区间e,e2上是减函

6、数.g(1)=-1,g(e)= -1,g(e2)=-1,故-1m0且c-2.【解析】(1)因为f(x)=x-(a-1)ex.所以xa-1时,f(x)0,函数f(x)在(a-1,+)上单调递增,当 xa-1时,f(x)0,所以函数h(x)在(0,+)上单调递增,又h(1)=e-30,所以存在x0(1,2),使h(x)=0,故当x(0,x0)时,g(x)0,所以函数g(x)存在唯一最小值x0,满足=x0+2,所以g(x0)=x0+=x0+1(2,3),因为a=g(x)=x+有解,所以ag(x0)2,所以a2.10.(2020龙岩模拟)已知函数f(x)=(x-1)ln x,g(x)=x-ln x-.

7、(1)求证:函数y=f(x)的图像恒在函数y=g(x)图像的上方.(2)当m0时,令h(x)=mf(x)+g(x)的两个零点x1,x2(x1x2).求证:x2-x10).则p(x)=ln x+1-1=ln x,令p(x)=0,得x=1.所以x(0,1)时p(x)0,所以p(x)在(0,1)为减函数,在(1,+)为增函数,所以p(x)p(1)=0-1+=0,即f(x)g(x). 故函数y=f(x)的图像恒在函数y=g(x)图像的上方.(2)由h(x)=mf(x)+g(x)=m(x-1)ln x+x-ln x-有两个零点,当m0时h(x)=m+1-.则h(x)在(0,+)为增函数,且h(1)=0,则当x(0,1)时h(x)0,h(x)为增函数,所以h(x)min=h(1)=1-0,h(e)=m(e-1)+e-1-0.所以h(x)在和(1,e)上各有一个零点x1,x2(x1x2),故x2-x1e-.