《同步辅导》2015高中数学北师大版选修2-2导学案：《数系的扩充和复数的概念》.doc

1、第1课时数系的扩充和复数的概念1.在问题的情境中了解把实数系扩充到复数系的过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念和代数表示,能利用复数的有关概念对复数进行分类.3.掌握两个复数相等的充要条件.4.理解复数集和复平面上的点集的一一对应关系,知道实轴、虚轴及各象限内的点所对应的复数的特征;会用复平面内的点和向量来表示复数,体会复数与向量之间的关系.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方

2、程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:(1)虚数单位i的引进:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于,即i2=.(2)复数的有关概念:复数:形如的数叫作复数.复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+bi(a,bR)的形式,其中a与b分别叫作复数的与.两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、dR,那么a+bi=c+dia=c,b=d.问题2:复数z=a+bi

3、(a,bR),当b=0时,复数z是实数;当时,复数z是虚数;当时,复数z是.问题3:两个复数相等的充要条件是什么?两个复数a+bi(a,bR)与c+di(c,dR)相等,当且仅当它们的与分别相等,即a+bi=c+di(a,b,c,dR)=,=.问题4:复数的向量表示方法和向量的模是如何定义的?因为复平面内的点Z(a,b)与平面向量是一一对应的,所以一个复数z=a+bi与复平面内的向量=也是一一对应的.(1)我们常将复数z=a+bi说成点或向量,并规定相等的向量表示复数.这是复数的向量表示.(2)设复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b),点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z=a+bi的,记

4、作|z|或|a+bi|.|z|=|a+bi|=.1.“a=0”是“复数a+bi(a,bR)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10i D.103.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、dR),则z1=z2的充要条件是.4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.对复数概念的理解已知下列命题:复数a+bi一定不是实数;两个复数不能比较大小;若(x2-4)+(

5、x2+3x+2)i是纯虚数,其中xR,则x=2;若复数z=a+bi,则当且仅当b0时,z为虚数;若a+bi=c+di,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?复数相等与复数的模(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,yR,求x与y.(2)设z1=1+sin -icos ,z2=+(cos -2)i,若z1=z2,求和|z1|.下列命题中正确的有.若z=a+bi(a,bR),则当a=0,b0时,z为纯虚数;若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z

6、1=z2=z3;若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应.复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)zR;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?关于a的方程是a2-atan -2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角和实数根.1.设集合C=复数,A=实数,B=纯虚数,若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.AB=CB.SA=BC.A(SB)=D.B(SA)=B2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在3.已知复数z=3-2i,则|z|=.4.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+

7、15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x轴的负半轴上?(2013年上海卷)设mR,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.考题变式(我来改编):答案第五章数系的扩充与复数的引入第1课时数系的扩充和复数的概念知识体系梳理问题1:(1)-1-1(2)a+bi(a,bR)实部虚部问题2:b0纯虚数问题3:实部虚部acbd问题4:(a,b)(1)同一个(2)模基础学习交流1.Ba=0时,a+bi(a,bR)可能为纯虚数,也可能为0;a+bi为纯虚数时,a=0.所以答案为B.2.B复数z=-3-10i的实部是-3.3.a=c且b2=d2(或

8、写成a=c且|b|=|d|)z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.4.解:(1)(-i)2=i2=-1,-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)i2=-1,i4=i2i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2i2i2-1=(-1)3-1=-20,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.重点难点探究探究一:【解析】是假命题,因为当aR且b=0时,a+bi是实数.是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.是假命题

9、,因为由纯虚数的条件得解得x=2.是假命题,因为没有强调a,bR.是假命题,因为没有强调,a,b,c,dR这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+bi中要求aR,bR.探究二:【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m-2且m-3且mR.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+bi(a,bR),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;解题中应时刻注意使式子有意义.探究三:【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得=2k(kZ),此时z1

10、=1-i,|z1|=.【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:等式两边整理为a+bi(a,bR)的形式;由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;解方程组,求出相应的参数.思维拓展应用应用一:正确.错误,只有当z1,z2,z3R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.错误,若a=0,则0i=0不再是纯虚数.应用二:解:(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由得x=4,经验证满足.所以当x=4时,zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即x4.所以当x4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.应用三:解:设实数根是a,则a2-atan -2-(a+1)i=0,a,tan R,a=-1且tan =1,又0,=,a=-1.基础智能检测1.D2.C由a2-3a+2=0和a-10,得a=2.3.|z|=.4.解:(1)由已知得-7m3.当m(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.全新视角拓展-2m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,m=-2.思维导图构建a+bi(a,bR)a=0