2022年高考数学一轮复习 单元质检八 立体几何（B）（含解析）新人教A版（文）.docx

1、单元质检八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:由三视图得到空间几何体,如图所示,则PA平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,所以PAAD,PAAB,PABC.又BCAB,ABPA=A,所以BC平面PAB,所以BCPB.在PCD中,PD=22,PC=3,CD=5,所以PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为PAB,PAD,PBC,共3个.2.设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列

2、四个命题:若ml,且m,则l;若,m,n,则mn;若,则;若mn,m,n,则.则错误的命题个数为()A.4B.3C.2D.1答案:B解析:若ml,且m,则l是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;若,m,n,则mn是错误的,当m和n平行时,也会满足前面的条件;若,则是错误的,垂直于同一个平面的两个平面可以是相交的;若mn,m,n,则是错误的,平面和可以是任意的夹角.故选B.3.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上,底面ABCD是矩形,平面PAD平面ABCD,PAD为正三角形,AB=2AD=4,则球O的表面积为()A.563B.643C.24D.803答案:B解析:令PAD所在圆的圆心为O1

3、,则易得圆O1的半径r=233,因为平面PAD平面ABCD,所以OO1=12AB=2,所以球O的半径R=4+2332=43,所以球O的表面积=4R2=643.4.如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,BAD=60,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共顶点D的三个面所围成的几何体的体积为()A.29B.49C.23D.43答案:A解析:|MN|=2,则|DP|=1,则点P的轨迹为以D为球心,半径r=1的球,则球的体积为V=43r3=43.BAD=60,ADC=120,120为360的13,只取半

4、球的13,则V=431312=29.5.如图,在三棱柱ABC-ABC中,E,F,H,K分别为AC,CB,AB,BC的中点,G为ABC的重心.从K,H,G,B中取一点,设为P,使得该棱柱恰有两条棱与平面PEF平行,则P为点()A.GB.HC.KD.B答案:A解析:若P为点G,连接BC,则F为BC的中点,EFAB,EFAB.AB平面GEF,AB平面GEF.P为点G符合题意;若P为点K,则有三条侧棱和AB,AB与该平面平行,不符合题意.若P为点H,则有上下两底面中的六条棱与该平面平行,不符合题意;若P为点B,则只有一条棱AB与该平面平行,也不符合题意,故选A.6.(2020全国,文11)已知ABC是

5、面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16,则O到平面ABC的距离为()A.3B.32C.1D.32答案:C解析:设等边三角形ABC的边长为a,球O的半径为R,ABC的外接圆的半径为r,则SABC=34a2=934,S球O=4R2=16,解得a=3,R=2.故r=2332a=3.设O到平面ABC的距离为d,则d2+r2=R2,故d=R2-r2=4-3=1.故选C.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2020浙江,14)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是.答案:1解析:设圆锥的底

6、面半径为r,母线长为l,由题意可知rl=12l2=2,解得r=1,l=2.8.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面,其棱长为.图1图2答案:262-1解析:由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长

7、为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的棱于点H.由半正多面体的对称性可知,BGE为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=22x,所以GH=222x+x=(2+1)x=1,解得x=12+1=2-1,即该半正多面体的棱长为2-1.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,O分别为棱AC1,AB,A1C1的中点.(1)求证:直线MN平面AOB1;(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为103,求三棱锥A-MON的体积.答案:(1)证明连接A1B交AB1于点P,连接NP,OP.则P是AB1的中点.N是AB的中点,N

8、PBB1,且NP=12BB1.又M,O分别是AC1,A1C1的中点,MOAA1,且MO=12AA1.AA1BB1,且AA1=BB1,MONP,且MO=NP,四边形MOPN为平行四边形,MNOP.又MN平面AOB1,OP平面AOB1,MN平面AOB1.(2)解由题意,得VA-MON=VN-AMO=12VN-AC1O=14VN-C1A1A=18VB-C1A1A.BB1平面AA1C1,VB-C1A1A=VB1-C1A1A,VB1-C1A1A=13VABC-A1B1C1=1033,VA-MON=181033=5312.10.(15分)如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=2,现将ACD沿AC折起,

9、使D折到P的位置,且P在平面ABC上的射影E恰好在线段AB上.(1)求证:APPB;(2)求三棱锥P-EBC的表面积.答案:(1)证明由题知PE平面ABC.BC平面ABC,PEBC.又ABBC,且ABPE=E,BC平面PAB.AP平面PAB,BCAP.又APCP,且BCCP=C,AP平面PBC.PB平面PBC,APPB.(2)解在PAB中,由(1)得APPB,AB=4,AP=2,PB=23,PE=2234=3,BE=3,SPEB=1233=332.在EBC中,EB=3,BC=2,SEBC=1232=3.在PEC中,EC=EB2+BC2=13,SPEC=12313=392,SPBC=12BCPB

10、=12223=23,三棱锥P-EBC的表面积为S=SPEB+SEBC+SPEC+SPBC=332+3+392+23=73+39+62.11.(15分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点C到平面PDA的距离.答案:(1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BCAD.因为BC平面PDA,AD平面PDA,所以BC平面PDA.(2)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BCCD.因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=CD,BC平面ABCD,所以BC平面PDC.因为PD平面PDC,所以BCPD.(3)解取CD的中点E,连接AE和PE.因为PD=PC,所以PECD.在RtPED中,PE=PD2-DE2=42-32=7.因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=CD,PE平面PDC,所以PE平面ABCD.由(2)知BC平面PDC.由(1)知BCAD.所以AD平面PDC.因为PD平面PDC,所以ADPD.设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥C-PDA=V三棱锥P-ACD,所以13SPDAh=13SACDPE,即h=SACDPESPDA=123671234=372,所以点C到平面PDA的距离是372.