专题04 基本不等式及其应用-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（八） WORD版含解析.doc

1、 【目标要求】学习目标目标解读了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能。要了解应用基本不等式的条件，学会合理拆项、配凑因子等常用的解题技巧，注意拆项和配凑因子时需使等式成立。【核心知识点】1.应用基本不等式需注意以下三点：（1）各项或各因式为正；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，以满足上述前提，即“一正、二定、三相等”。 2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：， 等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立

2、的条件。3.当多次使用均值不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立的条件不但是解题的必要步骤，而且是检验转化是否有误的一种方法。【活动思考，阅读拓展】 基本不等式学习中注意的几点1.基本不等式中两个公式的区别是什么？基本不等式成立的条件，当且仅当ab时，等号成立，要将它与不等式成立的条件及当且仅当ab时。从当，时，在不等式中，以分别代替a、b得到基本不等式来认识它的代数背景；从应用几何图形的面积关系获得基本不等式及利用圆中“半径不小于半弦”的几何解释来认识它的几何背景；从探究分析法的证明过程来进一步

3、理解基本不等式。2.如何利用文字语言叙述基本不等式？式子结构特征是什么？1、如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。2、分析不等式的结构，左式为和结构，右式为积的形式。该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换。3.基本不等式的解题功能是什么？利用基本不等式求最值需要注意什么？均值不等式的功能除了用于比较数的大小及证明不等式之外，主要用于求函数的最值，它有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。 1、当a，b都是正数，且ab是定值时，则（定值），

4、当且仅当ab时取得“”，此时ab有最小值；2、当a，b都是正数，且ab是定值时，则（定值），当且仅当ab时取“”，此时ab有最大值。3、基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。“和定积最大，积定和最小”，即n个（n2，3）正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。应用此结论求最值要注意三个条件：（1）各项或各因式均正；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式都能够取得相等的值。有时要作适当的变形，创造应用均值不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧。而拆与凑的前提在于使等号能够成立。4、利用基本定理解读解决实际问题的步骤有哪些

5、？1、在理解题意的基础上设变量，设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定为函数；2、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；3、在定义域内，求出函数的最大值或最小值；4、回到实际问题中，结合实际意义写出正确答案，回答实际问题。 【高考考题展示】1 （2018年天津）已知a，bR，且a-3b+6=0，则2a+8b(1)的最小值为 【答案】4(1)【解析】a，bR，且a-3b+6=0，可得3b=a+6，则2a+8b(1)=2a+2a+6(1)=2a+2a26(1)22a26(1)2a26(1)=4(1)，当且仅当2a=2a+6(1)即a=-3时取等号函数的最小值为4(1)故

6、答案为4(1)2(2018年江苏)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC=120，ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为 【答案】9【解析】由题意得2(1)acsin 120=2(1)asin 60+2(1)csin 60，即ac=a+c，得a(1)+c(1)=1，得4a+c=（4a+c）（a(1)+c(1)）=a(c)+c(4a)+52a(c)c(4a)c(4a)+5=4+5=9，当且仅当a(c)=c(4a)，即c=2a时，取等号故答案为93. （2016江苏）在锐角三角形ABC中，若，则的最小值是_。【分析】本题已知与所求存在函数名称差别，所以可以通

7、过三角公式进行变换消除差异，所以切化弦或弦化切，再利用基本不等式求解。t=2时，有最小值8.方法二：（灵活应用公式）三角内角一个恒等式：，根据方法一得，所以，即：，化简得：【点评】本题综合性强，考查三角函数的恒等变换公式以及基本不等式的灵活应用，先观察式子差异，想办法消除差异，然后利用三角恒等变换公式化简，根本出发点是多变量转化为单变量，再利用基本不等式求解。本题也可以利用切化弦，再利用基本不等式求最值。大家可以试一试。【重难点突破】考点一、求取值范围(或求最值)求取值范围问题或求最值问题，关键在于获取不等关系，再利用基本不等式法求解。例1已知，则的最小值是（ ）A2BC4D5【答案】C【解析

8、】多次使用基本不等式时，需要注意每次使用不等式成立的条件一致，否则不能使用基本不等式。因为当且仅当，且，即时，取“=”号。w.w.w.c.o.m 所以选择C。 变式训练题：给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若，其中，则x+y的最大值是 . 【答案】2 考点二、证明不等式高考中证明不等式问题，常常是与数列、二次曲线、三角函数、“三个二次”、排列组合数等相结合的解答题基本不等式法是常用的解法之一 例2若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)； ； ； ； 【答案】 考点三、最优化问题实际生活中的最优化应用性问题，

9、几乎每年的应用题都有涉及到不等关系，应予以重视最优化问题的解题步骤是：先把实际问题运用适当的不等式模型，转化为不等式问题，再解此不等式，最后检验作答应用问题首先要读懂题意，理解背景，领悟数学实质，再归纳其中的数量关系，建立数学模型，而最值问题的应用型问题，常常考查利用均值不等式求最值，如果不满足利用均值不等式的条件，则先判断单调性后求解。例3某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场并开始灭火 。已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所消耗的

10、车辆、器材和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元。问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？ 变式训练题：某工厂有一段旧墙长14m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126的厂房，工程条件是：（1）建1m新墙的费用为a元；（2）修1m旧墙的费用为元；（3）拆去1m的旧墙，用得到的建材建1m新墙的费用为元，经讨论有两种方案：利用旧墙一段xm（0x1时，不等式x+a恒成立，则实数a的取值范围是A(,2B2,+)C3,+)D(,3 【答案】D【解析】构造函数，因为x1，所以x-10,所以，所以，所以使得不等式恒成立，所以选择D。3. 已知，则函数有（ ）

11、A最小值6B最大值6 C最小值D最大值【答案】A【解析】因为x0，所以,所以。4.若且，则下列不等式恒成立的是 （ ） ABCD 【答案】D【解析】A：，所以，；B：；C：，所以；D：因为，所以，得，故只有D正确。5. 函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（ ） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】定点A坐标为 ， 由 点A在直线上，即，当且仅当时取等号. 6. 已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ）【答案】D 7.已知正整数满足，使得取最小值时，则实数对（是（ ）A(5，10） B（6，6） C（10，5） D（7，2）【答案】A【解析】，当

12、且仅当时取等号，即b2a时，结合4ab30，解得a5，b10.8. 设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为( ). A. B. C. D. 4【答案】A 二填空题9.已知正实数满足,则的最小值为 .【答案】4【解析】依题意，当且仅当x=y=1时取等号。10.已知，且4x3y1，则的最小值为_.【答案】【解析】，等号成立的条件是，又4x3y1，解得，故的最小值为 11.若直线平分圆，则的最小值是_。【答案】 12.若，则函数的最大值为 。【答案】-8【解析】:令, w.w.w.c.o.m w.w.w.c.o.m 。三解答题13.迎世博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：)，能使整个矩形广告面积最小. 【解析】设矩形栏目的高为，宽为，则，