2022版新教材数学人教B版选择性必修第一册学案：第二章 加练课3 对称及其应用 WORD版含答案.docx

1、加练课3 对称及其应用学习目标1.理解中心对称与轴对称的几何意义.2.掌握中心对称与轴对称问题的一般解法.3.能利用中心对称与轴对称的知识解决简单的应用问题.自主检测必备知识一、概念辨析，判断正误1.如果两条直线的倾斜角互补，那么这两条直线关于x轴对称.( )2.若点A，B关于直线l对称，则直线AB与直线l垂直.( )3.若直线l1，l2关于直线l对称，则直线l1，l2一定相交.( )二、夯实基础，自我检测4.点(2,1)关于直线y=x对称的点的坐标为( )A.(1,2) B.(1,3)C.(3,-1)D.(-1,3)答案：A5.与直线3x-4y+5=0关于坐标原点对称的直线的方程为( )A.

2、3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0C.3x-4y+5=0 D.3x-4y-5=0答案：D解析：设所求直线上任意一点的坐标为(x,y)，则关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)，该点在已知的直线上，则-3x+4y+5=0，即3x-4y-5=0 .6.已知点M(4,2)与N(2,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )A.x+y+6=0 B.x+y-6=0C.x+y=0 D.x-y=0答案：D解析：M(4,2),N(2,4),线段MN的中点为(3,3),kMN=4-22-4=-1，M(4,2)与N(2,4)关于直线l对称，l过点(3,3)，且斜率为1，直线l的方程为y-3=x-3，即x-

3、y=0，故选D.7.与直线2y-x+1=0关于y-x+3=0对称的直线的方程是( )A.2x-y-8=0 B.2x-y-10=0C.2x+y-12=0 D.2x+y-10=0答案：A解析：设所求直线上任意一点P(x,y)，Q(x,y)是点P关于直线y-x+3=0的对称点，则y1-yx1-x=-1,y1+y2-x1+x2+3=0,解得x1=y+3,y1=x-3,由对称性得点Q在直线2y-x+1=0上，2(x-3)-(y+3)+1=0，即2x-y-8=0，故选A.互动探究关键能力探究点一中心对称问题精讲精练例（1）求点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点P的坐标；（2）求直线3x-y-4=0

4、关于点(2,-1)的对称直线l的方程.答案：（1）根据题意可知点A(a,b)为线段PP的中点，设点P的坐标为(x1,y1)，则根据中点坐标公式，得a=x1+x02,b=y1+y02,所以x1=2a-x0,y1=2b-y0.所以点P的坐标为(2a-x0,2b-y0) .（2）设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，-1)的对称点为M1(4-x，-2-y)，且M1在直线3x-y-4=0上，所以3(4-x)-(-2-y)-4=0，即3x-y-10=0 .所以所求直线l的方程为3x-y-10=0 .解题感悟中心对称问题的解法：（1）点关于点的对称问题：若两点A(x1,y1),B(x2

5、,y2)关于点P(x0,y0)对称，则P是线段AB的中点，并且x0=x1+x22，y0=y1+y22.（2）直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点；若l1l2，则点P到直线l1，l2的距离相等.迁移应用1.过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 .答案：x4y40解析：设l1与l的交点为A(a,82a)，点A关于点P的对称点为B(x

6、,y)，则0=x+a2,1=y+8-2a2,解得x=-a,v=2a-6,则B(-a,2a-6)，由题意知，点B在l2上，代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0，解得a=4 .即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40 .探究点二轴对称问题精讲精练例（1）坐标原点(0,0)关于直线x-2y+2=0对称的点的坐标是( )A.(-45,85) B.(-45,-85)C.(45,-85) D.(45,85)（2）直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线的方程是 .答案：（1）A（2）x-2y+3=0解析：（1）设对称点的坐标为(x0,y0)，则x02-2y02+2=0

7、,y0=-2x0,解得x0=-45,y0=85,即所求点的坐标是(-45,85) .（2）设所求直线上任意一点P(x,y)，点P关于x-y+2=0的对称点为P(x0,y0)，由x+x02-y+y02+2=0,x-x0=-y-y0,解得x0=y-2,y0=x+2,点P(x0,y0)在直线2x-y+3=0上，2(y-2)-(x+2)+3=0，即x-2y+3=0 .所求直线的方程为x-2y+3=0 .解题感悟轴对称问题的解法：（1）点关于直线的对称问题：求P(x0,y0)关于AxByC0的对称点P(x,y)，利用y-y0x-x0-AB=-1,Ax0+x2+By0+y2+C=0可以求点P的坐标.（2）

8、直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，则：l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点.迁移应用1.若点A(3,4)关于直线l:y=kx的对称点在x轴上，则k的值是( )A.12或-2 B.-12或2 C.5或-5 D.4或-4答案：A解析：点A(3,4)关于直线l:y=kx的对称点在x轴上，可设其对称点为(t,0) .则4-03-tk=-1，42=k3+t2，消去t化为2k2+3k-2=0，解得k=-12或k=-2 .2.已知直

9、线l:x-y-1=0，l1:2x-y-2=0 .若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A.x+y-1=0 B.x+2y-1=0C.x-2y-1=0 D.x-2y+1=0答案：C解析：若直线l2与l1关于l对称，则直线l1，l的交点在直线l2上，设直线l1，l的交点为A，联立x-y-1=0,2x-y-2=0,解得A(1,0) .在直线l1上任取一点(2,2)，易知其关于直线l对称的点为B(3,1)，则点B在直线l2上，由A，B两点可知，直线l2的斜率k=1-03-1=12，则直线l2的方程为y-0=12(x-1)，即x-2y-1=0 .探究点三对称的应用问题精讲精练例（1）（2021山

10、东东营高二期末）设入射光线沿直线2x-y+1=0射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是( )A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.3x-2y+1=0 D.x+2y+3=0（2）（2020福建泉州科技中学高二期中）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马，再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y23，若将军从点A(3,1)处出发，河岸线所在直线的方程为x+y=5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则

11、“将军饮马”的最短总路程为( )A.10-3 B.10C.25-3 D.25答案：（1）A（2）C解析：（1）因为入射光线关于y=x的对称点都在反射光线上，所以在入射光线上任取点A(1,3)，B(0,1)，这两个点关于直线y=x的对称点是A(3,1),B(1,0)，则A,B都在反射光线上，kAB=1-03-1=12，所以所求的直线方程是y-0=12(x-1)，整理为x-2y-1=0 .（2）设点A关于直线x+y=5的对称点为A(a,b) .根据题意得AO-3为最短总路程，易知AA的中点为(a+32,b+12)，直线AA的斜率为1，故直线AA的方程为y-1=x-3，即y=x-2由a+32+b+1

12、2=5,b=a-2，解得a=4，b=2，A(4,2)，则AO=42+22=25，故AO-3=25-3，则“将军饮马”的最短总路程为25-3 .解题感悟（1）求入射光线或反射光线所在直线的方程，其实质是两条直线关于某直线的对称问题，或者为点关于直线的对称问题；（2）“将军饮马”问题实质上是两点到直线上的点的距离之和的最小值问题，关键是能够利用点关于直线对称点的求解方法求得对称点，进而可知三点共线时，距离之和为最小值.迁移应用1.（2021山东临沂一中高二月考）光线沿着直线ax-y+2=0射到直线y=-x上，经反射后沿着直线3x+y-b=0射出，则( )A.a=-13，b=6 B.a=3，b=6C

13、.a=3，b=-16 D.a=-13，b=-6答案：D解析：易知点(0,2)在直线ax-y+2=0上，且点(0,2)关于直线y=-x对称的点为(-2,0)，所以点(-2,0)在直线3x+y-b=0上，即-6-b=0，解得b=-6 .易知点(0,-6)在直线3x+y+6=0上，且点(0,-6)关于直线y=-x对称的点为(6,0)，则点(6,0)在直线ax-y+2=0上，即6a+2=0，解得a=-13 .故选D.2.（2020山东青州第一中学高二月考）已知点A(-3,8)和B(2,2)，在x轴上求一点M，使得|AM|+|BM|最小，则点M的坐标为( )A.(-1,0) B.(0,225)C.(22

14、5,0) D.(1,0)答案：D解析：找出点B关于x轴的对称点B，连接AB，与x轴交于M点，连接BM，如图.此时|AM|+|BM|最小，由B与B关于x轴对称得B(2,-2)，又A(-3,8)，所以直线AB的方程为y+2=8+2-3-2(x-2)，化简得y=-2x+2，令y=0，解得x=1，所以M(1,0)，故选D评价检测素养提升课堂检测1.已知点A(2,4)，B关于点P(0,-1)对称，则点B的坐标为( )A.(1,32) B.(1,52)C.(-2,-6) D.(-6,-2)答案：C2.点A(0,-3)关于直线l:x+y-3=0对称的点的坐标为( )A.(5,2) B.(6,3) C.(3,

15、6) D.(6,-3)答案：B3.若光线从点P(-3,3)射到y轴上，经y轴反射后经过点Q(-1,-5)，则光线从点P到点Q走过的路程为( )A.10 B.5+17 C.45 D.217答案：C素养演练数学运算利用对称解决最值问题1.已知点A(3,0)，B(0,3)，M(1,0)，O为坐标原点，P,Q分别在线段AB，BO上运动，则MPQ的周长的最小值为( )A.4 B.5C.25 D.34答案：C解析：易知过A(3,0)，B(0,3)两点的直线方程为x+y-3=0，设M(1,0)关于直线x+y-3=0对称的点为N(x,y)，则yx-1=1,x+12+12y-3=0,解得x=3,y=2,即N(3,2)，易知M(1,0)关于O对称的点为E(-1,0)，当N,P,Q,E共线时，MPQ的周长MP+PQ+QM=NP+EQ+PQ取得最小值，为NE=(3+1)2+4=25 .素养探究：本题实质上是轴对称问题，根据题意分别求出M(1,0)关于直线AB对称的点N,M关于O对称的点E，当N,P,Q,E共线时，MPQ的周长取得最小值.体现了数学运算的核心素养.