河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研数学（理）试题 WORD版含解析.doc

1、理科数学第卷一、选择题：1. 设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算得到化简结果，再由复数的几何意义得到所在象限，即可求得答案.【详解】在复平面内对应的点为第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的运算、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题先求出，再求出，最后求.【详解】解：， ， .故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.3. 的展开式第三项为（ ）A. 60B. C. D. 【答案】C【解析】

2、【分析】直接利用二项展开式的通项公式，求出的展开式第三项【详解】的通项为的展开式第三项，故选：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题4. 函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】因为，先判断函数的奇偶性，结合当时，函数值的为正，即可求得答案.【详解】，为奇函数，排除C，当时，排除B,D，故只有A符合题意故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题关键是掌握判断函数奇偶性方法和函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5. 设变量，满足约束条件则的最小值为（ ）A. 2B. C. 4D.

3、【答案】D【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，目标函数可看作是可行域内的点到距离的平方的最小值，即可求得答案.【详解】变量，满足约束条件画出可行域，可看作是可行域内的点到距离的平方的最小值根据图象可知，的最小值是到距离的平方.根据点到直线距离公式可得：到距离为故选：D.【点睛】本题考查线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中，求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解.6. 公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带

4、.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为（ ）A. 120B. 145C. 270D. 285【答案】B【解析】【分析】记第个五角形数为，由题意知：可得，根据累加法，即可求得答案.【详解】记第个五角形数为，由题意知：可得，由累加法得，.故选：B.【点睛】本题主要考查了根据累加法其数列通项公式，解题关键是掌握数列基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7. 若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】易得切点为原点,再根据导数几何意义求函数在的切线斜率,继而得出的关系求解离心率即可.【详解】由题可知,切点为原点.又

5、的导函数,故.故.故选：A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与构造齐次式求解双曲线离心率的问题.属于基础题.8. 已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，则当时，的最小值为（ ）A. 0B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断出的周期为6，从而判断出时最小值，即为时最小值，最后求出的最小值即可解题.【详解】解析：关于对称即， 是定义在上的奇函数，的周期为6，时最小值，即为时最小值，故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、周期性求函数在指定区间内的最值，是中档题.9. 设，为正数，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，化简，根据均值

6、不等式，即可求得答案；【详解】当时，当且仅当时，即取等号，.故选：D【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10. 已知点为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于两点，交准线于点.若，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】过做准线的垂线，垂足为轴与准线交点为，画出图象，根据，可得是线段的中点，故，即可求得答案.【详解】过做准线的垂线，垂足为轴与准线交点为，画出图象：可得是线段的中点故设，则，求得.故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握抛物线定义和向量的基础知识，考查了分析能力和计算

7、能力，属于中档题.11. 已知点，在函数的图象上，且.给出关于的如下命题：的最小正周期为10；：的对称轴为（）；：；：方程有3个实数根.其中真命题的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】先求，接着求最小正周期，从而求，再求出对称轴（）以及，最后判断有几个实数根即可解题.【详解】解析：，命题：因为，所以命题为假命题命题：令（），解得对称轴为，所以命题为真命题命题：因为，所以，所以命题为假命题命题：画出函数与函数的图象，如图.所以方程有3个实数根，所以命题为真命题故选：C.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，方程的根的个数的判断，是中档题.12. 已知三棱柱各棱长

8、均为2，平面，有一个过点且平行于平面的平面，则该三棱柱在平面内的正投影面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据投影面平移不影响正投影的形状和大小，以平面为投影面，构造四棱柱，画出投影图形，再计算正投影的面积即可.【详解】如图所示：因为投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以以平面为投影面，构造四棱柱，得到投影为五边形，所以正投影的面积为.故选：A【点睛】本题主要考查平行投影的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象的能力，属于中档题.第卷二、填空题：13. 已知是首项为1的等比数列，若，成等差数列，则_.【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，由于，成等差数列，可得

9、，由此即可求出，进而求出结果.【详解】设等比数列的公比为；，成等差数列， ，所以是以首项为1，公比为的等比数列；.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和等差中项的应用，属于基础题.14. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为1，则可输入的所有值组成的集合为_.【答案】【解析】【分析】先根据框图分类讨论，在时，得到，解得、；在时，得到，解得，最后写出所有值组成的集合即可.【详解】解：（1）当时，得，（2）当时，得，故答案为：.【点睛】本题考查对数的运算、程序框图，是基础题15. 若，三点满足，且对任意都有，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据对任意都有，得到点到所在直线的

10、距离最小值为2，设中点为，则，再由平面向量的加法和减法运算求解.【详解】如图所示：因为对任意都有，所以A，B，C三点不共线，设，过C作 ，所以所以点到所在直线距离最小值为2设中点为，则，当且仅当时等号成立.故答案为：-5【点睛】本题主要考查平面向量加法和减法及以及数量积的性质和运算，属于中档题.16. 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单.某外卖小哥每天来往于个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，其中），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取

11、单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单.设事件第次取单恰好是从1号店取单，是事件发生的概率，显然，则_，与的关系式为_（）【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由题意可知，表示第3次取单恰好是从1号店取单，可知，再利用条件概率计算公式，即可求出；由题意可知，再根据条件概率公式可得，由此即可求出结果【详解】因为第2次取单恰好是从1号店取单，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，所以，第3次取单恰好是从1号店取单，因此；由题意可知，.故答案为： ；【点睛】本题考查条件概率的求法，考查推理能力与计算能力，属于中档题三、

12、解答题：（一）必考题：17. 的内角，的对边分别是，.（1）求；（2）若，成等差数列，求的面积.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根据，利用余弦定理化简为，然后利用正弦定理由求解.（2）根据，等差数列得到，结合，由求解.【详解】（1）又又或（2），等差数列，由（1）知,【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理以及面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18. 如图，在四棱锥中，底面，点为的中点.平面交侧棱于点，四边形为平行四边形.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由四边形为平行

13、四边形，得，结合点为的中点，得，求解三角形可得，再由已知得到，由线面垂直的判定可得平面，从而得到平面平面；（2）以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，0，由二面角的余弦值为列式求得，求出与平面的一个法向量，可得与平面所成角的正弦值【详解】解：（1）证明：四边形为平行四边形.，又，又点为的中点在直角梯形中，可得连接，易得，又底面，平面，平面平面，平面平面；（2）由（1）知，在直角梯形中可得，又底面，以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设，平面，平面的法向量可取，设平面法向量为，由得，可取，与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维

14、能力，训练利用空间向量求解空间角，是中档题19. 中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量（单位：）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）.另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示.周降雨量（单位：）猕猴桃灾害等级轻灾正常轻灾重灾根据上述信息，解答如下问题.（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；（2）以收集数据的频率作为概率.估计该地区在今年发生重灾、轻

15、灾以及无灾害的概率；若无灾害影响，每亩果树获利6000元：若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元.为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元.方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元.方案3：不采取防控措施.问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.【答案】（1）中位数为12.5，众数为10；（2）估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和，无灾害概率为；选择方案一比较好；答案见解析.【解析】【分析】(1)根据茎叶图，可得中位数和众数；(2)根据图中的数据，求出该地区周降雨量的概率，由此能估计

16、该地在今年发生重、轻害的概率和无灾害概率；分别计算各方案中每亩获利的期望，进而比较出每亩净利润，可得结论【详解】（1）根据茎叶图，可得中位数为12.5，众数为10（2）根据图中的数据，可得该地区周降雨量（单位：）的概率：，（轻灾），（重灾）因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和，无灾害概率为方案1：设每亩的获利为（元），则的可能取值为600，则的分布列如下：6000则（元），则每亩净利润为（元）；方案2：设每亩的获利为（元），则的可能取值为6000元，于是，净利润为（元）；方案3：设每亩的获利为（元），则的可能取值为6000，则的分布列如下：6000则（元），于是每亩亏损为1400（元）

17、；由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好.【点睛】本题考查中位数、众数、概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法定理、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20. 已知椭圆：过点且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在三个不同的点，满足，求弦长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解即可得答案.（2）设直线过、两点，先考虑直线垂直于轴时，易得，再考虑直线不垂直于轴时，设：，根据题意与椭圆联立方程得，进而化简计算得，再根据在椭圆上得，再用弦长公式得：，最后结合即可求得弦长的范围.【详解】解：（1

18、）由题意知，又因为，解得，.则椭圆标准方程为.（2）因为，所以由向量加法的意义知四边形为平行四边形.设直线过、两点，若直线垂直于轴，易得：，或者，此时.若直线不垂直于轴，设：，将直线代入的方程得故，因为，所以，则，即.因为在椭圆上，有，化简得.验证，.所以，所以.因为，则.即，得.综上可得，弦长的取值范围为.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆相交的弦的最值问题，考查数学运算能力，是中档题.21. 已知函数.（1）当时，判断的单调性；（2）求证：.【答案】（1）递增区间为；递减区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）把代入解析式对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；

19、（2）原不等式转化为证明，结合不等式的特点构造函数，结合函数性质及导数可证【详解】解：（1）当时，令，则在上为减函数，且所以，当时，单调递增；当时，单调递减.故递增区间为；递减区间为（2），只需证即易证成立.记，则令，得并且，当时，单调递增；当时，单调递减所以，即，命题得证【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，证明不等式，函数与导数的综合应用，属于难题（二）选考题：选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，点是曲线：（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标

20、系中，点的坐标为，射线与曲线分别交于两点，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因为曲线：，可得的直角坐标方程为，根据极坐标与直角坐标的互化公式:，结合已知，即可求得答案.（2）由题意知点到射线的距离为，由（1）知的极坐标方程为，即可求得答案.【详解】（1）曲线：的直角坐标方程为，其极坐标方程为设点的极坐标为，则对应的点的极坐标为又点在上，将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线即的极坐标方程为 （2）由题意知点到射线的距离为，由（1）知的极坐标方程为， 【点睛】本题解题关键是掌握极坐标与直角坐标的互化公式和极坐标的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数（1）当时，求的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，分别讨论，和时，即可求得答案；（2）由（1）可知当时，在内恒成立；讨论和时，在上是否恒成立，即可求得答案.【详解】（1）当时，当时，此时的解集为；当时，此时的解集为；当时，此时的解集为综上所述的解集为：（2）由（1）可知当时，在内恒成立；当时，在内恒成立；当时，在内，不满足在上恒成立条件综上所述【点睛】本题主要考查了求解绝对值不等式和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握不等式基础知识和讨论法解不等式步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.