数学人教B版必修4优化训练：2.3.2向量数量积的运算律 WORD版含解析.doc

1、2.3.2 向量数量积的运算律5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.有下面四个关系式：00=0；(ab)c=a(bc)；ab=ba；0a=0.其中正确的个数是 （ ）A.4 B.3 C.2 D.1解析：只有是正确的.错，因为数量积的结果是数量而不是向量；错，因为数量积不满足结合律；错，因为实数与向量的积结果应是向量.答案：D2.已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面的向量中与2e2-e1垂直的是（ ）A.e1+e2 B.e1-e2 C.e1 D.e2解析：依题意，|e1|2=|e2|2=1，=，e1e2=|e1|e2|cos=.对于A，(e1+e2)(2e2-e1)=2e22-e12+

2、e1e2=；对于B，(e1-e2)(2e2-e1)=-2e22-e12+3e1e2=；对于C，e1(2e2-e1)=2e1e2-e12=0；对于D，e2(2e2-e1)=2e22-e1e2=.e1(2e2-e1).答案：C3.已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为，则|a+b|、|a-b|的值分别为_、_.解析：依题意得a2=|a|2=25，b2=|b|2=25. ab=|a|b|cos=55cos=.|a+b|=.同理,|a-b|=5.答案： 54.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60，则(a+2b)(a-3b)= _.解：(a+2b)(a-3b)=aa-ab-6bb=|a|2

3、-ab-6|b|2=|a|2-|a|b|cos-6|b|2=62-64cos60-642=-72.答案：-7210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.关于向量a、b，下列命题中正确的是（ ）A.a-b=a+(-b) B.a-a=0C.|a-b|a|-|b| D.ab存在唯一的R，使b=a解析：向量的和与差仍是向量，因此B是错误的，应改为a-a=0.根据向量减法的三角形法则，当非零向量a与b不共线时，|a-b|a|-|b|；当a与b同向或a，b中有一个为0时，|a-b|=|a|-|b|，因此C不正确；D是在判断两向量平行时最常见的错误，它成立的前提是a0.答案：A2.向量m和n满足|m|=1，

4、|n|=2，且m(m-n)，则m与n夹角的大小为（ ）A.30 B.45 C.75 D.135解析：设m与n夹角为，则由m(m-n)，知m(m-n)=0，m2-mn=0，mn=m2=|m|2=1.cos=.=45.答案：B3.已知非零向量a、b、c两两夹角相等，且|a|=|b|=|c|=1，则|a+b+c|等于（ ）A.0 B.1 C.3 D.0或3解析：a、b、c两两夹角相等有两种情形：夹角为0(即三个向量同向)和夹角为120.答案：D4.若向量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=3，|b|=1，|c|=4，则ab+bc+ca=_.解析：解法一：根据已知条件，知|c|=|a|+|b|，c

5、=-a-b，从而可知a与b同向，c与a、b反向.所以有ab+bc+ca=31cos0+14cos+43cos=3-4-12=-13.解法二：因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)，所以ab+bc+ca=-13.答案：-135.已知|a|=4，|b|=5，且a，b夹角为60.求值：(1)a2-b2；(2)(2a+3b)(3a-2b).解：(1)a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9;(2)(2a+3b)(3a-2b)=6a2+5ab-6b2=616+545cos60-625=-4.6.在ABC中，若=，那么点O是ABC的什么特殊点？解：如图，由=,得(-)=0，

6、=0.即OBCA.同理,OCAB. BC.O为ABC的垂心.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.以下等式中恒成立的有（ ）|ab|=|a|b| (ab)2=a2b2 |a|= a2-2b2=(a-b)(a+b)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：对于，|ab|=|a|b|cos|a|b|，仅当=0或180时或b=0或a=0时等号成立；对于，实质上是依据乘法结合律进行的变形，对于向量的内积运算不适用；和均符合运算法则，故只有正确.答案：B2.若a+b=c，a-b=d，且cd，则一定有( )A.a=b B.|a|=|b| C.ab D.|a|=|b|且ab解析：cd，(a+b)(a-

7、b)=0.a2-b2=0,即|a|=|b|，故应选B.答案：B3.(2006高考浙江卷，文2)设向量a，b，c满足a+b+c=0，ab，|a|=1，|b|=2，则|c|2等于( )A.1 B.2 C.4 D.5解析：|c|2=|a+b|2=a2+b2+2ab=|a|2+|b|2=5.答案：D4.已知a，b是非零向量，满足(a-2b)a，(b-2a)b，则a与b的夹角是( )A. B. C. D.解析：由(a-2b)a，(b-2a)b，a(a-2b)=0，b(b-2a)=0.a2=2ab，b2=2ab.2|a|b|cos=|a|2=|b|2.cos=，=.答案：B5.在菱形ABCD(如图2-3-

8、1)中，下列关系式不正确的是（ ）图2-3-1A. B.(+)(+)C.(-)(-)=0 D.=解析：A显然正确；B：+=，+=，菱形对角线垂直，.B正确;C：-=，-=，同B一样，正确.D：=|cosBAD，=|cos(-BAD)=-|cos BAD=-|.D错误.答案：D6.A、B、C、D为平面上四个互异点，且满足(+-2)(-)=0，则ABC的形状是( )A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析：由(+-2)(-)=0，知(-)+( -)(-)=0，(+)(-)=0，即2=2.|=|.答案：B7.已知：ab=，|a|=4，则b在a方向上的射影数量为_.解析：|

9、a|b|cosa，b=，又|a|=4，|b|cosa，b=.答案：8.设O、A、B、C为平面上的四个点，=a，=b，=c，且a+b+c=0，ab=bc=ca=-1，则|a|+|b|+|c|=_.解析：a(a+b+c)=a0=0，aa+ab+ac=0，aa-1-1=0，|a|=.同理|b|=|c|=，即|a|+|b|+|c|=.答案：9.已知|a|=4，|b|=3，a与b的夹角为120，且c=a+2b，d=2a+kb，问当k取何实数时，(1)cd；(2)cd?解：设c与d的夹角为，则由已知得cd=(a+2b)(2a+kb)=2a2+(4+k)ab+2kb2=242+(4+k)43cos120+2

10、k32=8+12k，|c|=|a+2b|=，|d|=|2a+kb|=.cos=.(1)要使cd，只要cos=0，即6k+4=0.k=.(2)要使cd，只要cos=1，即=(6k+4)，解得k=4.综上，当k=时，cd；当k=4时，cd.10.已知a，b为非零向量，当a+tb(tR)的模取到最小值时,(1)求t的值；(2)已知a与b共线同向，求证：b(a+tb).(1)解：令m=|a+tb|，为a，b的夹角，则m2=|a|2+2tab+t2|b|2=t2|b|2+2t|a|b|cos+|a|2=|b|2(t+cos)2+|a|2sin2，当t=cos时，|a+tb|有最小值|a|sin.(2)证明：a与b共线且同向，故cos=1，t=.b(a+tb)=ab+t|b|2=|a|b|-|a|b|=0.b(a+tb).11.设ab，且|a|=2，|b|=1，又k，t是两个不同时为零的实数，(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直，求k关于t的函数关系式k=f(t)；(2)求出函数k=f(t)的最小值.解：(1)ab，ab=0.又xy，xy=0，即a+(t-3)b(-ka+tb)=0.-ka2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b2=0，|a|=2，|b|=1，-4k+t2-3t=0，即k=(t2-3t).(2)由(1)知k=(t2-3t)=(t-)2-，即函数最小值为-.