2022年高考数学必刷压轴题 专题31 对数单身狗、指数找朋友（含解析）.docx

1、专题31 对数单身狗、指数找朋友【方法点拨】 对数单身狗，指数找朋友：在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”.由（这里设），则不含超越函数，求解过程简单.在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数

2、找朋友”.由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.【典型题示例】例1 已知函数，当x0时，f（x）x3+1，则a的取值范围是 .【答案】【分析】遇到 f(x)exg(x)的形式变形为exh(x) ，其求导后的结果是exh(x)exh(x)h(x) ，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题.【解析】等价于.设函数，则.（i）若2a+10，即，则当x（0，2）时，0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x（0，2）时，g（x）1，不合题意.（ii）若02a+12，即，则当x(0，2a+1)(2，+)时，g(x)0.所以g(x)在(0，2a+

3、1)，(2，+)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)1当且仅当g(2)=(74a)e21，即a.所以当时，g(x)1.（iii）若2a+12，即，则g(x).由于，故由（ii）可得1.故当时，g(x)1.综上，a的取值范围是.点评：解决形如f(x)exg(x)常见结论exx1（有时甚至ex12x2+x1），从形的角度看，它揭示了曲线与其切线的位置关系，从数的角度看，它提供了一种将指数型结构转化为多项式型结构的方法，从而顺利突破难点例2 若不等式xlnxa(x-1)对所有x1都成立，则实数a的取值范围是 【答案】(-,1【解析】原问题等价于lnx-a(x-1)x0对所有x1都成立， 令fx=lnx-a(x-1)x， x1，则fx=x-ax2（1）当a1时，fx=x-ax20恒成立，即f(x)在1,+)上单调递增，因而fxf1=0恒成立；（2）当a1时，令fx=0，则x=a ， f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增，f(x)min=fa=lna-a+11时，即m32时，对x(1,2m-2)， fx0，f(x)在(1,2m-2)上单调递减，所以f2m-2f1=0，不合题意； 综上所述，实数m的取值范围是(-,32