2022年新教材高考数学一轮复习 第5章 数列 2 等差数列及其前n项和课件 新人教版.pptx

1、5.2等差数列及其前n项和第五章2023高 中 总 复 习 优 化 设 计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI课标要求1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.备考指导等差数列是最重要的基本数列之一,也是高考必考内容.既可能在解答题中考查,也可能在选择题或填空题中出现.复习时要牢记基本公式,能准确进行基本量的运算,并且掌握相关性质以简化运算.还要注重数学文化在等差

2、数列中的渗透,对函数与方程思想运用较多,培养数学运算的核心素养.内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升第一环节 必备知识落实【知识筛查】1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.2.等差中项如果三个数a,A,b组成等差数列,那么 A 叫做a与b的等差中项,由等差数列的定义知 2A=a+b.温馨提示1.a,A,b是等差数列的充要条件是2A=a+b.2.数列an是等差数列2an=an-1+an+1(n2).3.等差数列的通

3、项公式首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d.4.等差数列的前n项和公式5.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可得an=dn+(a1-d),当d=0时,an=a1为常数函数,当d0时,an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,因此等差数列an的图象是直线y=dx+(a1-d)上的一群均匀分布的孤立的点.(2).当d0时,它是关于n的二次函数.数列an是等差数列Sn=An2+Bn(A,B为常数).温馨提示当d0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列an为递增数列;当d

4、0时,数列an为递减数列.1.若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则ak+al=am+an.2.若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d.3.若an,bn是等差数列,则pan+qbn也是等差数列.4.若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为md的等差数列.6.若an是等差数列,Sm,S2m,S3m分别为an的前m项、前2m项、前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列.【知识巩固】1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等

5、差数列.()(2)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列.()(3)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2.()(4)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()2.已知等差数列an满足a3=13,a13=33,则a7等于()A.19B.20C.21D.22CD由题意可得,2a11=a9+a13,即a13=7.由等差数列前n项和公式,4.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.5.在100以内(包括100)的正整数中有个能被6

6、整除.14设等差数列an的公差为d.等差数列an的前n项和为Sn,a3=0,a6+a7=14,16由题意知,能被6整除的数构成一个等差数列an,则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n.由an=6n100,即,则在100以内(包括100)的正整数中有16个能被6整除.第二环节 关键能力形成能力形成点1等差数列基本量的运算例1(1)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6C设等差数列an的公差为d.(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,数列an为等差数列,d=am+1-am=1,

7、m0,a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.(方法二)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,则等差数列的公差d=am+1-am=3-2=1.(2)若等差数列an的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于()A.12B.13C.14D.15B(3)设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.25设等差数列an的公差为d.a1=-2,a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出公差d,由通项公式或前n项和公式转化

8、为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,则可设这三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,则可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.对点训练1(1)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100等于()A.100B.99C.98D.97C(2)设Sn为等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=.(3)已知an是公差为1的等差数列,Sn为数列an的前n项和,若S8=4S4,则a10=.-72 能

9、力形成点2等差数列的判定与证明例2已知数列an满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列是等差数列,并求数列an的通项公式.解 由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4.又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.解题心得1.等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列an,an-an-1(n2)为同一常数an是等差数列解答题中的证明问题等差中项法 2an-1=an+an-2(n3)成立an是等差数列通项公式法 an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择题

10、、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn=An2+Bn(A,B为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列2.判断一个数列不是等差数列,只需说明某连续三项(如前三项)不是等差数列即可.对点训练2(2021全国,理18)已知数列an的各项均为正数,记Sn为an的前n项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.数列an是等差数列;数列是等差数列;a2=3a1.能力形成点3等差数列的性质与应用命题角度1 等差数列项的性质的应用例3(1)在等差数列an中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8等于()A.95B.100C.135D.80B由等差数列的性质可知,a1+a2,a3+

11、a4,a5+a6,a7+a8构成新的等差数列,于是a7+a8=(a1+a2)+(4-1)(a3+a4)-(a1+a2)=40+320=100.(2)已知Sn是数列an的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8等于()A.72B.88C.92D.98C(方法一)由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,则数列an是公差d=3的等差数列.又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,(方法二)由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,则数列an是公差为3的等差数列,(3)已知an,bn都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=.21因

12、为an,bn都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即215=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.命题角度2 等差数列前n项和的性质的应用例4(1)在等差数列an中,a1=-2 021,其前n项和为Sn,若,则S2 021的值等于()A.-2 020B.-2 018C.-2 021D.-2 019CA(3)在等差数列an中,若前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为.210对点训练3(1)已知等差数列an,若a2=2,a3+a5+a7=15,则数列an的公差d等于()A.0B.1C.-1D.2B根

13、据等差数列的性质,a3+a5+a7=3a5=15,得a5=5,即a5-a2=3=3d,可得d=1,故选B.(2)已知等差数列an的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于()A.3B.6C.17D.51A由题意知,S17=17a9=51,得a9=3.根据等差数列的性质a5+a13=a7+a11,故a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.B(4)在等差数列an中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=.45an为等差数列,S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.2(S6-S3)=S3+(S9-S6).a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-

14、S3=2(36-9)-9=45.能力形成点4等差数列前n项和的最值问题例5(1)设Sn为等差数列an的前n项和,若a4|a4|,则使Sn0成立的最小正整数n为()A.6B.7C.8D.9C在等差数列an中,a4|a4|,a50,a5+a40,使Sn0成立的最小正整数n为8.故选C.(2)在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.解题心得求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法二次函数法在等差数列an中,由于,故可用二次函数求最值的方法来求前n项和的最值,这里应由nN*及二次函数图象的对称性来确定n的值项的符号法利用等差数

15、列的单调性及性质,求出其正负转折项,进而求Sn的最值不等式组法借助当Sn最大时,有SnSn-1,SnSn+1(n2),解此不等式组确定n的取值范围,进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值)对点训练4(1)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是()A.5B.6C.7D.8B依题意得2a6=4,2a7=-2,则a6=20,a7=-10;又数列an是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n=6,选B.(2)(2021北京顺义二模)已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=6,S3

16、=2a1,则公差d=,Sn的最大值为.-212第三环节 学科素养提升思想方法整体思想在等差数列中的应用整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有整体代入、整体加减、整体代换、整体联想等.在等差数列中,当要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时,可以考虑整体代入.典例1已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a4+a5=12,则S7的值为.答案:28解析:设等差数列an的公差为d.a3+a5=2a4,由a3+a4+a5=12,得3a4=12,即a4=4.a1+3d=4,故S7=7a1+=7(a1+3d)=74=28.典例2在等差数列an中,其前n项和为Sn.已知Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=.答案:-(m+n)