数学大烧脑：第二届IMO试题.doc

1、数学大烧脑：第二届IMO试题国际奥林匹克数学竞赛(International Mathematics Olympiad，简称IMO)有数学世界杯之称，创办于1959年，每年举办一次，由参赛国轮流主办。目的是为了发现并鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育交流创造条件，增进各国师生间的友好关系。今天，查字典数学网小编就给大家分享了第二届IMO试题，考验大家的智商时刻到了，一起来试试吧。1. 找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。2. 寻找使下式成立的实数x：4x2/(1-√(1+2x)2 < 2x+93. 直角三角形ABC

2、的斜边BC的长为a，将它分成n等份(n为奇数)，令a为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tana=4nh/(an2-a)。4. 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。5. 正方体ABCDA'B'C'D'(上底面ABCD，下底面A'B'C'D')。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。a.求XY中点的轨迹;b.求(a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹。6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。

3、令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。(a)求证：V1不等于V2;(b)求V1/V2的最小值;并在此情况下作出圆锥顶角的一般。唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国

4、子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）春秋谷梁传疏曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。韩非子也有云：“今有不才之子师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。7. 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令A

5、B=a,CD=c，梯形的高为h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离;再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。