2021版高考数学一轮复习第十章统计与统计案例10.2用样本估计总体练习苏教版.doc

1、10.2 用样本估计总体考点一茎叶图1.(2017山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为()A.3,5B.5,5C.3,7D.5,72.(2020济南模拟)山东电视台“国学小名士”的播出引发了学校的国学热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“国学达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“国学能手”的称号,其他学生得到“国学爱好者”的称号,根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样,抽选10名学生,则抽选

2、的学生中获得“国学达人”称号的人数为()A.2B.4C.5D.63.重庆市2019年各月的平均气温()数据的茎叶图如图,则这组数据的中位数是_.4.空气质量指数(简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,050为优;51100为良;101150为轻度污染;151200为中度污染;201300为重度污染;大于300为严重污染.从某地一环保人士某年的AQI记录数据中,随机抽取10个,用茎叶图记录如图.根据该统计数据,估计此地该年AQI大于100的天数约为_(该年为365天).【解析】1.选A.由题意,甲组数据为56,62,65,70+x,74,乙组数据为59,61,

3、67, 60+y,78,要使两组数据的中位数相等,有65=60+y,所以y=5,又平均数相同,则=,解得x=3.2.选A.由茎叶图可得,获“国学达人”称号的有8人,据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样,抽选10名学生,则抽选的学生中获得“国学达人”称号的人数为8=2.3.由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,所以中位数为=20.答案:204.该样本中AQI大于100的频数是4,频率为,由此估计此地该年AQI大于100的频率为,估计此地该年AQI大于100的天数约为365=146.答案:146题3中茎叶图不变,那么这组数据的众

4、数是_,平均数是_.(保留整数)【解析】所给数据中20,23都出现了两次,是出现次数最多的数,所以众数是20,23;平均数是=20.答案:20,23201.茎叶图的三个关注点(1)“叶”的位置只有一个数字,而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一.(2)重复出现的数据要重复记录,不能遗漏.(3)给定两组数据的茎叶图,估计数字特征,茎上的数字由小到大排列,一般“重心”下移者平均数较大,数据集中者方差较小.2.利用茎叶图解题的关键是抓住“叶”的分布特征,准确从中提炼信息. 在使用茎叶图时,一定要注意看清楚所有的样本数据,弄清楚这个图中的数字特点,不要漏掉了数据,也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义.考点二

5、频率分布直方图【典例】(2017北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:20,30),30,40),80,90,并整理得到如图频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率.(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间40,50)内的人数.(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.【解题导思】序号联想解题(1)由频率估计概率(2)样本中分数在区间40,50

6、)内的人数与总体中分数在区间40,50)内的人数各自的占比相等(3)按分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例等于样本中男生和女生人数的比例【解析】(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9,分数在区间40,50)内的人数为100-1000.9-5=5.所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为400=20.(3)由题意

7、可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)10100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60=30.所以样本中的男生人数为302=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为6040=32.所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为32.1.频率、频数、样本容量的计算方法(1)组距=频率.(2)=频率,=样本容量,样本容量频率=频数.2.频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,这是解题的关键,通过频率分布直方图可以估计总体分布.【易错警示】频率分布直方图的纵坐标是,而不是频率,切莫与条形图混淆.(2019全国卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体

8、内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图直方图:记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值.(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=

9、0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00.考点三平均数、方差、标准差命题精解读考什么:(1)考查频率分布直方图和茎叶图;(2)考查众数、中位数、平均数、方差及标准差;(3)考查数学运算、数据分析的核心素养及数形结合、分类与整合等思想方法.怎么考:通过对频率分布直方图和茎叶图的分析,获得众数、中位数、平均数、方差及标准差等数字特征,从而用样本估计总体.新趋势:以频率分布直方图和茎叶图为载体,结

10、合方程、不等式等进行数据分析.学霸好方法1.求数字特征的新思路对频率分布直方图和茎叶图进行分析,找出数据或者数据的分布情况,再计算得到结论.2.交汇问题 数据计算与函数、方程、基本不等式等交汇时,要通过函数、方程、基本不等式获得最值或范围.样本的数字特征与频率分布直方图【典例】 (2020武昌模拟)我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨),用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费,为了了解全市居民用水量的分布情况,通过抽样,获得了100位居民某年的月均用水量(单

11、位:吨),将数据按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值.(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.(3)已知平价收费标准为4元/吨,议价收费标准为8元/吨.当x=3时,估计该市居民的月平均水费.(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)【解析】(1)由频率分布直方图,可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)0.5=1,解得a=0.30.(2)因为前6组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)0.5

12、= 0.880.85,而前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)0.5= 0.730.85,所以2.5xP2,因此正确.设男生、女生两组数据的平均数分别为,标准差分别为s甲,s乙.易求=65.2,=61.8,知,正确.又根据茎叶图,男生锻炼时间较集中,女生锻炼时间较分散,所以s甲s乙,错误,因此符合茎叶图所给数据的结论是.3.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的序号为_.【解析】甲地5天的气温为:26,28,29,31,31,其平均数为=29;方差为=(26-29)2+(28-29)2+(29-29)2+(31-29)2+(31-29)2=3.6;标准差为s甲=.乙地5天的气温为:28,29,30,31,32,其平均数为=30;方差为=(28-30)2+(29-30)2+(30-30)2+(31-30)2+(32-30)2=2;标准差为s乙=.所以答案: