山西大学附中2016届高三数学上学期期中试卷文含解析.doc

1、2015-2016学年山西大学附中高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是题目要求的）1设集合P=3，log2a，Q=a，b，若PQ=0，则PQ=( )A3，0B3，0，1C3，0，2D3，0，1，22已知命题p：xR，sinx1，则p为( )AxR，sinx1BxR，sinx1CxR，sinx1DxR，sinx13已知9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则b2（a2a1）=( )A8B8C8D4已知向量=（1，2），=（3，2），若（k+）（3），则实数k的取值为( )ABC3D35已知

2、函数f（x）=x32x2+2有唯一零点，则下列区间必存在零点的是( )ABCD6为调查高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，如图是此次调查中的某一项流程图，若输出的结果是3800，则身高在170cm以下的频率为( )A0.24B0.38C0.62D0.767函数y=e|lnx|x1|的图象大致为( )ABCD8若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于( )A10cm3B20cm3C30cm3D40cm39函数的一条对称轴方程为，则a=( )A1BC2D310已知三个向量，共线，其中a、b、c、A、B、C分别是ABC的三条边及相对三个角，则ABC的形状是( )

3、A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形11已知函数f（x）=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1，x2，且0x11x2，点P（m，n）表示的平面区域内存在点（x0，y0）满足y0=loga（x0+4），则实数a的取值范围是( )A（0，）（1，3）B（0，1）（1，3）C（，1）（1，3D（0，1）3，+）12已知函数f（x）=2x+1，xN*若x0，nN*，使f（x0）+f（x0+1）+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”函数f（x）的“生成点”共有( )A1个B2个C3个D4个二.填空题（每题4分，满分16分）13已知，、的夹角为60，则

4、=_14设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x1时，f（x）=（）x1，则f（），f（），f（）的从大到小关系是_15设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为6，则的最小值为_16已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足，且f（x）g（x）f（x）g（x），若有穷数列的前n项和为，则n=_三.解答题（本大题5个小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an满足：Sn=1an（nN*），其中Sn为数列an的前n项和（）试求an的通项公式；（）若数列bn满足：（nN*），试求bn的前n项和公式Tn18某

5、校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示若130140分数段的人数为2人（1）求这组数据的平均数M；（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率19如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCDAB=AA1=（1）证明：A1C平面BB1D1D；（2）求三棱柱ABDA1B1D1的体积20椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为（）求椭

6、圆C的方程；（）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若OEF为直角三角形，求直线l的斜率21已知函数在x=1处取到极值2（）求f（x）的解析式；（）设函数若对任意的x1R，总存在x21，e，使得，求实数a的取值范围2015-2016学年山西大学附中高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是题目要求的）1设集合P=3，log2a，Q=a，b，若PQ=0，则PQ=( )A3，0B3，0，1C3，0，2D3，0，1，2【考点】并集及其运算 【专题】计算题【分析】根据集合P=3，log2a，Q=a，b，若PQ=0，则l

7、og2a=0，b=0，从而求得PQ【解答】解：PQ=0，log2a=0a=1从而b=0，PQ=3，0，1，故选B【点评】此题是个基础题考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用2已知命题p：xR，sinx1，则p为( )AxR，sinx1BxR，sinx1CxR，sinx1DxR，sinx1【考点】命题的否定 【专题】简易逻辑【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为xR，使得sinx1【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：xR，sinx1，的否定是xR，使得sinx1故选：C【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题

8、的之间的关系的应用，属于基础试题3已知9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则b2（a2a1）=( )A8B8C8D【考点】等差数列与等比数列的综合 【专题】计算题【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案【解答】解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=3b2（a2a1）=8故选 B【点评】本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查在做关于等差数列以及等比数列的题目时，其常用性质一定要熟练掌握4已知向量=（1，2），=（3，2），若（k+）（3），则实数k的取值

9、为( )ABC3D3【考点】平行向量与共线向量；平面向量坐标表示的应用 【专题】平面向量及应用【分析】根据题目给出的两个向量的坐标，运用向量的数乘和加法运算求和，然后运用向量共线的坐标表示列式求k的值【解答】解：由=（1，2），=（3，2），得=（k3，2k+2），=（10，4），则由，得（k3）（4）10（2k+2）=0，所以k=故选A【点评】本题考查了平行向量及平面向量坐标表示的应用，解答的关键是掌握向量共线的坐标表示，即，则x1y2x2y1=05已知函数f（x）=x32x2+2有唯一零点，则下列区间必存在零点的是( )ABCD【考点】函数零点的判定定理 【专题】计算题【分析】根据函数的解

10、析式f（x）=x32x2+2，结合零点存在定理，我们可以分别判断四个答案中的四区间，如果区间（a，b）满足f（a）f（b）0，则函数在区间（a，b）有零点【解答】解：f（x）=x32x2+2f（1）=（1）32（1）2+2=12+2=10f（）=（）32（）2+2=+2=0f（1）f（）0故函数f（x）=x32x2+2在区间必有零点故选：C【点评】本题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中连续函数在区间（a，b）满足f（a）f（b）0，则函数在区间（a，b）有零点，是判断函数零点存在最常用的方法6为调查高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，如图是此次调查中的某一项流程图，若输出的

11、结果是3800，则身高在170cm以下的频率为( )A0.24B0.38C0.62D0.76【考点】程序框图 【专题】计算题【分析】本题考查循环结构，由图可以得出，此循环结构的功能是统计出身高不小于170cm的学生人数，由此即可解出身高在170cm以下的学生人数，然后求解频率，选出正确选项【解答】解：由图知输出的人数的值是身高不小于170cm的学生人数，由于统计总人数是5000，又输出的S=3800，故身高在170cm以下的学生人数是50003800身高在170cm以下的频率是：=0.24故选：A【点评】本题考查框图循环结构的理解，解题的关键是理解框图，由框图得出运算规则来，本题是一个以统计为

12、背景的考查框图的题，此类题是新教材实验区这几年高考中常出现的题型，其特征是用框图告诉运算规律，再由此运算规律计算出所求的值，应注意总结其做题的规律7函数y=e|lnx|x1|的图象大致为( )ABCD【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】先化简函数的表达式，e|lnx|=，再用排除法【解答】解：先化简函数的表达式，e|lnx|=，当x1时，y=x（x1）=1；当0x1时，y=（1x）=x+1；y=，特别地，当0x1时，故只有A与B符合，但当x1时，y=x（x1）=1，图象时平行于x轴的直线，故只有B正确，故选：B【点评】本题主要考查了函数图象的有关性质，特别是分段函数的性质，属于

13、基础题8若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于( )A10cm3B20cm3C30cm3D40cm3【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案【解答】解：由三视图知几何体为三角形削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，几何体的体积V=345345=20（cm3）故选B【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状

14、及数据所对应的几何量9函数的一条对称轴方程为，则a=( )A1BC2D3【考点】正弦函数的对称性 【专题】计算题【分析】根据正弦函数在对称轴上取到最值，将代入中得到的值应为函数最值，得到+a=，进而可求得a的值【解答】解：将代入中得到=sin+asin=+a是的一条对称轴+a=a=故选B【点评】本题主要考查正弦函数的对称性正弦函数一定在其对称轴上取到最大或最小值10已知三个向量，共线，其中a、b、c、A、B、C分别是ABC的三条边及相对三个角，则ABC的形状是( )A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形【考点】向量在几何中的应用 【专题】计算题；解三角形；平面向量及应用【分析】根

15、据向量、共线得acos=bcos，结合正弦定理与二倍角的正弦公式化简，可得sin=sin，从而得到A=B同理由、共线算出B=C，从而得到A=B=C，所以ABC是等边三角形【解答】解：与共线，acos=bcos，由正弦定理得sinAcos=sinBcos，sinA=2sincos，sinB=2sincos，2sincoscos=2sincoscos，化简得sin=sin又0，0，=，可得A=B同理，由与共线得到B=C，ABC中，A=B=C，可得ABC是等边三角形故选：B【点评】本题给出三个向量两两共线，由此判定三角形的形状着重考查了二倍角的三角函数公式、正弦定理和三角形形状的判定等知识，属于中档

16、题11已知函数f（x）=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1，x2，且0x11x2，点P（m，n）表示的平面区域内存在点（x0，y0）满足y0=loga（x0+4），则实数a的取值范围是( )A（0，）（1，3）B（0，1）（1，3）C（，1）（1，3D（0，1）3，+）【考点】利用导数研究函数的极值 【专题】综合题；导数的概念及应用【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，可得方程x2+mx+=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+），从而可确定平面区域为D，进而利用函数y=loga（x+4）的图象上存在区域D上的点，可求实数a的取值范围【解答】解：函数

17、f（x）=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1，x2，且0x11x2，f（x）=x2+mx+=0的两根x1，x2满足0x11x2，则x1+x2=m，x1x2=0，（x11）（x21）=x1x2（x1+x2）+1=+m+10，即n+3m+20，mn3m2，为平面区域D，直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（1，1）要使函数y=loga（x+4）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1loga（1+4）loga31，解得1a3或0a1，故选：B【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系、线性规划、对数函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题12已知

18、函数f（x）=2x+1，xN*若x0，nN*，使f（x0）+f（x0+1）+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”函数f（x）的“生成点”共有( )A1个B2个C3个D4个【考点】函数的值；数列的求和 【专题】压轴题；新定义【分析】由f（x0）+f（x0+1）+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+2（x0+1）+1+2（x0+n）+1=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，解出即可【解答】解：由f（x0）+f（x0+1）+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+2（x0+1）+1+2（x0+n）+1=63所以2（n+1）x0+2（1+

19、2+n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，解得或，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）故选B【点评】本题考查数列求和及函数求值，考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力二.填空题（每题4分，满分16分）13已知，、的夹角为60，则=【考点】向量的模 【专题】计算题【分析】利用两个向量的数量积的定义求出的值，由 =求得结果【解答】解：已知，、的夹角为60，=23cos60=3，=，故答案为 【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，求出的值，是解题的关键14设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且

20、当x1时，f（x）=（）x1，则f（），f（），f（）的从大到小关系是f（）f（）f（）【考点】函数奇偶性的性质 【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据y=f（x+1）是偶函数得到函数f（x）关于x=1对称，利用函数单调性和对称性之间的关系，进行比较即可【解答】解：y=f（x+1）是偶函数，y=f（x+1）关于y轴，即x=0对称，则y=f（x+1）向右平移1个单位，得到y=f（x），则f（x）关于x=1对称，则f（x）=f（2x）当x1时，f（x）=（）x1为减函数，当x1时，函数f（x）为增函数，则f（）=f（2）=f（），f（）f（）f（），即f（）f（）f（），即f（）f

21、（）f（），故答案为：f（）f（）f（）【点评】本题主要考查函数值的比较，根据函数奇偶性的性质以及函数对称性之间的关系，进行转化比较是解决本题的关键15设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为6，则的最小值为1【考点】简单线性规划的应用；基本不等式在最值问题中的应用 【专题】数形结合；转化思想【分析】作出x、y满足约束条件的图象，由图象判断同最优解，令目标函数值为6，解出a，b的方程，再由基本不等式求出的最小值，代入求解即可【解答】解：由题意、y满足约束条件的图象如图目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为6从图象上知，最优解是（2，4）故有2a+4b=6=

22、（2a+4b）=（10+）（10+2）=3，等号当且仅当时成立故的最小值为log33=1故答案为1【点评】本题考查简单线性规划的应用及不等式的应用，解决本题，关键是根据线性规划的知识判断出取最值时的位置，即最优解，由此得到参数的方程，再构造出积为定值的形式求出真数的最小值16已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足，且f（x）g（x）f（x）g（x），若有穷数列的前n项和为，则n=8【考点】函数的单调性与导数的关系 【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用【分析】由f（x）g（x）f（x）g（x）可知y=ax时减函数，结合可解出a，从而得出数列的通项公式，带入求和公式即可解出n的值

23、【解答】解：令F（x）=，则F（x）=0，F（x）=是减函数，0a1，a+=，a=（）n其前n项和为Sn=1（）n1（）n=，解得n=8故答案为：8【点评】本题考查了函数单调性与导数的关系及数列求和，属于综合题三.解答题（本大题5个小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an满足：Sn=1an（nN*），其中Sn为数列an的前n项和（）试求an的通项公式；（）若数列bn满足：（nN*），试求bn的前n项和公式Tn【考点】数列的求和；数列递推式 【专题】计算题【分析】（）先把n=1代入求出a1，再利用an+1=Sn+1Sn求解数列的通项公式即可（）把（）的结论代入，发

24、现其通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列，故直接利用数列求和的错位相减法求和即可【解答】解：（）Sn=1anSn+1=1an+1 得an+1=an+1+anan；n=1时，a1=1a1a1=（）因为 bn=n2n所以 Tn=12+222+323+n2n 故 2Tn=122+223+n2n+1 Tn=2+22+23+2nn2n+1=整理得 Tn=（n1）2n+1+2【点评】本题的第一问考查已知前n项和为Sn求数列an的通项公式，第二问考查了数列求和的错位相减法错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列18某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率

25、分布直方图如图所示若130140分数段的人数为2人（1）求这组数据的平均数M；（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 【专题】计算题；概率与统计【分析】（I）根据频率分布直方图可知，各个小组的频率，再根据平均数的求法即可解出这组数据的平均数M（II）本题是一个等可能事件的概率，可以列举出从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法，满足条件的事件是两人成绩之差大于20，则两

26、人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，根据等可能事件的概率公式得到结果【解答】解：（）由频率分布直方图可知：90100分的频率为0.1，100110分的频率为0.25，110120分的频率为0.45，120130分的频率为0.15，130140分的频率为0.05； 这组数据的平均数M=950.1+1050.25+1150.45+1250.15+1350.05=113（分） （）第五组130140分数段的人数为2人，频率为0.05；故参加的总人数为 20.05=40人第一组共有400.0110=4人，记作A1、A2、A3、A4；第五组共有2人，记作B1、B2从第一组和第五组中任意选出两人共有

27、下列15种选法：A1，A2、A1，A3、A1，A4、A2，A3、A2，A4、A3，A4；A1，B1、A2，B1、A3，B1、A4，B1；A1，B2、A2，B2、A3，B2、A4，B2；B1，B2共有15种结果，设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故P（A）=【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体的频率分布，考查等可能事件的概率，考查用列举法来数出事件数，这是一个概率与统计的综合题目19如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCDAB=AA1=（1）证明：A1C平面BB1D1D

28、；（2）求三棱柱ABDA1B1D1的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）要证明A1C平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1CBD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1CE1O由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高，由此能求出三棱柱ABDA1B1D1的体积【解答】证明：（1）A1O面ABCD，且BD，AC面ABCD，A1OBD，A1OAC；又在正方形ABCD中，ACBD，A1OAC=O，BD面A1AC，且A1C面

29、A1AC，故A1CBD在正方形ABCD中，AB=，AO=1，在RtA1OA中，AA1=，A1O=1设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，A1CE1O又BD面BB1D1D，且E10面BB1D1D，且BDE1O=O，A1C面BB1D1D；解：（2）四棱锥ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O=1，A1B=AB=AA1=，A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高，在正方形ABCD中，AO=1在RtA1OA中，A1O=1，三棱柱ABDA1B1D1的体积V=SABDA1O=（）21=1【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱柱的体积的求

30、法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为（）求椭圆C的方程；（）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若OEF为直角三角形，求直线l的斜率【考点】椭圆的应用 【专题】计算题【分析】（）由已知，a2+b2=5，由此能够求出椭圆C的方程（）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，再由根与系数的关系求解【解答】解：（）由已知，a2+b2=5，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为；（）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，消去y

31、得（1+4k2）x2+32kx+60=0，=（32k）2240（1+4k2）=64k2240，令0，解得设E，F两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（）当EOF为直角时，则，因为EOF为直角，所以，即x1x2+y1y2=0，所以（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16=0，所以，解得（）当OEF或OFE为直角时，不妨设OEF为直角，此时，kOEk=1，所以，即x12=4y1y12，又；，将代入，消去x1得3y12+4y14=0，解得或y1=2（舍去），将代入，得，所以，经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和【点评】本题是椭圆问题的综合题，解题时要认真审题，仔细解答21已

32、知函数在x=1处取到极值2（）求f（x）的解析式；（）设函数若对任意的x1R，总存在x21，e，使得，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件 【专题】综合题；压轴题【分析】（）利用函数的求导公式计算函数的导数，根据函数在x=1处取到极值得出函数在x=1处的导数为0，再把x=2代入函数，联立两式求出m，n的值即可已知函数在x=1处取到极值2（）由（）知f（x）的定义域为R，且f（x）=f（x）故f（x）为奇函数f（0）=0，x0时，f（x）0，f（x）=2当且仅当x=1时取“=”故f（x）的值域为2，2从而依题意有【解答】解：（）根据题意，f（x）=，f

33、（x）=；由f（x）在x=1处取到极值2，故f（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值故（）由（）知f（x）的定义域为R，且f（x）=f（x）故f（x）为奇函数f（0）=0，x0时，f（x）0，f（x）=2当且仅当x=1时取“=”故f（x）的值域为2，2从而依题意有函数的定义域为（0，+），当a1时，g（x）0函数g（x）在1，e上单调递增，其最小值为合题意；当1ae时，函数g（x）在1，a）上有g（x）0，单调递减，在（a，e上有g（x）0，单调递增，所以函数g（x）最小值为f（a）=lna+1，由，得从而知符合题意当ae时，显然函数g（x）在1，e上单调递减，其最小值为，不合题意综上所述，a的取值范围为【点评】该题考查函数的求导，以及函数极值的应用，考查一个函数小于零一个函数时，小于它的最小值要会利用函数的导数判断函数的单调性