河北省衡水中学2018届高三下学期第9周周考理科数学试题 WORD版含解析.doc

1、2017-2018学年高三年级下学期理科数学周测9一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 故的虚部为故选D2.已知集合，则等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合A和B，从而求出的值【详解】集合 则故选 B .【点睛】本题考查交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用3.已知平面向量a，b满足，且，|，则等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可求的值，则由即可得到答案.【详解】

2、由可得则故选A.【点睛】本题考查利用重力的数量积求模.属基础题.4.中国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（ ）A. 35 B. 65 C. 70 D. 60【答案】C【解析】设每个月的收入为等差数列an公差为d则a3=25，S12=510a1+2d=25，12a1+d=510，解得a1=15，d=5， 故选C5.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析

3、】由三视图可知此几何体是三棱锥，且底面为等腰直角三角形，腰长AB=BC=，斜边AC=4，面PAC垂直于面，且为等腰三角形，取AC的中点D，则，则面ABC，取BC的中点E则，且，连接则，在三角形中， 所以 故选A6.为了得到函数的图象，只需把函数的图象A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】由于，根据函数 的图象变换规律，得出结论【详解】， 故只需向左平移个长度单位即可得到函数的图象故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于基础题7.已知，则a，b，c的大小为A. B. C. D. 【

4、答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【详解】 a=21.12 ， abc故选：D【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8.设等比数列的前项和为，公比为，且，成等差数列，则等于（ ）A. -4 B. -2 C. 2 D. 4【答案】A【解析】依题意可知2S9=S6+S3，整理得2q6-q3-1=0，解q3=1或，当q=1时，2S9=S6+S3，不成立故排除所以等于-4故选A9.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. B. C. 0 D. 【答案】A【解析】由程序框图可知 ，因为 即一个周期即6个值相加为0，因为，所以

5、故选A10.设函数的最大值为，最小值为，则等于（ ）A. B. C. 3 D. 2【答案】A【解析】,令 所以 所以 所以当时，有最小值为，当时，有最大值 所以故选A11.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则，的关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设椭圆与双曲线的方程分别为 满足 由焦点三角形的面积公式得 所以 故故选C点睛：本题考查了椭圆与双曲线基本量的关系，考查二级结论焦点三角形的面积公式，及离心率的计算，属于中档题.12.锐角中， 为角所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解

6、析】如图，连接，延长交于，由于为重心，故为中点，由重心的性质得，即，由余弦定理得，则 又因为为锐角三角形，则应该满足 将 代入可得 则，由对勾函数性质可得的取值范围为，故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13.已知实数x，y满足的最小值为_【答案】5【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=-x+ 平移此直线，由图象可知当直线y=-x+经过A时，直线在y轴的截距最小，得到z最小，由得到A（1，2），所以z=x+2y的最小值为5故答案为514.已知展开式中所有项的系数的和为243，则该展开式中含项的系数为_【答案】20【

7、解析】【分析】先求得n=5，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-2，求得r的值，可得展开式中含项的系数【详解】展开式中所有项的系数的和为3n=243，n=5，故的展开式的通项公式为 ，令=-2，求得r=4，可得展开式中含项的系数为 故答案为：20【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15.已知是抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则面积的最小值是_【答案】【解析】设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入y2=4x，可得y2-4

8、ty-4m=0，根据韦达定理有y1y2=-4m，x1x2+y1y2=-4，即 ，所以直线AB恒过且y1y2=-8 当 时，面积的最小值是故答案为16.正四棱锥的体积为，则该正四棱锥的内切球体积的最大值为_【答案】【解析】如图在正四棱锥V-ABCD中，设M，N分别是线段BC和AD的中点，连接AC，BD交于点O，连接VO，VM，VN，MN，则该正四棱锥内切球的大圆是的内切圆，设 故， 当时取等号，故该正四棱锥的内切球体积的最大值为故答案为点睛：本题考查了正四棱锥内切球的体积球法，大胆引入角，减少变量，把球的体积用角表示结合基本不等式可求得最值，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或

9、演算步骤17.已知单调的等比数列的前项的和为，若，且是的等差中项.()求数列的通项公式；()若数列满足，且前项的和为，求.【答案】() ；() .【解析】试题分析：()由已知得，从而求得，由，得，进而得通项公式；() ，利用裂项相消求和即可.试题解析：()因为是的等差中项，所以或（舍）； () ； 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.18.在如图所示的多面体中，G是BC的中点（）

10、求证：；（）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值【答案】（）见解析（）【解析】【分析】（1）证明EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明，可得BDEG；（2）由已知得是平面DEF的法向量，求出平面DEG的法向量，利用向量的夹角公式，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值【详解】（），又，BE，EF，AE两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由已知得，（）由已知得是平面DEF的法向量，设平面的DEG法向量为，即令，得，设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的

11、大小为，则平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为【点睛】题考查线线垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，属中档题.19.根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米某市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如图表：（）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如右上图（）求右图中a的值；（）在频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判

12、断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由（）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列和数学期望【答案】（）见解析（）见解析【解析】【分析】（1）a=0.0042016年该居民区PM2.5的年平均浓度=12.50.15+37.50.6+62.50.15+87.50.1，与35比较即可判断出结论（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3，X的分数学期望可求【详解】（）（）a的值为 （）2016年该居民区PM2.5年平均浓度为（微克/立六米

13、）因为，所以2016年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进（）由题意，PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为，X的可能取值为0，1，2，3；X的分布列为X0123P或【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及其应用、二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查推理能力与计算能力，属于中档题.20.已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与轴的非负半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于两点，连接，求的面积的最大值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）由题意可设椭圆方程为，则可求得（）由题意

14、可知，直线的斜率存在且不为o故可设直线的方程为，由对称性，不妨设，由，消去得，求弦长|BP|，将式子中的换成，得设，则利用基本不等式即得解.试题解析：（）由题意可设椭圆方程为，则，故，所以，椭圆方程为（）由题意可知，直线的斜率存在且不为o故可设直线的方程为，由对称性，不妨设，由，消去得，则，将式子中的换成，得： ，设，则故 ，取等条件为即，即，解得时，取得最大值21.已知函数（a为常数）与x轴有唯一的公共点A（）求函数的单调区间；（）曲线在点A处的切线斜率为，若存在不相等的正实数，满足，证明：【答案】（）见解析（）见解析【解析】【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，

15、结合单调性求出f（x）的最小值，从而确定a的范围；（）求出a的值，不妨设x1x2，则0x11x2，得到(x121+3lnx1)x221+3lnx2，令p（t）=2t+3lnt-2，根据函数的单调性证明即可【详解】（）因为函数的定义域为，且，故由题意可知曲线与x轴存在公共点，又，则有当时，函数在定义域上递增，满足条件；当时，函数在上递减，在上递增，若时，则，取，则，故由零点存在定理可知，函数在上还有一个零点，因此不符合题意；若，则函数的极小值为，符合题意；若，则由函数的单调性，有，取，有下面研究函数，因为恒成立，故函数在上递增故，故成立，函数在区间上存在零点，不符合题意综上所述：当时，函数的递增

16、区间为，递减区间为；当时，函数的递增区间为，无递减区间（）容易知道函数在处的切线斜率为，得，由（）可知，且函数在区间上递增不妨设，因为，则，则有，整理得，由基本不等式得，故，整理，即由函数在上单调递增，所以，即【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题22.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为（）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）过点作斜率为1的直线l，直线l与圆C交于A，B两点，试求的值【答案】（）（）【解析】【分析】（）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方

17、程，运用cos=x，sin=y，即可普通方程；（）求出过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果【详解】（）由得：，即，C的直角坐标方程为：（）设A，B两点对应的参数分别为，直线和圆的方程联立得：，所以，所以，【点睛】本题考查直线的参数方程、以及极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线参数方程的运用，属于中档题23.已知函数（）解不等式；（）若不等式的解集为A，且满足，求实数a的取值范围【答案】（）（）【解析】【分析】（）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（）求出B，根据集合的包含关系求出a的范

18、围即可【详解】（）可化为，即或或解得或，或；不等式的解集为 （）易知； 所以，又在恒成立； 在恒成立；在恒成立；【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题24.设数列是公比小于1的等比数列，为数列的前n项和已知且，构成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】1）设数列的公比为，则由已知，且，解得，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，则，利用错位相减法可求【详解】（1）设数列的公比为，则，且，所以，；（2），两式相减得到【点睛】该题考查等差数列、等比数列的性质、数列求和等知识，考查学生

19、的运算求解能力，属中档题25.已知函数（1）若函数有且仅有一个零点，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若，恒成立，求正实数m的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方程的根的个数即的零点的个数，所以，令，证明在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，可得函数有且仅有一个零点，则；（2）令，由得或，分当时，两种情况讨论可求正实数m的取值范围【详解】（1），所以方程的根的个数即的零点的个数，所以，令， ，其中单调递减，且，所以当时，单调递增，当时，单调递减，且时，时，结合图像可知，若函数有且仅有一个零点，则；（2）令，由得或，当时，（舍），所以，且当时，单调递减，当时，单调递增，所以；当时，所以当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即，所以，综上【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题