数学必修四北师大版1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计.doc

1、1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义一、教学目标1知识与技能目标（1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用；（2）掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，并能应用2.过程与方法目标（1）通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合理猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想（2）培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力3情感、态度、价值观目标在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性感悟数学的本质，培养追求真理的精神通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力

2、二、教学重难点教学重点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）及其应用.难点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解.三、教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法结合多媒体课件四、教学过程（一）问题引入【投影展示】问题：初中我们学过锐角的正弦函数与余弦函数，同学们还记得它是怎样表示的吗？借助右图直角三角形，复习回顾. ，问题：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，那么该比值会随着三角形的大小而改变吗？为什么？（根据相似三角形的知识可知该比值不会发生改变）（二）新知探究我们所学角的范围已经扩充到任意角，如果角为任意角，显然初中正弦函数

3、与余弦函数的定义已经不能满足我们的需求，我们必须重新定义正弦函数、余弦函数今天，我们将在直角坐标系中，对此作深入探讨【投影展示】问题3：如图,在直角坐标系中，我们作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，该圆称为单位圆设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点，你能求出与的值吗？该值与点的坐标有什么关系呢？由学生自己探究，得出结论，归纳总结：一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，那么点的纵坐标叫作角的正弦函数，记作；点的横坐标叫作角的余弦函数，记作通常，我们用表示自变量，即表示角的大小，用表示函数值

4、，则得到任意角的正弦函数，余弦函数【投影展示】问题4：在上述定义中，正、余弦函数的定义域与值域分别是什么？说明：表示角的大小，故可为全体实数，而在单位圆中显然，故值域为【投影展示】问题5 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?（由学生探讨）说明：三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.根据三角形相似对应边成比例可知，我们只需计算点到原点的距离,那么，因此任意角的正弦函数与余弦函数是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故它们也可以看成以实数为自变量的函数.【投影展示】

5、问题6 当角分别在第一、第二、第三、第四象限时，你能确定角的正弦函数值、余弦函数值的正负吗？完成课本P14页表格象限三角函数 第一象限第二象限第三象限第四象限说明：正弦函数符号与所在象限记忆法则，从函数出发来记，“正弦上为正，余弦右为正，正切一、三正”；也可以从象限出发来记忆，即“一全为正，二正弦正，三正切正，四余弦正”（三）新知应用【投影展示】例1在直角坐标系的单位圆中，（1）画出角；（2）求出角的终边与单位圆的交点坐标；（3）求出角的正弦函数值、余弦函数值（课本P14页例1）分析：只需求出交点坐标，套用定义即可求解变式训练1判断与的符号，并通过计算进行验证【投影展示】例2已知角终边上一点，

6、求角的正弦函数值、余弦函数值分析：该点并不是角的终边与单位圆的交点，所以应先计算，再利用，求解解：，所以，【投影展示】变式训练2已知角终边上一点，求角的正弦函数值、余弦函数值【投影展示】变式训练3已知角终边与直线重合，求角的正弦函数值、余弦函数值若去掉“”这个条件呢？ 说明：变式2中由于未注明的正、负，故需分情况讨论，旨在让同学们学会分类讨论思想，而变式3中并没有给出终边上一点的坐标，需要自己任意选取一特殊点的坐标求解，也可以作出单位圆与该射线或直线的交点，借助方程组的思想求出交点坐标，套用定义求解（四）反思升华由学生自己从以下三方面进行反思小结，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课

7、的小节：本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同？你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?正弦函数与余弦函数的定义在应用时应注意什么呢？（五）作业布置 【投影展示】课本P16页练习3，4，5填书上，P20页A组1，3，做作业本上补充作业：已知角终边与直线重合，求的值（六）板书设计1.41.任意角的正弦函数、余弦函数 例1 例2定义： 符号法则： 变式1 变式2 变式3 五、教学反思 本节课整体效果是不错的，从熟知的初中的锐角三角函数到高中的任意三角函数，从旧知识到新知的扩展，对学生来讲较容易接受课堂中的变式训练也使新知识能够以充分的应用，锻炼了学生的思维能力、考虑问题周密性，整节课学生始终处于探索与应用中