2022版高考理科数学（新课标）总复习文档：第二章　第四节　二次函数与幂函数 WORD版含答案.docx

1、第四节 二次函数与幂函数 学习要求:1.了解幂函数的概念.2.结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解函数的性质.1.二次函数(1)二次函数的定义:形如 f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式:(i)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);(ii)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0);(iii)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).(3)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质:a0 a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0 且 0”.(2)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的充要条件是“a0

2、 且 0 时,幂函数 y=x有下列性质:a.图象都经过点(0,0)、(1,1).b.在第一象限内,函数值随 x 的增大而增大.(ii)当 0 时,幂函数 y=x有下列性质:a.图象都经过点(1,1).b.在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小.(3)五种常见幂函数的图象:(4)五种常见幂函数的性质:函数特征性质 y=x y=x2 y=x3 y=y=x-1 定义域 R R R 0+)x|xR 且 x0 值域 R 0+)R 0+)y|yR 且 y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x0+)时,增,x(-0 时,减 增 在0+)上增 x(0+)时,减,x(-0)时,减 定点 (0,0

3、),(1,1)(1,1)1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数 y=2 是幂函数.()(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()(3)当 n0),g(x)=logax 的图象可能是()答案 D 由于本题中函数为 y=xa(x0)与 y=logax,对于选项 A,没有幂函数图象,故 A 错误;对于选项 B,由 y=xa(x0)的图象知 a1,而由 y=logax 的图象知 0a0)的图象知 0a1,故 C 错误;对于选项 D,由 y=xa(x0)的图象知 0a1,而由 y=logax 的图象知 0a0 时,x2-x-6=0,解得 x=-2(舍去)或 x=3;当 x0

4、 时,x2+x-6=0,解得 x=2(舍去)或 x=-3;故 f(x)的零点个数为 2.故选 B.5.若 a0,则 0.5a,5a,5-a的大小关系是()A.5-a5a0.5a B.5a0.5a5-a C.0.5a5-a5a D.5a5-a0.5a 答案 B 5-a=().因为 a0,所以函数 y=xa在区间(0+)内单调递减.又 0.55,所以5a0.5a5-a.6.(易错题)已知 f(x)=x3,若当 x1,2时,f(x2-ax)+f(1-x)0,则 a 的取值范围是()A.a1 B.a1 C.a D.a 答案 C f(x)=x3在区间(-+)内为奇函数且单调递增.由 f(x2-ax)+f

5、(1-x)0 得 f(x2-ax)f(x-1),x2-axx-1,即 x2-(a+1)x+10.设 g(x)=x2-(a+1)x+1(1x2),则()()解得 a .故选 C.易错分析 忽视函数的奇偶性.幂函数的图象与性质 典例 1(1)若幂函数 y=x-1,y=xm与 y=xn在第一象限的图象如图所示,则 m 与 n 的取值情况为 ()A.-1m0n1 B.-1n0m C.-1m0n D.-1n0m1(2)(2020 四川高三二模)已知点(3,28)在函数 f(x)=xn+1 的图象上,设 a=f(),b=f(ln)c=f(),则 a,b,c 的大小关系为()A.bac B.abc C.bc

6、a D.cab 答案(1)D(2)D 解析(1)在第一象限作出幂函数 y=xm,y=xn,y=x,y=x-1的图象,在(0,1)内取同一值 x0,作直线 x=x0,与各图象有交点,易得 0m1,-1n0,故选 D.(2)根据题意,点(3,28)在函数 f(x)=xn+1 的图象上,则有 28=3n+1,解得 n=3,则 f(x)=x3+1,易得 f(x)在 R 上为增函数,又 =1ln 所以 ca1 y=在第一象限内的图象与 y=x2的图象类似,排除 B.故选 A.2.幂函数 f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0+)上为增函数,则实数 m 的值为()A.0 B.1 C.1 或 2 D.

7、2 答案 D 因为 f(x)为幂函数,所以 m2-2m+1=1,解得 m=0 或 m=2.因为 f(x)在(0+)上为增函数,所以 2m-10,即 m ,所以 m=2.故选 D.3.(2019 安徽合肥一中高三模拟)已知幂函数 f(x)=xn的图象过点(),且 f(a+1)f(3),则 a 的取值范围是()A.(-4,2)B.(-4)(2+)C.(-4)D.(2+)答案 B 已知幂函数 f(x)=xn的图象过点(),则 8n=,即 n=log8 =-,故幂函数 f(x)的解析式为 f(x)=-,若 f(a+1)3,解得 a2.故选 B.二次函数的解析式 1.已知二次函数 f(x)的图象与 x

8、轴的两个交点的坐标分别为(0,0)和(-2,0),且函数 f(x)有最小值-1,则 f(x)=.答案 x2+2x 解析 根据题意设二次函数的解析式为 f(x)=ax(x+2)(a0),即 f(x)=ax2+2ax,由题意得 -=-1,解得 a=1 f(x)=x2+2x.2.已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3),且图象被 x 轴截得的线段长为 2,并且对任意 xR,都有 f(2-x)=f(2+x),求 f(x)的解析式.解析 f(2+x)=f(2-x)对任意的 xR 恒成立,f(x)的图象的对称轴为直线 x=2.又f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2,f(x)=0 的两根为 1 和

9、 3.设 f(x)的解析式为 f(x)=a(x-1)(x-3)(a0),f(x)的图象过点(4 3)3a=3 a=1,f(x)=(x-1)(x-3),即 f(x)=x2-4x+3.3.已知函数 f(x)为二次函数,且 f(x-1)+f(x)=2x2+4,求 f(x)的解析式.解析 设 f(x)=ax2+bx+c(a0),由题意得 a(x-1)2+b(x-1)+c+ax2+bx+c=2ax2+(2b-2a)x+a-b+2c=2x2+4,-解得 .f(x)=x2+x+2.4.已知函数 f(x)=ax2+6x-2b+3(a,b 为常数),在 x=1 时,f(x)取得最大值 2,求 f(x)的解析式.

10、解析 当 a0 时,由题意,得-解得 -.f(x)=-3x2+6x-1,当 a=0 时,不符合题意,故 f(x)=-3x2+6x-1.方法技巧 求二次函数解析式的策略(1)已知三点坐标,选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最值,选用顶点式.(3)已知与 x 轴的交点坐标,选用零点式.二次函数的图象、性质及应用 角度一 二次函数的图象 典例 2 下图是二次函数 y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分,图象过点 A(-3,0),对称轴为直线 x=-1,给出下面四个结论:b24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即 b24ac 中结论正确;因为对称轴为直线 x=-1,即-=-1,所以

11、2a-b=0 中结论错误;结合图象可知,当 x=-1 时,y0,即 a-b+c0 中结论错误;由对称轴为直线 x=-1 知 b=2a,又函数图象开口向下,所以 a0,所以 5a2a,即 5ab 中结论正确,故选 B.角度二 二次函数的单调性 典例 3 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x-4,6.(1)若 y=f(x)在-4,6上是单调函数,求实数 a 的取值范围;(2)当 a=-1 时,求 f(|x|)的单调区间.解析(1)函数 f(x)=x2+2ax+3 的图象的对称轴为直线 x=-=-a,要使 f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4 或-a6,解得 a4 或 a-6.故 a 的

12、取值范围是(-64+).(2)当 a=-1 时,f(|x|)=x2-2|x|+3=()-(-)f(|x|)的单调递减区间是-4,-1)和(0,1),单调递增区间为-1,0和1,6.变式探究 1 若函数 f(x)=x2+2ax+3 在-4+)上为增函数,求 a 的取值范围.解析 f(x)=x2+2ax+3 在-4+)上为增函数,且其图象的对称轴为直线 x=-a,-a-4,即 a4.变式探究 2 若函数 f(x)=x2+2ax+3 的单调增区间为-4+)则 a 为何值?解析 f(x)=x2+2ax+3 的单调增区间为-4+)且其图象的对称轴为直线 x=-a-a=-4,即 a=4.角度三 二次函数的

13、最值问题 典例 4 已知函数 f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当 a=2,x-2,3时,求函数 f(x)的值域;(2)若函数 f(x)在1,3上的最大值为 1,求实数 a 的值.解析(1)当 a=2 时,f(x)=x2+3x-3=()-,又 x-2,3,所以 f(x)min=f(-)=-,f(x)max=f(3)=15,所以函数 f(x)的值域为-.(2)由题意可知,函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x=-.当-1,即 a-时,f(x)max=f(3)=6a+3,即 6a+3=1,解得 a=-,满足题意;当-3,即 a-时,f(x)max=f(1)=2a-3,即 2a-3=1,解得

14、 a=2,不满足题意;当 1-3,即-a2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.解析 由题意可知,f(x)2x+m 等价于 x2-x+12x+m,即 x2-3x+1-m0,令 g(x)=x2-3x+1-m,要使 g(x)0 在-1,1上恒成立,只需使函数 g(x)在-1,1上的最小值大于 0 即可.g(x)=x2-3x+1-m 在-1,1上单调递减,g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-10 得 mlg 100=2,t2lg 100=2,令 f(x)=kx2+3(k-1)x+2k,易知 k0,则有 kf(2)0,即 k(12k-6)0,解得 0k .名师点评 1.二次函数、二次方程与二

15、次不等式常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,解决此类问题首先采用转化的思想,把方程、不等式问题转化为函数问题.借助函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键:(1)一般有两种解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于使用哪种思路解题,关键是看参数是否容易分离.这两种思路的依据:af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min.1.已知 mZ,一元二次方程 x2+mx+3=0 有两个实数根 x1,x2,且 0 x12x24

16、,则 m=.答案-4 解析 因为一元二次方程 x2+mx+3=0 有两个实数根 x1,x2,且 0 x12x24,所以二次函数f(x)=x2+mx+3 分别在(0,2)和(2,4)内各有一个零点.所以()()()()()()解得 -即-m-.因为 mZ,所以 m=-4.2.已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3 在-1,1上恒小于零,则实数 a 的取值范围是 .答案(-)解析 由题意可知,2ax2+2x-30 在-1,1上恒成立.当 x=0 时,-30,成立;当 x0 时,a (-)-,令 g(x)=(-)-,x-1,0)(0,1,由上式可知,当 x=1 时,g(x)取最小值 a

17、 .综上,实数 a 的取值范围是(-).3.已知二次函数 f(x)=x2-4x+3,当 x0,m时,试确定 f(x)的最大值.解析 已知 f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,x0,m,当 0m2 时,函数 f(x)在区间0,m上单调递减,则 f(x)max=f(0)=3;当 2m4 时,函数 f(x)在区间0,2上单调递减,在区间(2,m上单调递增,f(0)=3,f(m)=m2-4m+3=m(m-4)+33,则 f(x)max=f(0)=3;当 m4 时,函数 f(x)在区间0,2上单调递减,在区间(2,m上单调递增,f(0)=3,f(m)=m2-4m+3=m(m-4)+33,则 f(

18、x)max=f(m)=m2-4m+3.综上所述,f(x)max=-.A 组 基础达标 1.若幂函数 f(x)的图象经过点(),则该函数的图象()A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 y=x 对称 答案 B 设 f(x)=x,依题意得()=4,解得=-2,所以 f(x)=x-2,因为 f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x),所以 f(x)为偶函数,其图象关于 y 轴对称.故选 B.2.(2020 四川宜宾第四中学模拟)若 a=(),b=(),c=(),则 a,b,c 的大小关系是()A.abc B.cab C.bca D.ba0)是增函数 a=()b=(

19、).y=()是减函数 a=()c=()baf(1),则()A.a0,4a+b=0 B.a0,2a+b=0 D.af(1),f(4)f(1),所以 f(x)先减后增,所以 a0,故选 A.4.(2020 广东潮州高级中学模拟)若幂函数 y=-(mZ)的图象如图所示,则 m 的值为()A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 因为 y=-(mZ)的图象与坐标轴没有交点,所以 m2-4m0,即 0m4.又因为函数的图象关于 y 轴对称,且 mZ,所以 m2-4m 为偶数,因此 m=2.5.(2020 湖南怀化第一中学模拟)已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)-(nZ)在(0+)上是减函数,则 n

20、 的值为()A.-3 B.1 C.2 D.1 或 2 答案 B 6.(2020 湖北荆州质量检查)若对任意的 xa,a+2,均有(3x+a)38x3成立,则实数 a 的取值范围是()A.(-2 B.(-1 C.(-0 D.0+)答案 B 因为(3x+a)38x3,y=x3在 R 上递增,所以 3x+a2x,解得 x-a,即 x(-a,因为对任意的 xa,a+2,均有(3x+a)38x3成立,所以a,a+2是(-a的子集,所以 a+2-a,所以 a-1,即 a 的取值范围是(-1,故选 B.7.已知幂函数 f(x)=-,若 f(a+1)0),易知 x(0+)时,f(x)为减函数,f(a+1)f(

21、10-2a),-解得 -3a5.8.已知关于 x 的方程(m-2)x2+3mx+1=0 的两个根分别在区间(-1,0)和(0,2)内,则 m 的取值范围为 .答案-m 解析 设 f(x)=(m-2)x2+3mx+1,因为 f(x)=0 的两个根分别在区间(-1,0)和(0,2)内,所以()-(-)(-)()()()即 -(-)(-)所以-m .9.(2020 湖北汉川第一中学模拟)已知二次函数的图象与 x 轴只有一个交点,与 y 轴交于点(0,3),对称轴为直线 x=3,则它的解析式为 .答案 y=x2-2x+3 解析 由题意可设二次函数的解析式为 y=a(x-3)2,又图象与 y 轴交于点(

22、0,3),所以 3=9a,即a=.所以 y=(x-3)2=x2-2x+3.B 组 能力拔高 10.若 0mn,kQ 且 k0,则()与()的大小关系是 .答案()()解析 因为 0m 0.又因为函数 y=xk(kQ,k0)在(0+)上单调递减,所以()0,由题意可知函数在 x=处取得最小值,即 f()=a (-)+1=,解得 a=1,故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x(x-1)+1=x2-x+1.(2)f(x)=x+m,即 x2-x+1=x+m,故 m=x2-2x+1,原问题等价于直线 y=m 与函数 y=x2-2x+1 的图象在区间(-1,2)上有且只有一个交点,函数图象如图所示,观察

23、图象可得实数 m 的取值范围是m|m=0 或 1m0,bR,cR).(1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=()-()求 F(2)+F(-2)的值;(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|1 在区间(0,1上恒成立,求 b 的取值范围.解析(1)由题意得 a-b+c=0,且-=-1,又 c=1,解得 a=1,b=2,所以 f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.所以 F(x)=()-().所以 F(2)+F(-2)=(2+1)2+-(-2+1)2=8.(2)由题意得 f(x)=x2+bx,原问题等价于-1x2+bx1 在(0,1上恒成立,即 b -x 且 b-x 在(0,1上恒成立.又当 x(0,1时,(-)=0,(-)=-2,所以-2b0.故 b 的取值范围是-2,0.