2022年新教材高考数学一轮复习 考点规范练54 随机事件与概率、事件的相互独立性（含解析）新人教版.docx

1、考点规范练54随机事件与概率、事件的相互独立性一、基础巩固1.从装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,则互斥而不对立的事件是()A.至少有1个黑球与都是黑球B.至少有1个黑球与都是红球C.至少有1个黑球与至少有1个红球D.恰有1个黑球与恰有2个黑球2.甲、乙两人下棋,若两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.133.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准,产品长度在区间20,25)内的为一等品,在区间15,20)和区间25,30)内的为二等品,在区间10,15)和30

2、,35上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为()A.0.09B.0.20C.0.25D.0.454.在某条道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这条道路上匀速行驶,在A,B,C三处停车与否互不影响,则在三处都不停车的概率为()A.35192B.25192C.35576D.211925.一只袋子中装有除颜色外其他完全相同的7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取1个,取得2个红球的概率为715,取得2个绿球的概率为115,则取得两个同颜色的球的概率为;至少取得1个红球的概

3、率为.6.甲、乙、丙三人打靶,甲命中的概率为12,乙命中的概率为13,丙命中的概率为25,三人是否命中互不影响,则三人中至少有一人命中的概率为.7.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图:(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.8.袋中有除颜色外其他完全相同的12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,则得到黑

4、球、黄球和绿球的概率各是多少?二、综合应用9.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,则恰好有1人解决这个问题的概率是()A.p1p2B.p1(1-p2)+p2(1-p1)C.1-p1p2D.1-(1-p1)(1-p2)10.某中学根据学生的兴趣爱好,分别创建了“书法”“诗词”“理学”三个社团,根据资料统计,新生是否选择参加这三个社团相互独立.某新生入学,假设他选择参加该校的“书法”“诗词”“理学”三个社团的概率依次为m,13,n,已知他三个社团都选择参加的概率为124,都选择不参加的概率为14,且mn.(1)求m与n的值;(2)该校根据三个社团的活

5、动安排情况,对参加“书法”社团的同学增加校本选修学分1分,对参加“诗词”社团的同学增加校本选修学分2分,对参加“理学”社团的同学增加校本选修学分3分.求该新生在社团方面获得校本选修学分不低于4分的概率.11.(2020全国,理19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要

6、进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.三、探究创新12.某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额/元01 0002 0003 0004 000车辆数/辆500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主为新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主为新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.13.已知三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为12,34,34,将它们中某两个元件并联后再与第三个元件串联接

7、入电路.(1)如图,求该电路不发生故障的概率;(2)按要求如何将三个元件接入电路,才能使电路不发生故障的概率最大?请说明理由.考点规范练54随机事件与概率、事件的相互独立性1.D对于A,事件“至少有1个黑球”与“都是黑球”可以同时发生,故A中两个事件不互斥.对于B,事件“至少有1个黑球”与“都是红球”不能同时发生,但一定有一个发生,故B中两个事件为对立事件.对于C,事件“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”可以同时发生,故C中两个事件不互斥.对于D,事件“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生,但可能同时不发生,故D中两个事件互斥而不对立.2.A因为事件“甲不输”包含“两人下成和棋”和“

8、甲获胜”这两个互斥事件,所以甲不输的概率为12+13=56.3.D由题意可知产品长度在区间25,30)内的频率为1-(0.02+0.04+0.06+0.03)5=0.25,故从该批产品中随机抽取一件,其为二等品的概率为0.045+0.25=0.45.4.A设事件A=“在A处不停车”,B=“在B处不停车”,C=“在C处不停车”,则有P(A)=512,有P(B)=712,有P(C)=34,由题意可知三处都不停车的概率P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=51271234=35192.5.8151415由于“取得2个红球”与“取得2个绿球”是互斥事件,取得2个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,

9、因而取得2个同色球的概率为P=715+115=815.由于事件A“至少取得1个红球”与事件B“取得2个绿球”是对立事件,则至少取得1个红球的概率为P(A)=1-P(B)=1-115=1415.6.45设事件A=“甲命中”,B=“乙命中”,C=“丙命中”,则P(A)=12,P(B)=13,P(C)=25.“三人中至少有一人命中”的对立事件为“三人都未命中”,其概率为P(ABC)=1-121-13(1-25)=15,故三人中至少有一人命中的概率为P=1-P(ABC)=1-15=45.7.解(1)甲品牌产品寿命小于200h的频率为5+20100=14,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200h的

10、概率估计值为14.(2)根据频数分布直方图可得寿命不低于200h的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200h的产品是甲品牌的频率是75145=1529.据此估计已使用了200h的该产品是甲品牌的概率为1529.8.解从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,则有P(A)=13,P(BC)=P(B)+P(C)=512,P(CD)=P(C)+P(D)=512,P(BCD)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-13=23,解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14,因此得到黑

11、球、黄球、绿球的概率分别是14,16,14.9.B甲解决问题而乙没有解决问题的概率是p1(1-p2),乙解决问题而甲没有解决问题的概率是p2(1-p1).故恰有1人解决问题的概率是p1(1-p2)+p2(1-p1).10.解(1)由题意,得13mn=124,(1-m)1-13(1-n)=14,mn,解得m=12,n=14.(2)设事件A=“获得校本选修学分4分”,B=“获得校本选修学分5分”,C=“获得校本选修学分6分”,则由已知得P(A)=121-1314=112,P(B)=1-121314=124,P(C)=121314=124,故该新生在社团方面获得校本选修学分不低于4分的概率P=P(A

12、)+P(B)+P(C)=16.11.解(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34.(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.12.解(1)由已知得样本车

13、辆中,赔付金额大于投保金额的频率为150+120500+130+100+150+120=0.27.用频率估计概率,可知赔付金额大于投保金额的概率估计值为0.27.(2)由题意,可知样本车辆中,车主为新司机的有0.11000=100(辆),而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2120=24(辆),故样本车辆中,新司机获赔金额为4000元的频率为24100=0.24,用频率估计概率,可知在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率估计值为0.24.13.解设事件A1=“元件T1正常工作”,A2=“元件T2正常工作”,A3=“元件T3正常工作”,则P(A1)=12,P(A2)=3

14、4,P(A3)=34.(1)设事件A=“该电路不发生故障”,则由题意可知A=(A2A3)A1.因为P(A2A3)=1-1-341-34=1516,P(A1)=12,所以P(A)=151612=1532.(2)将元件T2,T3并联后再与元件T1串联接入电路,由(1)知,此时电路不发生故障的概率P1=1532.将元件T1,T3并联后再与元件T2串联接入电路,此时电路不发生故障的概率P2=P(A1A3)A2)=P(A1A3)P(A2)=2132.将元件T1,T2并联后再与元件T3串联接入电路,此时电路不发生故障的概率P3=P(A1A2)A3)=P(A1A2)P(A3)=2132.因为P2=P3P1,所以将元件T1,T3并联后再与元件T2串联接入电路或将元件T1,T2并联后再与元件T3串联接入电路,才能使电路不发生故障的概率最大.7