河北省衡水中学2015-2016学年高二上学期一调数学试卷（理科） WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年河北省衡水中学高二（上）一调数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1已知an为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（）A4B5C6D72已知数列an是各项均为正数的等比数列，a1+a2=1，a3+a4=4，则a5+a6+a7+a8=（）A80B20C32D3已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则=（）A1+B1C3+2D324数列an满足若，则a8=（）ABCD5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A108B100C92D846如果实数x，y满足（x

2、2）2+y2=3，那么的最大值是（）ABCD7已知坐标原点O在圆x2+y2x+y+m=0外，则m的取值范围是（）A0mBmCmDm08设已知等差数列an满足a1+a2+a101=0，则有（）Aa1+a1010Ba2+a1020Ca3+a99=0Da51=519在数列a1，a2，an，的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数构成一个新数列，则新数列的第69项（）A是原数列的第18项B是原数列的第13项C是原数列的第19项D不是原数列中的项10如图，四面体ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BDCD，平面ABD平面BCD，若四面体ABCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）AB3CD211设

3、an为各项均是正数的等比数列，Sn为an的前n项和，则（）ABCD12已知数列：，依它的前10项的规律，这个数列的第2010项a2010满足（）ABC1a201010Da201010二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13在ABC中，已知AB=5，BC=2，B=2A，则边AC的长为14等差数列an的前n项和为Sn，已知a1=13，S3=S11，当Sn最大时，n的值是15设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn若对任意自然数n都有=，则的值为16等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是三、解

4、答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）17等比数列an中，已知a1=2，a4=16（）求数列an的通项公式；（）若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn18在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，ABC=60，AB=2CB=2在梯形ACEF中，EFAC，且AC=2EF，EC平面ABCD（）求证：BCAF；（）若二面角DAFC为45，求CE的长19已知，圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，

5、求直线l的方程20已知函数f（x）=x22（n+1）x+n2+5n7（）设函数y=f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列an，求证：an为等差数列；（）设函数y=f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成数列bn，求bn的前n项和Sn21设数列an的前n项和为Sn，a1=1，an=+2（n1）（nN+）（1）求证：数列an为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；（2）是否存在自然数n，使得S1+（n1）2=2013，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由22已知数列an满足anan+13an，nN*，a1=1（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）若an是等比数列，且am

6、=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应an的公比；（3）若a1，a2，a100成等差数列，求数列a1，a2，a100的公差的取值范围2015-2016学年河北省衡水中学高二（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1已知an为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（）A4B5C6D7【考点】等差数列【分析】将a2+a8用a1和d表示，再将a5用a1和d表示，从中寻找关系解决，或结合已知，根据等差数列的性质a2+a8=2a5求解【解答】解：解法1：an为等差数列，设首项为a1，公差为d

7、，a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=12；a1+4d=6；a5=a1+4d=6解法2：a2+a8=2a5，a2+a8=12，2a5=12，a5=6，故选C2已知数列an是各项均为正数的等比数列，a1+a2=1，a3+a4=4，则a5+a6+a7+a8=（）A80B20C32D【考点】等比数列的性质【分析】由等比数列的定义及性质可得，a1+a2，a3+a4，则a5+a6，a7+a8 也成等比数列结合条件可得a5+a6=16，a7+a8 =64，从而求得a5+a6+a7+a8 的值【解答】解：由等比数列的定义及性质可得，a1+a2，a3+a4，a5+a6，a7+a8 也成等比数列又a

8、1+a2=1，a3+a4=4故有 a5+a6=16，a7+a8 =64，a5+a6+a7+a8=16+64=80，故选A3已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则=（）A1+B1C3+2D32【考点】等差数列的性质；等比数列的性质【分析】先根据等差中项的性质可知得2（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案【解答】解：依题意可得2（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1，各项都是正数q0，q=1+=3+2故选C4数列an满足若，则a8=（）ABCD【考点】数列递推式【分析】可通过递推公式由首项a

9、1求出数列的前五项，得到数列的周期，然后求出a8的值【解答】解：因为数列an满足，若，所以a2=，a3=，a4=，a5=，数列是周期数列周期为：4，a8=a5=a2=故选B5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A108B100C92D84【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，分别计算长方体和棱锥的体积，相减可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，长方体的体积为：663=108，棱锥的体积为：434=8，故组合体的体积V=1088=100，

10、故选：B6如果实数x，y满足（x2）2+y2=3，那么的最大值是（）ABCD【考点】圆的标准方程【分析】设=k，则y=kx表示经过原点的直线，求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角EOC的正切值易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k=，即为的最大值故选：C7已知坐标原点O在圆x2+y2x+y+m=0外，则m的取值范围是（）A0mBm

11、CmDm0【考点】点与圆的位置关系【分析】由二元二次方程表示圆的条件得到m的不等式，又圆心到圆点的距离应大于半径，解不等式即可得到结果【解答】解：方程x2+y2x+y+m=0表示一个圆，则1+14m0，m，x2+y2x+y+m=0，则有（x）2+（y+）2=m，要满足条件，则有圆心到圆点的距离应大于半径，即，m，即m0，故选：A8设已知等差数列an满足a1+a2+a101=0，则有（）Aa1+a1010Ba2+a1020Ca3+a99=0Da51=51【考点】等差数列的性质【分析】根据特殊数列an=0可直接得到a3+a99=0，进而看得到答案【解答】解：取满足题意的特殊数列an=0，即可得到a

12、3+a99=0选C9在数列a1，a2，an，的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数构成一个新数列，则新数列的第69项（）A是原数列的第18项B是原数列的第13项C是原数列的第19项D不是原数列中的项【考点】数列的概念及简单表示法【分析】欲判断新数列中的第69项是否是原数列中的项，只需把新数列，每隔4个作为一组，判断第69项在第几组中，且为该组中的第几个数即可【解答】解：把插入的3个数与它前面数列a1，a2，an，中的数看做一个组694=17余1，69是第18组的第一个数，恰好为原数列的第18项故选A10如图，四面体ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BDCD，平面ABD平面BCD，若四面

13、体ABCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）AB3CD2【考点】球的体积和表面积【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积【解答】解：由题意，四面体ABCD顶点在同一个球面上，BCD和ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC=，球的半径为：所以球的体积为：=故选：A11设an为各项均是正数的等比数列，Sn为an的前n项和，则（）ABCD【考点】等比数列的性质【分析】不妨假设an的通项公式为an=1，可得=， =，结合所给的选项可得结论【解答】解：不妨假设an的通项公式为an=1，则a4=a6=1，s4=4，s6=6，=， =，结合所给的选项可得B满足条

14、件，故选B12已知数列：，依它的前10项的规律，这个数列的第2010项a2010满足（）ABC1a201010Da201010【考点】数列递推式【分析】把数列看成，以此类推，第N大项为由此能够找到这个数列的第2010项a2010满足的条件【解答】解：数列可看成，以此类推，第N大项为等此时有1+2+3+4+N=，当N=62时，共有1953项当N=63时，共有2016项故a2010=，故选B二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13在ABC中，已知AB=5，BC=2，B=2A，则边AC的长为【考点】正弦定理【分析】在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦函数

15、公式化简，表示出cosA，再利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算求出b的值，即为AC的长【解答】解：在ABC中，AB=c=5，BC=a=2，AC=b，B=2A，由正弦定理=得： =，即=，整理得：b=4cosA，即cosA=，再由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即4=b2+2510b，解得：b=（负值舍去），则AC=b=故答案为：14等差数列an的前n项和为Sn，已知a1=13，S3=S11，当Sn最大时，n的值是7【考点】等差数列的前n项和【分析】由题意可得得a4+a5+a11=0，结合等差数列的性质得4（a7+a8）=0，再由a1=130，得a70，a80则答案可求【解答

16、】解：在等差数列an中，由S3=S11，可得a4+a5+a11=0，4（a7+a8）=0，即a7=a80a1=130，a70，a80则当Sn最大时，n的值是7故答案为：715设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn若对任意自然数n都有=，则的值为【考点】等差数列的性质【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式=，代值计算可得【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=+=故答案为：16等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是T17【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和【分析】利用等比数列的通项公式、化简a

17、3a6a12 =a93 是一个确定的常数，利用等比数列的性质得到T13 =a913，即可得到T19为常数【解答】解：在等比数列中，设公比为q，a3a6a18=a1q2a1q5a1 q17=（a1 q8）3 =为常数，a9为常数，则 T17=a1a2a17=（a1a17）（a2a16）（a3a15）（a4a14）（a5 a13）（a6a12）（ a7a11）（a8a10） a9=，即T17为常数故答案为：T17三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）17等比数列an中，已知a1=2，a4=16（）求数列an的通项公式；（）若a3，a5分别为等差数列bn的第

18、3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（I）由a1=2，a4=16直接求出公比q再代入等比数列的通项公式即可（）利用题中条件求出b3=8，b5=32，又由数列bn是等差数列求出再代入求出通项公式及前n项和Sn【解答】解：（I）设an的公比为q由已知得16=2q3，解得q=2=2n（）由（I）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32设bn的公差为d，则有解得从而bn=16+12（n1）=12n28所以数列bn的前n项和18在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，ABC=60，AB=2CB=2在梯形ACEF中，EFAC，且

19、AC=2EF，EC平面ABCD（）求证：BCAF；（）若二面角DAFC为45，求CE的长【考点】用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题【分析】（）证明BCAC，BCEC，ACEC=C，可得BC平面ACEF，从而BCAF；（）建立空间直角坐标系，求出平面DAF的法向量，平面AFC的法向量，根据二面角DAFC为45，利用向量的夹角公式，即可求CE的长【解答】（）证明：在ABC中，AC2=AB2+BC22ABBCcos60=3所以AB2=AC2+BC2，由勾股定理知ACB=90所以BCAC 又因为EC平面ABCD，BC平面ABCD所以BCEC 又因为ACEC=C，所以BC平面ACEF

20、，又AF平面ACEF所以BCAF （）解：因为EC平面ABCD，又由（）知BCAC，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz设CE=h，则C（0，0，0），所以，设平面DAF的法向量为=（x，y，z），则令所以=（，3，）又平面AFC的法向量=（0，1，0）所以cos45=，解得 所以CE的长为 19已知，圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l

21、与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：将圆C的方程x2+y28y+12=0配方得标准方程为x2+（y4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2（1）若直线l与圆C相切，则有解得（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=，x

22、1x2=则AB=2两边平方并代入解得：a=7或a=1，直线l的方程是7xy+14=0和xy+2=020已知函数f（x）=x22（n+1）x+n2+5n7（）设函数y=f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列an，求证：an为等差数列；（）设函数y=f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成数列bn，求bn的前n项和Sn【考点】数列与函数的综合；等差关系的确定；数列的求和【分析】（）配方，确定函数y=f（x）的图象的顶点的纵坐标，从而可求数列an的通项，再证明为等差数列；（）确定数列bn的通项，进而可分段求出bn的前n项和Sn【解答】（）证明：f（x）=x22（n+1）x+n2+5n7=x（n+1）2+3

23、n8，an=3n8，an+1an=3（n+1）8（3n8）=3，数列an为等差数列（）解：由题意知，bn=|an|=|3n8|，当1n2时，bn=83n，；当n3时，bn=3n8，Sn=b1+b2+b3+bn=5+2+1+（3n8）=21设数列an的前n项和为Sn，a1=1，an=+2（n1）（nN+）（1）求证：数列an为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；（2）是否存在自然数n，使得S1+（n1）2=2013，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由【考点】数列的求和；等差数列的前n项和；等差关系的确定【分析】（1）通过an=+2（n1）可知Sn=nan2n（n1）、Sn+1=（

24、n+1）an+12n（n+1），通过将两式作差、整理可知an+1an=4，进而可知数列an是以1为首项、4为公差的等差数列，计算即得结论；（2）通过an=4n3、an=+2（n1）可知=2n1，从而数列是以1为首项、2为公差的等差数列，通过计算、化简可知S1+（n1）2=2n1，计算即得结论【解答】（1）证明：an=+2（n1），Sn=nan2n（n1），Sn+1=（n+1）an+12n（n+1），两式相减得：an+1=（n+1）an+1nan4n，整理得：an+1an=4，又a1=1，数列an是以1为首项、4为公差的等差数列，an=1+4（n1）=4n3，Sn=n（2n1）；（2）结论：存在

25、自然数n=1007满足题设条件理由如下：an=4n3，an=+2（n1），=an2（n1）=4n32n+2=2n1，数列是以1为首项、2为公差的等差数列，S1+（n1）2=（n1）2=n2（n1）2=2n1，令S1+（n1）2=2013，即2n1=2013，解得：n=1007，存在自然数n=1007满足题设条件22已知数列an满足anan+13an，nN*，a1=1（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）若an是等比数列，且am=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应an的公比；（3）若a1，a2，a100成等差数列，求数列a1，a2，a100的公差的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由题意可得：，代入解出即可；（2）设公比为q，由已知可得，由于，可得而，可得，再利用对数的运算法则和性质即可得出（3）设公差为d，由已知可得31+（n2）d，其中2n100，即，解出即可【解答】解；（1）由题意可得：，；又，3x27综上可得：3x6（2）设公比为q，由已知可得，又，因此，m=1logq1000=1=7.29m的最小值是8，因此q7=，=（3）设公差为d，由已知可得1+nd31+（n1）d即，令n=1，得当2n99时，不等式即，综上可得：公差d的取值范围是2017年1月15日