山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题 WORD版含解析.doc

1、 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知，其中是实数，是虚数单位，则A B C D【答案】D【解析】试题分析：由，得，即，即且，即，则.考点：1.复数的运算；2.复数的模长.2.已知集合，则A B C D【答案】C考点：1.函数的定义域；2.集合的运算.3.高三（3）班共有学生人，座号分别为，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为的样本已知号、号、号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A B C D【答案】B【解析】试题分析：由系统抽样的特点，得到样本中的座号形成一个以3为首项，公差为17-3=14的等差数列，

2、则三个座号是17+14=31.考点：系统抽样.4.已知函数，则使的的集合是A B C D【答案】A考点：分段函数.5.已知函数是一个求余函数，其格式为，其结果为除以的余数，例如. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为时，则输出的结果为A B C D 【答案】B【解析】试题分析：由程序框图，得；，输出，即输出结果为5.考点：程序框图.6. 设满足约束条件，则下列不等式恒成立的是A B C D【答案】C【解析】试题分析：作出可行域及其选项中的直线，由图像可以看出，直线经过点，且可行域在该直线的右上方，符合；直线经过该可行域，不满足恒成立；故选C考点：不等式（组）与平面区域.7. “”是“函数在上

3、单调递增”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：的图像关于直线对称，且在上单调递增；则“函数在上单调递增”的充要条件是，且，则“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件 .考点：1.函数的单调性；2.充分条件、必要条件.8. 将甲、乙等名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有A种 B种 C种 D种【答案】C【解析】试题分析：可分两类：第一类，将5人分成1,1,3，则先从其余三人中选1人与甲、乙在一起，有3种选法，三者选择一个路口，有3种选法，其余两人进行全排列，有中排列方法，则共有种不同方法

4、；第二类，将5人分成2,2,1，则有种不同方法；所以共有.考点：1.排列组合；2.分类加法计数原理.9. 定义在上的奇函数满足，当时，则在区间内是A减函数且 B减函数且C增函数且 D增函数且【答案】B【解析】试题分析：因为为奇函数，所以，又，；当时，为增函数，且；，所以当时，为减函数，且.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性.10. 已知双曲线的右焦点为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点，点在第一象限，为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为A B C D【答案】C【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线方程为，过焦点，斜率为的直线方程为，联立，得，即；则，解得，即，即双曲线的离心率.

5、考点：1.双曲线的几何性质；2.两条直线的位置关系.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应题的横线上11. 已知不共线的平面向量，满足，那么 ； 【答案】【解析】试题分析：，即.考点：1.平面向量垂直的判定；2.平面向量的模长.12. 某班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在分以上的有 人； 【答案】8【解析】试题分析：由正态分布的特点，得；则该班学生数学成绩在分以上的约有人.考点：正态分布.13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；【答案】32【解析】试题分析：由三棱锥的三视图，可知：三棱锥的底面三角形的底是8，高

6、为6，其底面面积是；三棱锥的高为4，所以三棱锥的体积.考点：1.三视图；2.几何体的体积.14. 若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；【答案】【解析】试题分析：由图像，得,即，即；令，得；由定积分的几何意义，得所求阴影部分的面积为.考点：1.三角函数的图像与性质；2.定积分的几何意义.15. 若不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值为 【答案】【解析】试题分析：令，则，则化为；令；当，即时，在上为增函数，则，得（舍）；当，即时，在上为减函数，则恒成立；当，即时，则，即，解得；综上所述，即数的最大值为.考点： 1.代换法；2.二次不等式恒成立；3.分类讨论思想.三、 解答题：

7、本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量,实数为大于零的常数，函数,，且函数的最大值为.（）求的值；（）在中，分别为内角所对的边，若，,且,求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到，再利用二倍角公式及配角公式将化成的形式，再利用最值求值；（2）先求出角，再利用余弦定理和基本不等式求出的最值，最后利用平面向量的数量积进行求解.试题解析：（）由已知2分 5分因为，所以的最大值为，则 6分（）由（）知，所以化简得 因为，所以则，解得 8分因为，所以则，所以 10分则所以的最

8、小值为 12分考点：1.平面向量的数量积运算；2.三角函数恒等变形；3.余弦定理；4.基本不等式.17（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过公里的地铁票价如下表：乘坐里程（单位：）票价（单位：元）现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过公里.已知甲、乙乘车不超过公里的概率分别为，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为， .（）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望【答案】（1）；（2）分布列略，8.【解析】试题分析：（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式和互斥事件

9、有一个发生的概率公式进行求解；（2）写出随机变量的所有可能取值，求出每个变量的概率，列表得到分布列及其数学期望.试题解析：（）由题意可知，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 2分所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率 4分（）由题意可知，则 10分所以的分布列为则 12分考点：1.独立事件同时发生的概率；2随机变量的分布列和数学期望.18（本小题满分12分）如图，在正四棱台中，、分别是、的中点. （）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值的大小.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平

10、面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.【答案】（1）证明略；（2）.【解析】试题分析：（1）构造辅助线，构造平行四边形证明线线平行，进而利用线面平行的判定定理得到线面平行，再利用面面平行的判定定理证明面面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量进行求解.试题解析：（）连接，分别交于，连接由题意，因为平面，平面，所以平面 2分又因为，所以又因为、分别是、的中点，所以所以又因为，所以所以四边形为平行四边形所以因为平面，平面，所以平面因为，所以平面平面 5分（）连接，因为，又所以四边形为平行四边形，所以由题意平面，平面，因为，所以因为为正方形，所以所以，以分别为轴建立如图所示的坐标

11、系则，所以, 7分设是平面的法向量，则, ，令，则，所以 9分设是平面的法向量，则令，则，所以 11分所以所以二面角的余弦值的大小为12分考点：1.空间中平行关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用.19（本小题满分12分）设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）若数列满足（），且，试求的通项公式及其前项和【答案】（1），；（2），.【解析】试题分析：（1）设的公差为，的公比为，得到关于的方程组进行求解；（2）先化简得，再仿写表达式，进行作商，分奇数项与偶数项进行讨论求得；进而求得前项和.试题解析：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且 即 解得：，或，由于是各

12、项都为正整数的等比数列，所以2分从而， 4分（） ， 两式相除：，由，可得：是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列 6分当为偶数时， 7分 9分当为奇数时，10分为奇数为偶数为奇数为偶数 ， 12分考点：1.等差数列、等比数列；2.数列的递推公式；3.分类讨论思想.20（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为，且点在圆上（）求抛物线的方程；（）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆上存在关于直线对称的两个不同的点，求椭圆的离心率的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设出点坐标，代入抛物线方程、圆的方程以及焦半径公式

13、即可求解；（2）先根据椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，得到，再根据点关于直线对称，设出直线的直线方程，联立直线与椭圆的方程，利用与根与实数的关系进行求解.试题解析：（）设点的坐标为，由题意可知 2分解得： 所以抛物线的方程为： 4分（）由（）得抛物线的焦点 椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合椭圆半焦距5分设是椭圆上关于直线对称的两点， 由（*）则，得：7分对于（*），由韦达定理得：中点的坐标为将其代入直线得：9分由消去，可得：， 椭圆的离心率， 13分考点：1.抛物线的标准方程；2.点关于直线对称；3.直线与椭圆的位置关系.21（本小题满分14分）已知函数（为实数）（）当时，求函数的图象在点处

14、的切线方程；（）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围；（）已知，求证：【答案】（1）；（2） 或；（3）证明略.【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，根据函数在区间上不存在极值，得到的取值范围，再利用二次函数的对称轴与开口方向求得最值，得到关于的不等式，再进行求解；（3）先判定函数的单调性，再合理进行赋值放缩进行证明.试题解析：（）当时，则，函数的图象在点的切线方程为：，即 4分（），由由于函数在区间上不存在极值，所以或 5分由于存在满足，所以6分对于函数，对称轴当或，即或时，由，结合或可得：或当，即时，由，结合可知：不存在； 当，即时，；由，结合可知： 综上可知： 或9分（）当时，当时，单调递增；当时，单调递减，在处取得最大值 即，11分令，则，即，故 14分考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性；3.函数的极值；4.放缩法.