2022版新教材数学人教A版必修第一册学案：5-1-2 弧度制 WORD版含答案.docx

1、5.1.2 弧度制课标解读课标要求素养要求1.了解在弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，熟悉特殊角的弧度数.1.数学运算会进行弧度制与角度制的转换.会求扇形的弧长和扇形的面积.2.直观想象会根据题意作出扇形.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 角度制角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的1360 .这种用度作为单位来度量角的单位制叫做 角度制 .要点二弧度制规定;长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度，即在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为

2、rad ，那么|=lr ，其中 ， 的正负由角 的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个 负数 ，零角的弧度数是0要点三弧度与角度的换算用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）;用角度制和弧度制度量任非零角，单位不同，量数也不同.因为周角的弧度数是2 ，而在角度制下的度数是360，所以360=2rad ，180= rad ，1=180rad0.01745rad ，反过来有1rad= (180)57.30=5718要点四特殊角的度数与弧度数度度030456090120135150180270360弧度0 64

3、 32233456 322要点五 角度制与弧度制下的扇形的弧长公式与面积公式半径为R .圆心角为n 的扇形的弧长公式和面积公式分别是l= nR180 ，S= nR2360 ，将n 转换为弧度，得=n180 ，于是，S= 12R2 ，将l=R 代人上式，即得S=12lR .自主思考1.1弧度的角=1度的角，这种说法正确吗?答案：提示错误.1弧度的角与1度的角所指的含义不同，大小也不同.2.角的大小与圆的半径有关吗?答案：提示无关.3.“度”与“弧度都是角的度量单位，能省略吗?答案：提示用“度”作为角的度量单位时，“度”(即“ ”)不能省略，而用“弧度”作为角的度量单位时，“弧度”二字或“rad

4、”通常省略不写.名师点睛1.以“弧度”为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如=2 ，就是说 是2弧度，以“度”为单位表示角的大小时，“度”不能省略.2.在应用扇形面积公式S=12|r2 时，要注意 的单位是“弧度”.3.由,r,l,S 中任意的两个量可以求出另外的两个量.互动探究关键能力探究点一 角度与弧度的换算精讲精练 例已知=15,=10,=1,=105,=712, 试比较, 的大小.答案： 因为1弧度=(180), 所以=18,=(180),=105. 因为1518(180)105, 所以= .解题感悟角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式rad=180 是关

5、键，由它可以得到：度数180= 弧度数，弧度数(180)= 度数迁移应用1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度.（1）72; （2）-300; （3）2；（4）-29 .答案：（1）72=72180=25 .（2）-300=-300180=-53 .（3）2=2(180)=(360) .（4）-29=-(29180)=-40 .探究点二 用弧度制表示角精讲精练 例（1）用弧度制表示与120 角终边相同的角 的集合为( )A.|=-23+2k,kZB.|=120+2k,kZC.|=3+k,kZD.|=23+2k,kZ（2）用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内（包括边界）的角 的集合为 .答案：

6、 （1）D（2）|-6+2k34+2k,kZ解析：（1） 120=120180=23 ，故与120 角终边相同的角的集合为|=23+2k,kZ .故选D.（2）终边落在射线OA 上的角为=135+k360,kZ, 即=34+2k,kZ .终边落在射线OB 上的角为=-30+k360,kZ, 即=-6+2k,kZ ，故终边落在阴影部分内（包括边界）的角 的集合为|-6+2k34+2k,kZ .解题感悟弧度制下与角终边相同的角的表示在弧度制下，与角 的终边相同的角可以表示为|=2k+,kZ, 即与角 终边相同的角可以表示成 加上2 的整数倍.迁移应用 1.用弧度制表示终边落在下列如图所示的阴影部分

7、内（不包括边界）的角的集合.（1）（2） 答案：（1）330 角的终边与-30 角的终边相同，将-30 化为弧度，即-30=-6 ，因为75=75180=512 ，所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为|2k-62k+512,kZ .（2）因为30=6,210=76 ，这两个角的终边所在的直线相同，所以终边在直线AB 上的角为=k+6,kZ ，又终边在y 轴上的角为=k+2,kZ ，所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为|k+6k+2,kZ .探究点三 扇形的弧长和面积问题精讲精练 例（易错题）已知扇形的半径为rcm，面积为Scm2 ，扇形的周长为20cm .（1）求函数S

8、(r) 的解析式与定义域；（2）求S(r) 的最大值以及对应的圆心角的绝对值.答案：（1）设扇形的弧长为l，依题意，得2r+l=20 ，即l=20-2r ，所以S(r)=12lr=12r(20-2r)=r(10-r)=-r2+10r .设扇形的圆心角为 ，显然(0,2) ，由2r+l=20 ，得2+lr=20r ，所以=lr=20r-2由020r-22 ，解得10+1r10 ，所以函数S(r) 的定义域为(10+1,10) .（2）由（1）得S(r)=-r2+10r=-(r-5)2+2525 ，当且仅当r=5 时，S(r)max=25 .此时l=10 ，对应的圆心角的绝对值|=lr=2易错警示

9、 在求关于扇形面积的函数的定义域时，常因忽视圆心角的取值范围，将半径的取值范围扩大为0r10 而出现错误.解题感悟弧度制下的扇形问题（1）弧度制下扇形的面积公式是S=12lr=12r2 （其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径， 是扇形的圆心角的弧度数）（2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程（组）求解注意：运用弧度制下的扇形的弧长公式及面积公式的前提是 为弧度迁移应用1.已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ，则扇形的面积为 .答案： 4cm2解析： 设扇形的半径为rcm ，弧长为lcm

10、，由圆心角为2rad ，依据弧长公式可得l=2r ，从而扇形的周长为l+2r=4r=8 ，解得r=2 ，则l=4 ，故扇形的面积S=12rl=1224=4(cm2) .2.已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么该扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？答案： 设扇形的弧长为l，由题意得2R=2R+l ，所以l=2(-1)R ，所以扇形的圆心角是lR=2(-1) ，扇形的面积是12lR=(-1)R2评价检测素养提升课堂检测1.下列命题中正确的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的相同的度量单位B.1 的角是周角的12,1rad 的角是周角的1360C.1rad 的角比1 的角要大D.

11、用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关答案： C2.若=254 ，则 是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案： A3.时针经过一小时，转过的角为( )A.6rad B.-6radC.12rad D.-12rad答案： B4.-135 化为弧度为 ，113 化为角度为 .答案： -34 ; 660解析：-135=-135180=-34;113=(113180)=660 .5.一个扇形的面积为1cm2 ，周长为4cm ，求圆心角的弧度数答案： 设扇形的半径为Rcm ，弧长为lcm ，圆心角为 ，则2R+l=4 .根据扇形的面积公式S=12lR ，得1=12lR .联

12、立得2R+l=4,12lR=1, 解得R=1,l=2 ，所以=lR=21=2 .素养演练 数学运算图形的识别、解读和计算1.（2020山东济南高一期末）九章算术是体现我国古代数学成就的著作，其中方田章给出的计算弧田面积的经验公式:弧田的面积=12 （弦矢+矢2), 弧田（如图中的阴影部分）由圆弧及其所对的弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”为半径与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43 米，半径为2米的弧田，则按照上述经验公式计算得到的弧田的面积是 平方米，这个值与真实值的差是 平方米.答案：3+12 ; 23+12-43解析：审：利用方田章给出的计算弧田面积的经验公式及已知条件求出弧田

13、的面积并计算出其与利用扇形的面积公式计算出的真实值的差.H 体联：先由|=lR 求| 的值，再由经验公式计算弧田的面积，然后由扇形的面积减去三角形AOB 的面积求弧田（即弓形）面积的真实值，最后计算差值.解：如图，设扇形的弧长为l ，半径为R ，由弧长为43 米，半径为2米，得圆心角的弧度数的绝对值|=lR=23 在RtAOE 中，可得AOE=3 ，EAO=6,OE=12AO=1 米，AB=2AE=23 米，矢=2-1=1（米）， 弧田的面积S1=12 （弦矢+矢2)=12(231+12)=3+12 （平方米），弧田（即弓形）面积的真实值S2=12lR-12ABOE=12432-12231=4

14、3-3 （平方米），S1-S2=23+12-43 （平方米）.思：解答本类题必须结合扇形的概念和几何性质，应用隐含条件解题，过程中体现了数学运算的核心素养.迁移应用1.（2020山东枣庄高一模块检测）2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年.某地广场成了鲜花的海洋，其中有一个用鲜花摆成的扇形图案，如图，圆分别与扇形的半径和弧相切，圆内为红花，其余区域为黄花.已知扇形的圆心角为120 ，半径R=3 米，则黄花所在区域的面积为 平方米.答案： (1083-186)解析： 设圆的圆心为G ，圆与扇形的半径OA、OB 的切点分别为P、Q ，圆与扇形的弧的切点为M ，连接GP、GQ、OM ，如图.设圆的半径为r 米，则在RtOPG 中，OPG=90,GOP=60,所以OG=rsin60=23r3 ，所以OM=23r3+r=3 ，解得r=63-9 .所以圆的面积S1=r2=(63-9)2 （平方米），又扇形的面积S=12lR=12R2=3 （平方米），所以黄花所在区域的面积等于S-S1=3-(63-9)2=(1083-186) （平方米）.