2021高三统考北师大版数学一轮学案：第9章 高考大题冲关系列（5）　高考解析几何中的热点题型 WORD版含解析.doc

1、命题动向：从近五年的高考试题来看，圆锥曲线问题在高考中属于必考内容，并且常常在同一份试卷上多题型考查对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法：第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识；第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题，解决此类问题的关键是通过联立方程来解决题型1最值、范围问题角度1最值问题例1(2020武汉摸底)如图，已知椭圆C的方程为1(ab0)，双曲线1的两条渐近线为l1，l2.过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1.设直线l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B，直线l与直线l2交于P点(1)若l1与l2的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；

2、(2)求的最大值解(1)因为双曲线方程为1，所以双曲线的渐近线方程为yx，因为两渐近线的夹角为60且0)的焦点过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标解(1)由题意得1，即p2.所以抛物线的准线方程为x1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)令yA2t，t0，则xAt2.由于直线AB过F，故直线AB的方程为xy1，代入y24x，得y2y40，故2tyB4，即yB，所以B

3、.又xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)及重心G在x轴上，得2tyC0，得C，G.所以直线AC的方程为y2t2t(xt2)，得Q(t21,0)由于Q在焦点F的右侧，故t22.从而2.令mt22，则m0，2221.当m时，取得最小值1，此时G(2,0)角度2范围问题例2(2020沈阳摸底)如图，椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P(x0，y0)(y00)为椭圆C上一动点，连接PF1，PF2，设F1PF2的平分线PM交椭圆C的长轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围解(1)将xc代入

4、1中，由a2c2b2，可得y2，所以过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为.由解得所以椭圆C的方程为y21.(2)解法一：因为点P(x0，y0)(y00)，F1(，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为l1：y0x(x0)yy00，l2：y0x(x0)yy00.由题意可知 .由于点P为椭圆C上除左、右顶点外的任一点，所以y1，所以，因为m，2x02，所以，即mx0，因此，m.解法二：设|PF1|t，在PF1M中，在PF2M中，因为PMF1PMF2，MPF1MPF2，所以，解得m(2t4)，因为t(ac，ac)，即t(2，2)，所以m)的右焦点为F，右顶点为A.已知，

5、其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围解(1)设F(c,0)，由，即，可得a2c23c2，又a2c2b23，所以c21，因此a24，所以，椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2或x，由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH.因

6、此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM.在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简得xM1，即1，解得k，或k.所以，直线l的斜率的取值范围为.题型2定点、定值问题角度1定点问题例3(2019北京高考)已知抛物线C：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解(1)由抛物线C：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(

7、2)证明：抛物线C的焦点为F(0，1)设直线l的方程为ykx1(k0)由得x24kx40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24.直线OM的方程为yx.令y1，得点A的横坐标xA.同理得点B的横坐标xB.设点D(0，n)，则，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，得n1或n3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3)冲关策略(1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方

8、程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式ykxm，则直线必过定点(0，m)变式训练3(2019合肥模拟)已知椭圆C1：1(ab0)的右顶点与抛物线C2：y22px(p0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(2)过点A(2,0)的直线l与C2交于M，N两点，若点M关于x轴的对称点为M，证明：直线MN恒过一定点解(1)依题意，可得a，则C2：y24ax，令xc得

9、y24ac，即y2，所以44，所以ac2.由解得a2，b，所以椭圆C1的方程为1，抛物线C2的方程为y28x.(2)证明：依题意可知直线l的斜率不为0，可设l：xmy2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则M(x1，y1)，联立消去x得y28my160，由0得m1.因为y1y28m，y1y216，所以m，所以直线MN的斜率kMN，可得直线MN的方程为yy2(xx2)，即yxy2xx(x2)，所以当m1时，直线MN恒过定点(2,0)角度2定值问题例4(2020兰州诊断)已知曲线C上的任意一点到直线l：x的距离与到点F的距离相等(1)求曲线C的方程；(2)若过P(1,0)的直线与曲线C相交于A

10、，B两点，Q(1，0)为定点，设直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：为定值解(1)由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，p1，曲线C的方程为y22x.(2)证明：根据已知，直线AB的方程为yk(x1)(k0)，由可得ky22y2k0.设A，B，则y1y2，y1y22.k1，k2，4.4，为定值冲关策略圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得

11、解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得变式训练4(2019全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切(1)若A在直线xy0上，求M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上因为A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a)因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.由已知得|AO|2.又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半径r2或r6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|MP|为定值

12、理由如下：设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.题型3圆锥曲线中的探索性问题例5(2019辽宁沈阳联考)已知椭圆C：1(ab0)的焦点F1的坐标为(c,0)，F2的坐标为(c,0)，且经过点P，PF2x轴(1)求椭圆C的方程；(2)设过F1的直线l与椭圆C交于A，B两个不同点，在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形？若存在，求出

13、直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)由题知c1，又因为a2b2c2，所以a2，b.所以椭圆的方程为1.(2)假设存在点M(x0，y0)，当l斜率不存在时，|F1M|F1F2|，ac2c，不成立；当l斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去y得(34k2)x28k2x4k2120，16(9k29)0，x1x2，y1y2k(x1x22)，则AB的中点坐标为.AB与MF2的中点重合，代入椭圆的方程1化简得80k424k2270，解得k2，即k.存在符合条件的直线l的方程为y(x1)冲关策略存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结

14、论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意变式训练5(2020三明高中月考)设椭圆E的方程为y21(a0)，点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(a,0)，(0,1)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点T(0，t)(t1)，问是否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值；若不存在，说明理由解(1)设点M的坐标为(x0，y0)，x0，y0，又，a2，椭圆E的方程为y21.(2)设直线l的方程为ykxt，代入y21，得(4k21)x28ktx4t240.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.假设存在实数t，使得以CD为直径的圆恒过点B，则.(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)0，即x1x2(kx1t1)(kx2t1)0，得(k21)x1x2k(t1)(x1x2)(t1)20，整理得5t22t30，解得t(t1)，即当t时，符合题意