数学（北师大版）必修一教学设计：1-1集合的含义与表示 WORD版含答案.doc

1、教学设计教学分析集合论是现代数学的一个重要的基础在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义，课本注重体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等值得注意的问题：由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用在信息技术条件较好的学校，可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识；也可以由教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力

2、在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述三维目标1通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择集合不同的语言形式描述具体的问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识2了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识重点难点教学重点：集合的基本概念与表示方法教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合课时安排1课时导入新课思路1.军训前学校通知：9月1日8点，高一年级学生到操场集合进行军训试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合

3、是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念集合思路2.首先教师提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗？引导学生回忆、举例和互相交流自己列举的例子与此同时，教师对学生的活动给予评价接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢？这就是我们这一堂课所要学习的内容思路3.通过课本上对9个天然湖按水面面积的大小分为三类，引入本节内容推进新课请我们班的全体女生起立！接下来问：“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”下面请班上身高在1.75米以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？其实，生活中

4、有很多东西能构成集合，比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等那么，大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢？请你给出集合的含义如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合，用a表示高一(3)班的一位同学，b是高一(4)班的一位同学，那么a，b与集合A分别有什么关系？由此看出元素与集合之间有什么关系？世界上最高的山峰能不能构成一个集合？世界上的高山能不能构成一个集合？问题说明集合中的元素具有什么性质？由实数1,2,3,1组成的集合有几个元素？问题说明集合中的元素具有什么性质？由实数1,2,3组成的集合记为M，由实数3,1,2组成的集合记为N，这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性

5、质？由此类比实数相等，你发现集合有什么结论？讨论结果：能能我们把研究的对象统称为“元素”，那么把一些元素组成的总体叫“集合”a是集合A的元素，b不是集合A的元素学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于能，是珠穆朗玛峰不能确定性给定的集合，它的元素必须是明确的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合元素的确定性3个互异性一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的，这就是集合元素的互异性集合M和N相同这说明集合中的元素具有无序性，即集合中的元素是没有顺序的可以发现：如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合是相等的活动：先让学生阅读课本，教师指定学生

6、展示结果学生写出常用数集的记号后，教师强调：通常情况下，大写的英文字母N，Z，Q，R不能再表示其他的集合，这是专用的集合表示符号，类似于110,119等专用电话号码一样以后，我们会经常用到这些常见的数集，要求熟练掌握讨论结果：常见数集的专用符号N：非负整数集(或自然数集)(非负整数组成的集合)；N：正整数集(正整数组成的集合)；Z：整数集(整数组成的集合)；Q：有理数集(有理数组成的集合)；R：实数集(实数组成的集合)前面所说的集合是如何表示的？阅读课本中的相关内容，并思考：除字母表示法和自然语言之外，还能用什么方法表示集合？集合共有几种表示法？活动：学生回顾所学的集合，并作出总结教师提示：可

7、以用字母或自然语言来表示教师可以举例帮助引导：例如，24的所有正约数构成的集合，把24的所有正约数写在大括号“”内，即写成1,2,3，4,6,8,12,24的形式，这种表示集合的方法是列举法注意：大括号不能缺失有些集合所含元素个数较多，且元素呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如：从1到100的所有整数组成的集合：1,2,3，100，自然数集N：0,1,2,3,4，n，；区分a与a：a表示一个集合，该集合只有一个元素，a表示这个集合的一个元素；用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序，相同的元素不能出现两次又例如，不等式x32的解集，这个集合中的元素有无数个，不适合用

8、列举法表示可以表示为xR|x32或x|x32，这种表示集合的方法是描述法让学生思考总结已经学习了的集合表示法讨论结果：方法一(字母表示法)：用大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N，Q，所有的正方形组成的集合记为A等；方法二(自然语言表示法)：用文字语言表示集合，例如“所有的正方形”组成的集合等列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫作列举法描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫作描述法注：在不致混淆的情况下

9、，也可以简写列举法的形式，去掉竖线和元素代表符号，例如：所有直角三角形组成的集合可以表示为x|x是直角三角形，也可以写成直角三角形表示一个集合共有四种方法：字母表示法、自然语言表示法、列举法、描述法思路1例1 下列各组对象不能组成集合的是()A大于6的所有整数B高中数学的所有难题C被3除余2的所有整数 D函数y图像上所有的点活动：学生先思考、讨论集合元素的性质，教师指导学生解此类选择题要逐项判断判断一组对象能否构成集合，关键是看它是否满足集合元素的性质选项A，C，D中的元素符合集合元素的性质；而选项B中，“难题”没有确定的标准，不符合集合元素的确定性，不能构成集合答案：B变式训练1下列各组对象

10、能组成集合的是()A充分小的负数 B爱好足球的人C中国的富翁 D某公司的全体员工答案：D2在数集2x，x2x中，实数x的取值范围是_分析：实数x的取值满足集合元素的互异性，则2xx2x，解得x0且x3，实数x的取值范围是x|x0，或0x3，或x3答案：x|x0，或0x3，或x3点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质当所指的对象非常明确时就能构成集合，若元素不明确，没有判断的标准就不能构成集合.例2 用列举法表示下列集合：(1)由大于3小于10的整数组成的集合；(2)方程x290的解的集合活动：学生先思考或讨论列举法的形式，展示解答过程当学生出现错误时，教师及时加以纠正利用相关的知识先明确集合

11、中的元素，再把元素写入大括号“”内，并用逗号隔开所给的集合均是用自然语言给出的解：(1)由大于3小于10的整数组成的集合用列举法可表示为4,5,6,7,8,9；(2)方程x290的解的集合用列举法可表示为3,3点评：本题主要考查集合表示法中的列举法通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性，以后我们尽量用集合来表示数学内容如果一个集合是有限集，并且元素的个数较少时，通常选择用列举法表示，其特点是非常显明地表示出了集合中的元素，是常用的表示法列举法表示集合的步骤：(1)用字母表示集合；(2)明确集合中的元素；(3)把集合中所有元素写在大括号“”内，并写成“A”的形式.变式训练用列举法表

12、示下列集合：(1)所有绝对值等于8的数的集合A；(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.答案：(1)A8,8；(2)B7，6，5，4，3，2，1,0,1,2,3,4,5,6,7.例3 用描述法表示下列集合：(1)小于10的所有有理数组成的集合；(2)所有偶数组成的集合；(3)方程x220的所有实数根组成的集合活动：用描述法表示集合时，用一个小写英文字母表示集合中的元素，作为集合中元素的代表符号，找到集合中元素的共同特征，并把共同特征用数学符号来表达，然后写在大括号“”内，在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征解：(1)小

13、于10的所有有理数组成的集合用描述法可表示为xQ|x10；(2)偶数是能被2整除的数，可以写成x2n(nZ)的形式，因此，偶数的集合用描述法可表示为x|x2n，nZ一般地，我们把含有限个元素的集合叫有限集，如集合A2,3；含无限个元素的集合叫无限集，如整数的集合Z. (3)设方程x220的实数根为x，它满足x220，因此，用描述法表示为CxR|x220，方程x220在实数集R内无解，因此集合xR|x220中没有任何元素，我们把不含有任何元素的集合叫作空集，记作.点评：描述法表示集合的步骤：(1)用字母分别表示集合和元素；(2)用数学符号表达集合元素的共同特征；(3)在大括号内先写上集合中元素的

14、代表符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征，并写成A|的形式描述法适合表示含有无数个元素的集合注意：当集合中的元素个数较少时，通常用列举法表示，否则用描述法表示思路2例1 (1)集合A1,3，判断元素3,5和集合A的关系，并用符号表示(2)所有素质好的人能否表示为集合？(3)集合A2,2,4表示是否准确？(4)集合A太平洋，大西洋，B大西洋，太平洋是否表示同一集合？活动：如果学生没有解题思路，让学生思考以下知识：(1)元素与集合的关系及其符号表示；(2)集合元素的性质；(3)两个集合相同的定义解：(1)根据元素与集合的关系有两种：属于()和不属于()

15、，知3属于集合A，即3A，5不属于集合A，即5A.(2)由于素质好的人标准不可量化，不符合集合元素的确定性，故不能表示为集合(3)表示不准确，不符合集合元素的互异性，应表示为A2,4(4)因其元素相同，故A与B表示同一集合变式训练1在数集3，x，x22x中，实数x满足什么条件？解：集合元素的特征说明3，x，x22x中元素应满足即也就是即满足x1且x0且x3.2方程ax25xc0的解集是，则a_，c_.分析：方程ax25xc0的解集是，那么，是方程的两根，即有得那么a6，c1.答案：613关于x的方程kx23x20的解构成集合A，其中kR，若A中仅有一个元素，求k的值解：由于A中元素是关于x的方

16、程kx23x20(kR)的解，若k0，则x，知A中仅有一个元素，符合题设；若k0，则方程为一元二次方程，当98k0，即k时，kx23x20有两个相等的实数根，此时A中仅有一个元素综上所述k0或k.4定义集合运算ABz|zxy(xy)，xA，yB，设集合A0,1，B2,3，则集合AB的所有元素之和为()A0B 6C12 D18分析：xA，x0或x1.当x0，yB时，总有z0.当x1，y2时，有z6；当x1，y3时，有z12.综上所得，集合AB的所有元素之和为061218.答案：D注意：判断元素与集合的关系时，用列举法表示的集合，只需观察这个元素是否在集合中即可用符号，表示时，注意这两个符号的左边

17、写元素，右边写集合，不能互换它们的位置，否则没有意义如果有明确的标准来判断元素在集合中，那么这些元素就能构成集合，否则不能构成集合用列举法表示的集合，直接观察它们的元素是否完全相同，如果完全相同，那么这两个集合就相等，否则不相等.例2 用列举法表示下列集合：(1)小于5的正奇数组成的集合；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)15以内的质数；(4).活动：教师指导学生思考列举法的书写格式，并讨论各个集合中的元素明确各个集合中的元素，写在大括号内即可提示学生注意：(2)中满足条件的数按从小到大排列时，从第二个数起，每个数比前一个数大3；(3)中除去1和本身外没有其他的约数的正

18、整数是质数；(4)中3x是6的约数，6的约数有1，2，3，6.解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1,3，故用列举法表示为1,3；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6,9,12，故用列举法表示为6,9,12；(3)15以内的质数有2,3,5,7,11,13，故该集合用列举法表示为2,3,5,7,11,13；(4)当Z时，有3x1或2或3或6，解之，得x2或4或1或5或0或6或3或9，故用列举法表示为2,4,1,5,0,6，3,9.变式训练用列举法表示下列集合：(1)x24的一次因式组成的集合；(2)y|yx22x3，xR，yN；(3)方程x26x90的解集；(4)20以内的质数；(5

19、)(x，y)|x2y21，xZ，yZ；(6)大于0小于3的整数；(7)xR|x25x140；(8)(x，y)|xN且1x4，y2x0；(9)(x，y)|xy6，xN，yN思路分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内解：(1)因为x24(x2)(x2)，故符合题意的集合为x2，x2；(2)yx22x3(x1)24，即y4.又yN，故y|yx22x3，xR，yN0,1,2,3,4；(3)由x26x90得x1x23，方程x26x90的解集为3；(4)20以内的质数2,3,5,7,11,13,17,19；(5)因为xZ，yZ，则x1，y0或

20、x0，y1或x0，y1或x1，y0，那么(x，y)|x2y21，xZ，yZ(1,0)，(0,1)，(0，1)，(1,0)；(6)大于0小于3的整数1,2；(7)因为x25x140的解为x17，x22，则xR|x25x1407,2；(8)当xN且1x4时，x1,2,3，此时y2x，即y2,4,6，那么(x，y)|xN且1x4，y2x0(1,2)，(2,4)，(3,6)；(9)(x，y)|xy6，xN，yN(0,6)(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)点评：本题主要考查集合的列举法表示列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合用列举法表示集合时，先明确集合中的元素，

21、再把元素写在大括号内并用逗号隔开，相同的元素写成一个.例3 用描述法分别表示下列集合：(1)二次函数yx2图像上的点组成的集合；(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合；(3)不等式x73的解集活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点、如何表示数轴上的点、如何表示不等式的解学生板书，教师在其他学生中间巡视，及时帮助思维遇到障碍的同学必要时，教师可提示学生：(1)集合中的元素是点，它是坐标平面内的点，集合元素代表符号用有序实数对(x，y)来表示，其特征是满足yx2；(2)集合中的元素是点，而数轴上的点可以用实数表示，集合元素代表符号用x来表示，其特征是对应的实数绝对值大于6

22、；(3)集合中的元素是实数，集合元素代表符号用x来表示，把不等式化为xa的形式，则这些实数的特征是满足xa.解：(1)二次函数yx2上的点(x，y)的坐标满足yx2，则二次函数yx2图像上的点组成的集合表示为(x，y)|yx2；(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合即为绝对值大于6的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为xR|x|6；(3)不等式x73的解是x10，则不等式x73的解集表示为x|x10点评：本题主要考查集合的描述法表示描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合用描述法表示集合时，集合元素的代表符号不能随便设，点集的元素代表符号是(x，y)，

23、数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述，最好用数学符号表示，必须抓住其实质.变式训练用描述法表示下列集合：(1)方程2xy5的解集；(2)小于10的所有非负整数的集合；(3)方程axby0(ab0)的解；(4)数轴上与原点的距离大于3的点的集合；(5)平面直角坐标系中第二、四象限点的集合；(6)方程组的解的集合；(7)1,3,5,7，；(8)平面直角坐标系中x轴上所有点的集合；(9)非负偶数；(10)能被3整除的整数解：(1)(x，y)|2xy5；(2)x|0x10，xZ；(3)(x，y)|axby0(ab0)；(4)x|x|3；(5)(x，y)|xy0；(6)；

24、(7)x|x2k1，kN；(8)(x，y)|xR，y0；(9)x|x2k，kN；(10)x|x3k，kZ.1下列对象能否组成集合：(1)数组1,3,5,7；(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点；(3)满足3x2x3的全体实数；(4)所有直角三角形；(5)美国NBA的著名篮球明星；(6)所有绝对值等于6的数；(7)所有绝对值小于3的整数；(8)中国男子足球队中技术很差的队员；(9)参加奥运会的中国代表团成员答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合，(5)(8)不能组成集合2(口答)说出下面集合中的元素：(1)大于3小于11的偶数；(2)平方等于1的数；(3)15的正约数答

25、案：(1)其元素为4,6,8,10；(2)其元素为1,1；(3)其元素为1,3,5,15.3用符号或填空：(1)1_N,0_N，3_N,0.5_N，_N；(2)1_Z,0_Z，3_Z,0.5_Z，_Z；(3)1_Q,0_Q，3_Q,0.5_Q，_Q；(4)1_R,0_R，3_R,0.5_R，_R.答案：(1)(2)(3)(4)4判断正误：(1)所有属于N的元素都属于N.()(2)所有属于N的元素都属于Z.()(3)所有不属于N的数都不属于Z.()(4)所有不属于Q的实数都属于R.()(5)不属于N的数不能使方程4x8成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)5分别用列举法、描述法表示方程组的

26、解集解：因的解为用描述法表示该集合为；用列举法表示该集合为(3，7)问题：集合Ax|xab，aZ，bZ，判断下列元素x0，x，x与集合A之间的关系活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系，书写过程，将元素x化为ab的形式，再判断a，b是否为整数描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征，那么判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可解：由于A中元素xab，aZ，bZ，当ab0时，x0.0A.又11，当ab1时，ab1，A.又，当a，b1时，ab，而Z，A.0A，A，A.点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系本节学习了：(1)集合的概念；(2)集合

27、的表示法；(3)利用列举法和描述法表示集合的步骤习题11A组2,3,4.集合语言是现代数学的基本语言，在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语言的基础由于集合的概念较难理解，因此设计时采用渐进式学习，而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受，在设计时注重让学生自己学习，重点引导学生学习这两种方法的应用同时通过解决一系列具体问题，使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点；针对不同问题，能选用合适的集合表示法在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换教师在教学过程中时时监控，对学生不可能解决的问题，如集合常见表示法的写法、常见数集及其记法应直接给出，以避免出现不必要的混乱对学生解题过程中遇到

28、的困难给予适当点拨引导学生养成良好的学习习惯，最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标备选例题【例1】 判断下列集合是有限集还是无限集，并用适当的方法表示(1)被3除余1的自然数组成的集合；(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(3)二次函数yx22x10的图像上的所有点组成的集合；(4)设a，b是非零实数，求y的所有值组成的集合思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类用列举法与描述法表示集合时，一要分清元素是什么，二要明确元素满足的条件是什么解：(1)被3除余1的自然数有无数个，这些自然数可以表示为3n1(nN)用描述法表示为x|x3n1，nN(2)由题意得

29、满足条件的正整数有：3,5,7,11,13,17,19，则此集合中的元素有7个，用列举法表示为3,5,7,11,13,17,19(3)满足条件的点有无数个，则此集合中有无数个元素，可用描述法来表示通常用有序数对(x，y)表示点，那么满足条件的点组成的集合表示为(x，y)|yx22x10(4)当ab0时，y1；当ab0时，则a0，b0或a0，b0.若a0，b0，则有y3；若a0，b0，则有y1.y的所有值组成的集合共有两个元素1和3，则用列举法表示为1,3【例2】 定义集合ABx|xA，xB，若集合M1,2,3,4,5，N2,3,6，试用列举法表示集合NM.分析：应用集合ABx|xA，xB与集合A，B的关系来解决依据定义知NM就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素组成的集合观察集合M，N，它们的公共元素是2,3，集合N中除去元素2,3还剩下元素6，则NM6答案：6(设计者：张新军)