数学为什么不能除以零.doc

1、数学为什么不能除以零除以零确实是个困扰很多人的问题。十除以二等于五，六除以三等于二，一除以零是多少?小学数学就会告诉你，答案是不能除。但是为什么?零也是个数字，它到底哪里特殊了?小学篇小学算术里，这个问题很简单。那时我们把除法定义成“把一个东西分成几份”，分成一二三四五六七份都很容易想象，但是你要怎么把10个饼干分给0个人呢?想象不出来嘛!所以不能除。敏锐的同学可能会想到，要是0个饼干分给0个人的话，本来无一物，好像就没关系了。但既然无物也无人，每个人分得多少都是可能的呀，根本无法给出一个单一确定的数值。这结论没错，但这都是凭直觉而得到的东西。你想象不出来，不一定意味着它没有。远古时代的数学是

2、建立在直觉上的，买菜是够用了，但要进一步发展，就必须要有定义和证明所以，我们上了中学。初中篇现在我们开始接触最最基本的代数学也就是解方程。我们发现，除法和乘法互为逆运算，所以问1 / 0 = ?就等于是解方程0 * x = 1好了，按照定义，0乘以任何数都是0，不可能等于1，所以满足x的数字不存在，所以不能除。同样，如果问0 / 0 = ?就等于是解方程0 * x = 0同理，任何数字都可以满足x，所以也不能除无法确定一个单一的答案。高中篇等到接触了基本的形式逻辑，我们又会发现另一种证明方式：反证法。一堆真的表述，不能推出一个假的表述，所以如果我们用“能够正常地除以零”加上别的一堆真表述，最后

3、推出假的来，那只能说明“除以零”这件事情不成立了。所以，已知0 * 1 = 00 * 2 = 0推出 0 * 1 = 0 * 2两边同时除以零，得到 ( 0 / 0 ) * 1 = ( 0 / 0 ) * 2化简得到 1 = 2。这显然是错的啦。那么，问题解决了吧!其实还没有。想想另一个问题：-1的平方根是多少?你可能会说，-1不能开平方根，因为所有数的平方都是非负的。但是这说的是实数，我要是增加一个定义呢?定义i2=-1，这就创造出了虚数，于是-1也能开平方根了。那么，为何不能定义一个“新”的数，让 1 / 0 也等于它，并为这个数设立一套运算法则呢?这就得去大学里回答了。大一篇刚学微积分课

4、程就会立刻接触到∞这个符号。咦，这不就是“无限”嘛。我们都学了极限的概念了，那么我令b趋向于0，然后把a/b的极限定义为无穷，不行吗?这就立刻遇到一个问题，它的左极限和右极限不一样啊。b是从负的那头靠近0，还是正的那头?这一个是越来越负，一个是越来越正，碰不到一起去。这样的极限是没法定义的。因此，微积分课程里会反复说，虽然用到了∞这个符号，但是这只是代表一个趋势，绝对不是一个真正的数，不可参与运算。大二篇那么吸取教训，我不用现成符号了，我直接定义 1 / 0 = w，w是个“无限大”的数，不碰什么极限，你总没话说了吧!然而，定义不是说来就来的，你虽然可以随便定义东西，但

5、定义完了如果和现有的其他系统矛盾，那就不能用，或者很不好用。而我们面对w立刻就遇到了问题。首先，w要怎么放入基本的加减乘除体系里?1 + w等于多少?w - w等于多少?如果你造了一个数，却连加减乘除都不能做，那就不是很有用对吧。比如直觉上，1 + w 应该等于 w，它都无限了嘛! 而 w - w 则等于0，自己减自己嘛!但这样立刻会和加法里极其重要的“结合律”产生矛盾： 1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1，可是( 1 + w ) - w = w - w = 0。结合律是加法里非常基本的东西，为了一个w，连结合律都不要了，这成本有点大不光是结合律本身，多少数学定理证明过程中不自

6、觉都用了它，扔了它就都得重来，建立新体系。新体系不是不能建，但是费心费力又(暂时)无卵用，所以大家还是在老实用旧的而旧的里面，为了保住结合律，就不能这么玩。欢迎读者们发挥自己的想象力，尝试为 w 给出运算方式。但是你会发现，无论怎么规定w和别的数字之间的关系，只要你还坚持 1 / 0 = w，你就没法让它和你从小学习的基本数学不矛盾。还是那句话，你可以另立门户，在w的基础上建立起你的新数学，但它和大部分传统数学是不相容的，而且肯定会非常不好用，所以我们用了一个不能除以零的体系是非常合理的。大三篇你可能会提出反对：有那么多的定义方式，我都试过?要是没试过，我怎么知道不会某一天冒出来一个能够自洽的

7、办法?“新发现推翻旧结论”这种事情，在生物里可以有，化学里可以有，物理里可以有，唯独数学里没有。因为数学建立在逻辑上，个案有例外，逻辑没有例外。当然我们的数学还没有完成最终公理化，还要面对哥德尔的幽灵，但至少在这个例子里，如果w是一个真正的数，那它就违反了一些非常重要的公理，而这些公理的地位可是非常之深。比如有一组基本的公理叫“皮亚诺公理”，其中有一条说，每一个确定的自然数都有一个确定的后继，后继也是自然数;另一条说，自然数b=c，当且仅当b的后继=c的后继。那w是谁的后继呢或者说，谁加上1能得到w呢?显然所有其他的数字都已经有了自己的后继，w在其中没有位置，没有任何其他的数加上1能成为w。那

8、么就只能是1+w=w了，可那就直接和第二句话矛盾。而没有皮亚诺公理，整个自然数的体系都不能成立。这里假定w是自然数。其他情况会略微复杂一些，但无论如何，类似的事情发生在w的各种定义里。如果你想把w当成一个数，那就没法和我们现有的实数兼容。所以我们在几乎所有场合下都只能宣布，不能除以0。大四以上篇既然我们之前说了个“几乎”，那就是有例外的在个别奇葩场合下，可以。比如有一个东西叫做“复无穷”，它是扩充复平面上的一个点，真的是有定义的一个点。在这个特殊的规则下你可以写下 1 / 0 = ∞ 这样一个表达式。这么做的原因就说来话长了，但它不是平常意义上的运算比如你不能把0拿回来，不能写 1

9、 = 0 * ∞。另外，“无穷”二字在一些别的场合下是可以当成一个“东西”去对待的。比如当你衡量一个集合的大小的时候，它可以是无穷大的。但这就有很多种不同的无穷大了自然数是无穷多的，有理数是无穷多的，实数也是无穷多的，可是奇数和偶数和正整数和负整数和自然数和有理数都一样多，而实数却比它们都多!同样是无穷，有的无穷比别的无穷更无穷。但这就是另一个话题了，打住。总结篇观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意

10、形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水

11、往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授

12、“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。所以，当我们说不能除以零的时候，理由竟然出乎意料地充足。有许多直觉在数学里被推翻了，但是这一条没有。我们有种种数学上的方式去证明它无法成立的原因，虽然也许听起来不如Siri的回答那么心暖(或者心寒)，但这些理性的愉悦也是一种美丽，对吧?家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。