2022版新教材高中数学 第5章 导数及其应用 专题强化练14 函数的最大（小）值及其应用（含解析）苏教版选择性必修第一册.docx

1、专题强化练14函数的最大(小)值及其应用一、选择题1.(2020江苏苏州中学高二下调研,)函数y=exx在(0,2)上的最小值是()A.e2B.e2eC.2e3D.e2.(2021江苏连云港高三上期中调研,)函数f(x)=xln x-x+2a+2,若f(x)与f(f(x)有相同的值域,则实数a的取值范围为()A.(-,0B.-12,0C.0,32D.0,+)3.(2020江苏徐州一中高二下一调,)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln x2+12的图象分别与直线y=m交于A,B两点,则AB的最小值为()A.2+ln 2B.2-ln 2C.2+2ln 2D.2-2ln 24.(多选)()已知函数

2、f(x)=x2+x-1ex,则下列结论正确的是()A.函数f(x)存在两个不同的零点B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值C.当-ek0时,方程f(x)=k有且只有两个实根D.若当xt,+)时, f(x)max=5e2,则t的最小值为25.(2020江苏连云港赣榆4月线上质检,)已知函数f(x)=2x-e2x(e为自然对数的底数),g(x)=mx+1(mR),若对于任意的x1-1,1,总存在x0-1,1,使得g(x0)=f(x1) 成立,则实数m的取值范围为()A.(-,1-e2e2-1,+)B.1-e2,e2-1C.(-,e-2-11-e-2,+)D.e-2-1,1-e-26.(多选) (

3、2021江苏南通如皋中学高二上段测,)已知函数f(x)=ex+aln x,则下列结论正确的是()A.当a=0时,函数f(x)有最大值B.对于任意的a0,函数f(x)是(0,+)上的增函数D.对于任意的a0,都有函数f(x)0二、填空题7.()若不等式ex-1kx+ln x对于任意的x(0,+)恒成立,则k的最大值为. 8.(2020福建师范大学附属中学高二上期末,)若函数f(x)=3x-x3在区间(a-1,a)上有最小值,则实数a的取值范围是.三、解答题9.(2020江苏苏州中学高二下阶段调研,)已知函数f(x)=x3-ax2-3x.(1)当a=4时,求f(x)在x1,4上的最大值和最小值;(

4、2)若f(x)在x2,+)上是增函数,求实数a的取值范围.10.(2020北京石景山高三上期末,)已知函数f(x)=ex-ax(aR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若a=3, f(x)的图象与y轴交于点A,求曲线y=f(x)在点A处的切线方程;(3)在(2)的条件下,证明:当x0时, f(x)x2-3x+1恒成立.11.(2020江苏扬州邗江中学高二下期中,)有一块半圆形的空地,直径AB=200米,政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD,如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上,其余为绿化部分,设BOC=.(1)记花圃的面积为f()平方米,求f()的最大值;(2)若花圃的造

5、价为10元/平方米,在花圃的边AB、CD上铺设具有美化效果的灌溉管道,铺设费用为500元/米,两腰AD、BC不铺设,求满足什么条件时,总造价最大.12.(2021江苏百校高三上一联,)已知函数f(x)=cos x+a(ex-1).(1)当a=1时,求f(x)在(0,)上的单调性;(2)若x0(0,+),f(x0)cos x0+x0,求a的取值范围.13.(2020天津和平高三上期末,)设函数f(x)=aex,g(x)=ln x+b,其中a,bR,e是自然对数的底数.(1)设F(x)=xf(x),当a=e-1时,求F(x)的最小值;(2)证明:当a=e-1,b2e2时,证明:f(x)xg(x)-

6、b.专题强化练14函数的最大(小)值及其应用一、选择题1.Dy=exx,y=ex(x-1)x2,令y=0,得x=1.当0x1时,y0;当1x0,函数y=exx在x=1处取得极小值,也是最小值,即ymin=e.故选D.2.B由题意得f(x)=lnx,当x1时,f(x)0,当0x1时,f(x)0,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,f(x)的极小值,也是最小值,为f(1)=2a+1,且x+时,f(x)+,即f(x)的值域为2a+1,+),函数y=f(x)与y=f(f(x)有相同的值域,且f(x)的定义域为(0,+),02a+11,解得-120,其中2em-12lnm,故AB=2

7、em-12-lnm,设h(x)=2ex-12-lnx=2eex-lnx(x0),则h(x)=2eex-1x,因为y=2eex在(0,+)上单调递增,y=-1x在(0,+)上单调递增,故h(x)在(0,+)上单调递增,又h12=0,所以当0x12时,h(x)12时,h(x)0,所以h(x)在0,12上单调递减,在12,+上单调递增,所以当x=12时,h(x)取得极小值也是最小值,为2+ln2.故选A.4.ABC由f(x)=0得x2+x-1=0,解得x=-152,故函数f(x)存在两个不同的零点,所以A正确;易得f(x)=-x2-x-2ex=-(x+1)(x-2)ex,当-1x0,当x2时,f(x

8、)0,所以函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),(2,+),单调递增区间为(-1,2),所以f(-1)是函数的极小值,f(2)是函数的极大值,所以B正确;当x+时,f(x)0,结合选项B可知,函数的最小值是f(-1)=-e,再根据单调性可知,当-ek0,f(-1)f(1),又f(0)=-1,函数f(x)在区间-1,1上的值域A=2-e2,-1.当m0时,函数g(x)在区间-1,1上的值域B=-m+1,m+1.依题意有AB,则-m+12-e2,m+1-1,解得me2-1.当m=0时,函数g(x)在区间-1,1上的值域为1,不符合题意.当m0时,函数g(x)在区间-1,1上的值域B=m+1,-

9、m+1.依题意有AB,则m+12-e2,-m+1-1,解得m1-e2.综上,实数m的取值范围为(-,1-e2e2-1,+).故选A.6.BC对于A,当a=0时,函数f(x)=ex,根据指数函数的单调性可知,f(x)单调递增,故无最大值,故A错误;对于B,对于任意的a0,f(x)=ex+alnx,f(x)=ex+ax,易知f(x)在(0,+)上单调递增,当x+时,f(x)+,当x0时,f(x)-,存在f(x0)=0,当0xx0时,f(x)x0时,f(x)0,f(x)单调递增,f(x)min=f(x0),故B正确;对于C,对于任意的a0, 函数f(x)=ex+alnx,f(x)=ex+ax,a0,

10、x0,f(x)0,函数f(x)是(0,+)上的增函数,故C正确;对于D,当x0时,ex1,lnx-,可得f(x)-,故D错误.故选BC.二、填空题7.答案e-1解析由题意得,kex-lnx-1x对任意的x(0,+)恒成立,令h(x)=ex-lnx-1x,则h(x)=ex(x-1)+lnxx2,易得h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,故当x=1时,h(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为e-1,故k的最大值为e-1.8.答案(-1,0)解析f(x)=3x-x3,f(x)=3-3x2,令f(x)=0,得3-3x2=0,解得x=1,x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(

11、x)-0+0-f(x)极小值极大值f(x)在(a-1,a)上有最小值,-1(a-1,a),a-1-1,解得-1a0时,令f(x)=0,得x=lna.当x发生变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,lna)lna(lna,+)f(x)-0+f(x)极小值所以当a0时,f(x)在(-,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增.综上所述,当a0时,f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间,当a0时,f(x)的单调递增区间为(lna,+),单调递减区间为(-,lna).(2)当a=3时,f(x)=ex-3x,则f(x)=ex-3.令x=0,得f(x)=1,则A(0,1),因为f(x

12、)=ex-3,所以f(0)=1-3=-2,所以曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y-1=-2(x-0),即y=-2x+1.(3)证明:令g(x)=f(x)-(x2-3x+1)=ex-x2-1(x0),则g(x)=ex-2x.令h(x)=ex-2x(x0),则h(x)=ex-2,当0xln2时,h(x)ln2时,h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)h(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln20,即g(x)0恒成立.所以g(x)在(0,+)上单调递增,所以g(x)g(0)=1-0-1=0,所以ex-x2-10,即当x0时,f(x)x2-3x+1恒成立.11.信息提取(1)花圃ABCD的形

13、状为等腰梯形;(2)设BOC=,记花圃的面积为f()平方米,求f()的最大值;(3)在花圃的边AB、CD上铺设具有美化效果的灌溉管道, 两腰AD、BC不铺设;(4)求满足什么条件时,总造价最大.数学建模本题以生活中的造价问题为背景构建关于角度的函数模型,利用数形结合,直观地得到函数解析式,再利用导数求得函数的最值.对于(1),根据梯形的面积公式可得f()=104(sin+cossin),0,2,再利用导数求f()的最大值;对于(2),求出花圃的总造价,再利用导数确定总造价最大时的值.解析(1)设半圆的半径为r米,则r=100,如图,作CEAB,垂足为E,因为BOC=,所以CE=OCsin=rs

14、in,OE=rcos,所以CD=2OE=2rcos,所以f()=12(2r+2rcos)rsin=r2(sin+cossin)=104(sin+cossin),0,2.则f()=104(cos+2cos2-1)=104(cos+1)(2cos-1),0,2,所以当00,f()单调递增;当32时,f()0,f()单调递减.所以当=3时,f()最大,最大值为f3=104334=75003.(2)设花圃总造价为W()元,则W()=10f()+500(2r+2rcos)=105(sin+1)(1+cos),0,2,所以W()=105(cos2+cos-sin2-sin)=105(cos-sin)(co

15、s+sin+1).令W()=0,则cos-sin=0,又0,2,所以=4.当00,函数W()单调递增,当42时,W()1,从而f(x)0,所以f(x)在(0,)上单调递增.(2)f(x0)0.令g(x)=x-a(ex-1)(x0),则g(x)=1-aex.当a0时,g(x)0,g(x)在(0,+)上单调递增,所以g(x)g(0)=0恒成立.当a0时,令g(x)=0,得x=ln1a. 若0a0,x0,ln1a时,g(x)0;xln1a,+时,g(x)0.所以g(x)在0,ln1a上单调递增,在ln1a,+上单调递减,从而g(x)max=gln1a=ln1a-1+a.令h(a)=ln1a-1+a,

16、a(0,1),则h(a)=-1a+1h(1)=0,即g(x)max0,符合题意.若a1,则ln1a0,所以g(x)在(0,+)上单调递减,则g(x)g(0)=0,不符合题意.综上,a的取值范围为(-,1).13.解析(1)由题可得,F(x)=xex-1,则F(x)=(x+1)ex-1.当x(-,-1)时,F(x)0,F(x)单调递增,当x=-1时,F(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为F(-1)=-e-2.(2)证明:由题可得,f(x)=ex-1,f(x)=ex-1,曲线y=f(x)在点(m,em-1)处的切线方程为y=em-1x+(1-m)em-1.g(x)=lnx+b,g(x)=1x,

17、曲线y=g(x)在点(n,lnn+b)处的切线方程为y=1nx+lnn+b-1.令em-1=1n,(1-m)em-1=lnn+b-1,则(m-1)em-1-m+b=0.令h(m)=(m-1)em-1-m+b,则h(m)=mem-1-1,由(1)得当m-1时,h(m)单调递减,且h(m)-1时,h(m)单调递增,又h(1)=0,当m1时,h(m)1时,h(m)0,h(m)单调递增.易得h(b-1)=(b-2)eb-2+1-1e+10,又h(3-b)=(2-b)e2-b+2b-3(2-b)(3-b)+2b-3=b-322+340,h(1)=b-10,函数h(m)在(b-1,1)和(1,3-b)内各

18、有一个零点,当a=e-1,bxg(x)-baexx-lnx0.令G(x)=aexx-lnx(x0),以下证明当a2e2时,G(x)的最小值大于0.求导得G(x)=a(x-1)exx2-1x=a(x-1)ex-xx2.当0x1时,G(x)0;当x1时,G(x)=a(x-1)x2ex-xa(x-1),令H(x)=ex-xa(x-1)(x1),H(x)=ex+1a(x-1)20,H(x)在(1,+)上单调递增.H(2)=e2-2a=ae2-2a0,取t(1,2)且使ta(t-1)e2,即1tae2ae2-1,则H(t)=et-ta(t-1)e2-e2=0,H(x)存在唯一零点x0(1,2),即G(x)有唯一的极值点x0(1,2),且为极小值点,也是最小值点,又G(x0)=aex0x0-lnx0,且H(x0)=ex0-x0a(x0-1)=0,即ex0=x0a(x0-1),G(x0)=1x0-1-lnx0,G(x0)=-1(x0-1)2-1x0G(2)=1-ln20,G(x)0.综上,当a2e2时,f(x)xg(x)-b.