2020-2021学年北师大版数学必修5课后习题：模块综合测评 WORD版含解析.docx

1、模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.14解析:因为S3=3a1+3(3-1)2d=32+322d=12,所以d=2.所以a6=a1+(6-1)d=2+52=12.故选C.答案:C2.在ABC中,若B=135,C=15,a=5,则此三角形的最大边长为()A.52B.53C.25D.35解析:依题意,知三角形的最大边为b.由于A=30,根据正弦定理,得bsinB=asinA,所以b=asinBsinA=5sin135sin30=52.答案

2、:A3.在ABC中,若AB=5,AC=5,且cos C=910,则BC为()A.4B.5C.4或5D.3解析:设BC=x,由余弦定理得,5=x2+25-25x910,即x2-9x+20=0,解得x=4或x=5.答案:C4.已知数列an满足an+1-an=2n(nN+),a1=3,则ann的最小值为()A.0B.23-1C.52D.3解析:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+21+3=n2-n+3,所以ann=n-1+3n52,当且仅当n=2时取等号.故选C.答案:C5.若在ABC中,sin Bsin C=cos2A2,则ABC的形

3、状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形解析:由sinBsinC=cos2A2可得2sinBsinC=2cos2A2=1+cosA,即2sinBsinC=1-cos(B+C)=1-cosBcosC+sinBsinC,所以sinBsinC+cosBcosC=1,即cos(B-C)=1,又-B-C.所以B-C=0,即B=C.答案:C6.设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=()A.8B.7C.6D.5解析:因为Sk+2-Sk=24,所以ak+1+ak+2=24,所以a1+kd+a1+(k+1)d=24,所以2a1+(2k+1

4、)d=24.又因为a1=1,d=2,所以k=5.答案:D7.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于()A.3B.2C.1D.-2解析:因为y=x2-2x+3的顶点为(1,2),所以b=1,c=2.又因为a,b,c,d成等比数列,所以a=12,d=4,所以ad=2.答案:B8.(2017天津高考)设变量x,y满足约束条件2x+y0,x+2y-20,x0,y3,则目标函数z=x+y的最大值为()A.23B.1C.32D.3解析:由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+y可化为y=-x+z.作直线l0:y=-x,平行移动直线y=-x,当直线

5、过点A(0,3)时,z取得最大值,最大值为3.故选D.答案:D9.若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+30,所以原不等式2x2+2mx+m0,xR恒成立=(6-2m)2-8(3-m)0,解得1m0,y+10,(x+2)+(y+1)=4,则4x+2+1y+1=14(x+2)+(y+1)4x+2+1y+1=145+4(y+1)x+2+x+2y+1145+24(y+1)x+2x+2y+1=94,当且仅当x=23,y=13时,4x+2+1y+1取最小值94.故选C.答案:C11.已知a0,x,y满足约束条件x1,x+y3,ya(x-3).若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.14B.12C.1

6、D.2解析:由题意作出x1,x+y3所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=12,所以a=12.答案:B12.导学号33194083已知数列an中,a1=1,a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+2k(kN+),则an的前60项的和S60=()A.231-154B.231-124C.232-94D.232-124解析:由题意,得a2=a1-1=0,a4=a3+1,a6=a5-1,a60=a59+1,所以S奇=S偶.又a2k-1=a2k-2+2k-1(k2)

7、,代入a2k=a2k-1+(-1)k,得a2k=a2k-2+2k-1+(-1)k(k2),所以a2=0,a4=a2+21+(-1)2,a6=a4+22+(-1)3,a8=a6+23+(-1)4,a2k=a2k-2+2k-1+(-1)k,所以a2k=2+22+2k-1+(-1)2+(-1)3+(-1)k=2k-2+1-(-1)k-12=2k-3+(-1)k-12,所以S偶=(2+22+23+229+230)-3230=2(1-230)1-2-45=231-47,所以S60=2(231-47)=232-94.故选C.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=

8、x-1x,x2,x,x2,若使不等式f(x)83成立,则x的取值范围为.解析:当x2时,由x-1x83化简得,3x2-8x-30,解得-13x3,所以2x3.当x2时,x83,所以x2.所以x3.答案:x|x0,且a1)的图像恒过定点A(m,n),则不等式组mx+ny+20,8x-y-40,x0,y0所表示的平面区域的面积是.解析:函数f(x)=ax-2-2(a0,且a1)的图像恒过定点A(2,-1),即m=2,n=-1,则原不等式组可表示为2x-y+20,8x-y-40,x0,y0,作出可行域如图中阴影部分所示.由图可以看出四边形DBOC落在以1为宽,4为长的矩形内,则四边形DBOC的面积为

9、4-122-4122=2.答案:216.设an为公比q1的等比数列,若a2 013和a2 014是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2 015+a2 016=.解析:因为a2013和a2014是方程4x2-8x+3=0的两根,而方程的两个根是x1=12,x2=32,又an的公比q1,所以a2013=12,a2014=32,所以q=3.所以a2015+a2016=a2013q2+a2014q2=(a2013+a2014)q2=12+3232=18.答案:18三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数

10、列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解(1)因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.由正弦定理得,sinA+sinC=2sinB.因为sinB=sin-(A+C)=sin(A+C),所以sinA+sinC=2sin(A+C).(2)因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.由余弦定理得,cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac2ac-ac2ac=12,当且仅当a=c时,等号成立.所以cosB的最小值为12.18.(本小题满分12分)已知关于x的不等式x+2m1+x-5m2.(1)当m0时,解这个不等式;(

11、2)若此不等式的解集为x|x5,试求实数m的值.解(1)原不等式可化为m(x+2)m2+x-5,(m-1)xm2-2m-5,若0m1,不等式的解集为xx1,则不等式的解集为xxm2-2m-5m-1.(2)由题意和(1)知,m1,且满足xxm2-2m-5m-1=x|x5,于是m2-2m-5m-1=5,解得m=7.19.(本小题满分12分)(2016浙江高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.(1)证明由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+

12、sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-BAD)的周长为24,把它沿着AC折起来,AB折过去后,交DC于P,设AB=x.(1)如何用x来表示DP?(2)如何用x来表示ADP的面积?(3)能否根据ADP的面积表达式的特征来求此面积的最大值?解(1)因为AB=x,所以AD=12-x.又DP=PB,在ADP中,AP=AB-PB=AB-DP=x-DP,由勾股定理得(12-x)2+DP2=(x-DP)2,解得DP=12-72x.(2)ADP的面积S=12ADDP=12(12-x)12-72x=108-6x+432x.(3)

13、能.因为x0,12-x0,x12-x,即6xk)总成立,则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列an是“P(3)数列”;(2)若数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:an是等差数列.证明(1)因为an是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差数列an是“P(3)数列”.(2)数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,当n4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).将代入,得an-1+an+1=2an,其中n4,所以a3,a4,a5,是等差数列,设其公差为d.在中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d,在中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d,所以数列an是等差数列.