数学小百科知识：公理化和形式化.doc

1、数学小百科知识：公理化和形式化尽快地掌握学习知识，迅速提高学习能力,由查字典数学网初中频道为您提供的数学小百科知识，希望给您带来启发!研究演绎科学理论和构造演绎系统的两种方法。它们被广泛应用于现代逻辑和数学研究中。公理化 把一个科学理论公理化，就是用公理方法研究它，建立一个公理系统。每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系，公理化的实现就是：从它的诸多概念中挑选出一组初始概念，即不加定义的概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，即都用初始概念定义，称为导出概念;从它的一系列命题中挑选出一组公理，即不加证明的命题，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规

2、则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。其中，初始概念和公理是公理系统的出发点。公理方法经历了从古代的实质公理学到现代的形式公理学的发展过程。公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在几何原本一书中建立的。第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。他在几何基础一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题。古典公理系统的对象域即公理系统所研究的对象，是先于公理而给定的,概念是对象的反映

3、,公理则反映对这些对象的认识，表达这类对象的重要性质和关系。古典公理系统的初始概念和公理都有直观的具体内容，而系统的公理和定理是关于这对象域的真命题。从认识的发展来看，现代形式公理系统虽然一般也是从某种直观理论得到的，并且通常有预先想到的解释。但是，系统自身并不给初始概念予直观的具体内容，它们的意义完全由公理规定，对初始概念和公理可以给予不同的解释，可以刻划多个不同的对象域，即有多个不同的对象域都可以使得一个公理系统的公理和定理为真，它们在不同的解释下成为不同对象域的真命题。公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性、完全性和范畴性，以及公理的独立性。其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是

4、每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的。形式化 公理系统的进一步形式化不仅可以有不同的解释，而且需要应用专门设计的人工符号语言，使一个理论更为精确化和严格化，也就是运用人工的表意符号语言陈述所要形式化的理论。这种人工语言称为形式语言。把一个理论形式化就是把理论中的概念转换为形式语言中的符号，命题转换为符号公式，定理的推演转换成符号公式的变形，并把一个证明转换成符号公式的有穷序列。形式语言的符号和它们所表示的概念之间的对应是确定的，符号公式的结构反映它们的意见。把一个理论形式化后，就可以暂时完全撇开原来理论中的概念、命题的意义，而只从语言符号、公式结构(符号组合的形状)方面研究。意义是抽象

5、的，往往不容易精确理解和掌握。而符号和公式是有穷的具体的对象，能够对其作更精确、更严格的研究，从而通过对具体对象的研究把握抽象的东西。与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问示侄孙伯安诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。死记硬背是一种传统的教学方

6、式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。现在是不是感觉查字典数学网初中频道为大家准备的数学小百科知识很关键呢?欢迎大家阅读与选择!语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。