广东省化州市实验中学高中数学导学案必修五：基本不等式.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家 学习目标 1 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，2 掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；3 会用不等式求一些简单的最值问题 学习过程 一、课前准备看书本97、98页填空复习1：重要不等式：对于任意实数，有，当且仅当_时，等号成立. 复习2：基本不等式：设，则，当且仅当_时，不等式取等号. 二、新课导学 学习探究探究1：基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系

2、或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。 四个直角三角形的面积和为 。 。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_结论：一般的，如果，我们有，当且仅当时，等号成立.特别的，如果，我们用、分别代替、，可得，通常我们把上式写作：第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?证明过程: 要证 只需证 (同时平方) 要证只需证 0 (右边的项移到左侧) 要证只需证 显然成立.当且仅当时,等号成立

3、. 1.如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项，那么该定理可以叙述为： .2.在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.本节定理还可叙述为： .练习1：若，则 若，则 典型例题 例1 （1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?.总结：两个实数 若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当成立。 若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当成立。变式1. 把36写成两个正数的积，当这两

4、个正数取什么值时，它们的和最小？ 2. 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？三、总结提升 学习小结在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号. 知识拓展两个正数1如果和为定值时，则当时，积有最大值.2. 如果积为定值时，则当时，和有最小值.课后作业：1. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） 2.（2009重庆卷文）已知，则的最小值是（ ） A2 B22 C4 D5 3.已知函数在时取得最小值，则4某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次， 一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_ _ 5.已知为正实数，且，则的最大值为_ _6. 一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 7.（1）若，求的最小值； （2）若，则存在最大值还是最小值；并求出来. - 4 - 版权所有高考资源网