河北省衡水市安平中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）.doc

1、河北省衡水市安平中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据每场比赛得分36710111330频数2123111则该队员得分的40百分位数是（）A5B6C7D82复数z满足（1i）|1+i|，则复数z的实部与虚部之和为（）ABC1D03若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PAPBPC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是（）ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PAE平面ABCD平面PDF平面ABC4已知（1t，2t1，0），（2，t，t），则|的最小值为（

2、）ABCD5某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）ABCD6设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a2+b268，则ABC的面积为（）ABC4D7在ABC中，M为BC边上的中点，N为AC边上的点，且；点P为AM与BN的交点，则下列说法正确的是（）A+B+C+D+8在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”如图，四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA底面ABCD，PAABAD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的

3、正弦值为（）ABCD二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部答对得5分，部分答对得3分，答错不得分）9某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（）A众数的估计值为35B中位数的估计值为35C平均数的估计值为29.2D样本中有25名同学阅读时间不低于40分钟10已知复数z1，z2C，下列结论正确的有（）AB若z1z20，则z1，z2中至少有一个为0C|z1z2|z1|z2|D若，则z1z2011抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件A，“向上的点数是1，2”为事

4、件B，“向上的点数是1，2，3”为事件C，“向上的点数是1，2，3，4”为事件D，则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（）AA与B是互斥事件但不是对立事件BA与C是互斥事件也是对立事件CA与D是互斥事件DC与D不是对立事件也不是互斥事件12在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且APD1Q，则下列说法正确的有（）ADP与D1Q所成角的最大值为B四面体ABPQ的体积不变CAA1Q的面积有最小值D平面D1PQ截正方体所得截面面积不变三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知向量（1，2），（x，6），且，若A，B，C

5、三点共线，则实数x的值为 142020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为 15在ABC中，AB，ABC45，ACB60，延长BC到D，使得CD5，则AD的长为 16已知半径为5的球面上有P，A，B，C四点，满足ACB90，AC7，BC，则球心O到平面ABC的距离为 ，三棱锥PABC体积的最大值为 四.解答题（本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明和演算步骤）17在|，（+），三个条件中任选一个，补充在下面

6、问题中，然后解答补充完整的题目已知向量（cos，sin），（cos，sin），_，若0，0，且sin，求sin18将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”（）写出该试验的基本事件空间，并求事件A发生的概率；（）求事件B发生的概率；（）事件A与事件C至少有一个发生的概率19如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，AB2CD2，PC，PD，点E，F分别为棱AB，PB的中点，且PB2AF求证：（1）平面PAD平面CEF；（2）平面PAB平面PAC20已知点A（0，1，1），B（2，2，1），向量，计算：（1）求向量的单

7、位向量；（2）求，；（3）；（4）求点B到直线OA的距离21某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温

8、位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率22如图所示，某镇有一块空地OAB，其中OA3km，OB3km，AOB90当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边A，B上，且MON30，挖出的泥土堆放在OAM地带上形成假山，剩下的OBN地带开设儿童游乐场为安全起见，需在OAN的一周安装防护网（1）当AMkm时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN的面积是堆假山用地OAM的面积的

9、倍，试确定AOM的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN的面积最小？最小面积是多少？参考答案一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据每场比赛得分36710111330频数2123111则该队员得分的40百分位数是（）A5B6C7D8解：由表可知频数共计11，110.44.4，可得该队员得分的40百分位数是第5个得分为7故选：C2复数z满足（1i）|1+i|，则复数z的实部与虚部之和为（）ABC1D0解：（1i）|1+i|，（1i）（1+i）（1+i），+izi则复数z的实部与虚部之和0故选：D3

10、若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PAPBPC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是（）ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PAE平面ABCD平面PDF平面ABC解：P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PAPBPC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，DFBC，DF平面PDF，BC平面PDF，BC平面PDF，故A正确；PAPBPC，E是BC中点，PEBC，AEBC，PEAEE，BC平面PAE，DFBC，DF平面PAE，故B正确；BC平面PAE，BC平面ABC，平面PAE平面ABC，故C正确；设AEDFO，连结PO，O不是等边三角形ABC的重心，PO与平面

11、ABC不垂直，平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误故选：D4已知（1t，2t1，0），（2，t，t），则|的最小值为（）ABCD解：（2，t，t）（1t，2t1，0）（1+t，1t，t ），故当t0时，有最小值等于，故选：C5某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）ABCD解：该选手能进入第四关的概率为故选：D6设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a2+b268，则ABC的面积为（）ABC4D解：由，可得：，即，所以a，即cab，又a2+b

12、268，cosC，所以c2a2+b22abcosC682c，即2c2+c1360，解得c8，或c（舍去），所以ab8，又sinC，所以ABC的面积为SABCabsinC故选：B7在ABC中，M为BC边上的中点，N为AC边上的点，且；点P为AM与BN的交点，则下列说法正确的是（）A+B+C+D+解：设，因为M为BC边上的中点，N为AC边上的点，且，所以（+）（+）（+），又+（）+（）（1）+，由于向量与向量不共线，则由平面向量基本定理知：，解得，所以+故选：B8在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”如图，四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA底面ABCD，PAABAD，

13、E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为（）ABCD解：如图，侧棱PA底面ABCD，PA平面PAD，则平面PAD平面ABCD，底面ABCD为矩形，CDAD，而平面PAD平面ABCDAD，CD平面PAD连接ED，则ED为CE在平面PAD上的射影，则CED为CE与底面PAD所成角，设PAABAD2a，则AEa，ED，ECsin即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为故选：A二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部答对得5分，部分答对得3分，答错不得分）9某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了100名学生，绘

14、制了如图所示频率分布直方图，则（）A众数的估计值为35B中位数的估计值为35C平均数的估计值为29.2D样本中有25名同学阅读时间不低于40分钟解：由频率分布直方图知（30，40的频率最大，因此众数估计值为，故A选项正确，0，30的频率为0.1+0.18+0.220.5，中位数为30，故B选项正确，平均值估计为50.1+150.18+250.22+350.25+450.2+550.0529.2，故C选项正确，不低于40分钟的人数为100（0.2+0.05）25，故D选项正确故选：ACD10已知复数z1，z2C，下列结论正确的有（）AB若z1z20，则z1，z2中至少有一个为0C|z1z2|z1

15、|z2|D若，则z1z20解：设z1a+bi，z2c+di，对于A，故选项A正确；对于B，因为z1z2（a+bi）（c+di）（acbd）+（ad+bc）i0，则，则ab0或cd0，所以z1，z2中至少有一个为0，故选项B正确；对于C，由复数模的运算性质可知，|z1z2|z1|z2|，故选项C正确；对于D，当z11，z2i时，故选项D错误故选：ABC11抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件A，“向上的点数是1，2”为事件B，“向上的点数是1，2，3”为事件C，“向上的点数是1，2，3，4”为事件D，则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（）AA与B是互斥事件但不是对立事件BA

16、与C是互斥事件也是对立事件CA与D是互斥事件DC与D不是对立事件也不是互斥事件解：抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6“为事件A，“向上的点数是1，2“为事件B，“向上的点数是1，2，3“为事件C，“向上的点数是1，2，3，4“为事件D，在A中，A与B不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故A正确；在B中，A与C是互斥事件，也是对立事件，故B正确；在C中，A与D能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，C与D能同时发生，不是对立事件也不是互斥事件，故D正确故选：ABD12在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的

17、动点，且APD1Q，则下列说法正确的有（）ADP与D1Q所成角的最大值为B四面体ABPQ的体积不变CAA1Q的面积有最小值D平面D1PQ截正方体所得截面面积不变解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，所以DD1AP，因为APDQ，所以AP平面DD1Q，所以APD1Q，因为P为BC中点，记A1B1中点为E，所以Q位于直线D1E上A：记B1C1中点为H，连结EH，D1H，易知D1HDP，所以DP与D1Q所成角即为ED1H，因为正方体棱长为1，所以，解得：cos，所以DP与D1Q所成角为定值，为，故A错误；B：A，B，P三点为定点，所以SABP为定值，因为Q位于平面A1B1C1D

18、1中，A，B，P在平面ABCD中，所以点Q到平面ABP的距离为定值，所以四面体ABPQ的体积不变，故B正确；C：在正方体中，AA1平面A1B1C1D1，所以AA1QA1，所以，在RtD1A1E中，A1D12，A1E1，所以点A1到D1E的距离的最小值为，所以AA1Q的面积有最小值为，故C正确；D：当Q不与D1重合时，D1与Q连线即为D1E，故平面D1PQ即为平面D1PE，此时截面固定，面积为定值，当Q与D1重合时，两点确定一条直线，则截面确定，此时面积为定值，故D正确故选：BCD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知向量（1，2），（x，6），且，若A，B，C三点共线，则实数

19、x的值为 3解：向量（1，2），（x，6），且，（2，4）+（3x，18）（2+3x，14），（1+2x，10），A，B，C三点共线，14（1+2x）10（2+3x），解得x3故答案为：3142020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为 解：从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生，则共有种不同的选法，至少有1名女医生被选中，则共有种不同的选法，所以至少有1名女医生被选中的概率为故答案为：15在ABC中

20、，AB，ABC45，ACB60，延长BC到D，使得CD5，则AD的长为 7解：在ABC中，由正弦定理可得：，在ACD中，由余弦定理可得：故答案为：716已知半径为5的球面上有P，A，B，C四点，满足ACB90，AC7，BC，则球心O到平面ABC的距离为3，三棱锥PABC体积的最大值为解：如图，在RtACB中，由ACB90，AC7，BC，得AB，设ACB外接圆的半径为r，则r4，设球心为O，三角形ACB外接圆的圆心为O1，由球的性质可得，OO1平面ACB，在RtOO1A中，可得即球心O到平面ABC的距离为3；要使三棱锥PABC体积取最大值，则P为O1O与球面的交点，此时P到底面ACB的距离为8，

21、则三棱锥PABC体积的最大值为故答案为：3；四.解答题（本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明和演算步骤）17在|，（+），三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目已知向量（cos，sin），（cos，sin），_，若0，0，且sin，求sin解：因为（cos，sin），（cos，sin），所以|1，选择方案：因为|，所以（）2，即+2，所以，因为（cos，sin），（cos，sin），所以coscos+sinsin，即cos（），因为0，0，所以0，所以sin（），因为0，sin，所以cos，所以sinsin（）+sin（）cos+cos（）sin+（）选择方案：因

22、为（+），所以+，所以，因为（cos，sin），（cos，sin），所以coscos+sinsin，即cos（），因为0，0，所以0，所以sin（），因为0，sin，所以cos，所以sinsin（）+sin（）cos+cos（）sin+（）选择方案：因为（cos，sin），（cos，sin），且，所以coscos+sinsin0，即cos（）0，因为0，0，所以0，所以，因为0，sin，所以cos，所以sinsin（+）cos18将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”（）写出该试验的基本事件空间，并求事件A发

23、生的概率；（）求事件B发生的概率；（）事件A与事件C至少有一个发生的概率解：（I）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共有36个基本事件，事件A：“两数之和为8”，

24、事件A包含的基本事件有：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5个基本事件，事件A发生的概率为P（A）（II）事件B：“两数之和是3的倍数”，事件B包含的基本事件有12个，分别为：（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6），事件B发生的概率P（B）（III）事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：（2，2），（2，4），（2，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（6，2），（6，4），（6，6），事件A与事件C至少有一个发

25、生的概率为P（AC）19如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，AB2CD2，PC，PD，点E，F分别为棱AB，PB的中点，且PB2AF求证：（1）平面PAD平面CEF；（2）平面PAB平面PAC解：（1）证明：因为E是AB的中点，所以AE，又因为ABCD，所以四边形AECD是平行四边形，所以CEAD，因为CE平面PAD，AD平面PAD，所以CE平面PAD又因为F是PB的中点，所以EFPA，所以EF平面PAD，又CEEFE，所以平面CE平面PAD（2）证明：因为CD1，PC，PD，满足PD2CD2+PC2，所以PCCD，.因为ABCD，所以ABPC在PAB中，PB2AF，F是PB的中点，所以PF

26、AFBF，所以APFPAF，BAFABF，由APF+PAF+BAF+ABF，可得，所以ABPA，又PAPCP，所以AB平面PAC，因为AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC20已知点A（0，1，1），B（2，2，1），向量，计算：（1）求向量的单位向量；（2）求，；（3）；（4）求点B到直线OA的距离解：（1）由已知得：（2，2，1），则|3，则，（2），则，则，则；（3），则，（4）在上的投影为，点B到直线OA的距离21某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（

27、单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率解：（1）由前三年六月份

28、各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间20，25）和最高气温低于25的天数为2+16+3654，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p（2）当温度大于等于25时，需求量为500，Y4502900元，当温度在20，25）时，需求量为300，Y3002（450300）2300元，当温度低于20时，需求量为200，Y400（450200）2100元，当温度大于等于20时，Y0，由前三年六月份各天的最高

29、气温数据，得当温度大于等于20的天数有：90（2+16）72，估计Y大于零的概率P22如图所示，某镇有一块空地OAB，其中OA3km，OB3km，AOB90当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边A，B上，且MON30，挖出的泥土堆放在OAM地带上形成假山，剩下的OBN地带开设儿童游乐场为安全起见，需在OAN的一周安装防护网（1）当AMkm时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN的面积是堆假山用地OAM的面积的倍，试确定AOM的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN的面积最小？最小面积

30、是多少？解：（1）在OAB中，因为OA3，OB3，AOB90，所以OAB60，在AOM中，OA3，AM，OAM60，由余弦定理，得OM，所以OM2+AM2OA2，即OMAN，所以AOM30，所以OAN为正三角形，所以OAN的周长为9，即防护网的总长度为9km（2）设AOM（060），因为OMN的面积是堆假山用地OAM的面积的倍，所以sin30OAOMsin，即ON6sin，在OAN中，由，得ON，从而6sin，即sin2，由02120，得230，所以15，即AOM15（3）设AOM（060），由（2）知ON，又在AOM中，由，得OM，所以SOMN，所以当且仅当2+6090，即15时，OMN的面积取最小值为km2（16分）