2020-2021学年新教材高考数学 第一章 空间向量与立体几何 1.docx

1、空间向量的数量积运算【学习目标】课程标准学科素养1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点）3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度（重点、难点）1、逻辑推理2、数学运算3、数学抽象【自主学习】1. 空间向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的，记作(2)a，b为非零向量，a，bb，a，a与b的夹角的范围是，其中当a，b0时，a与b；当a，b时，a与b；当a，b时，a与b反之，若ab，则a，b；若ab，则a，b。2. 空间向量数量积（1）概念：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作a

2、b，即ab|a|b|cosa，b（2）投影向量：向量a向向量b投影，得到c=|a|b|cosa，b=,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。（3）性质ab，|a|2，|a|，cosa，b（4）运算律(ab)，ab(交换律)a(bc)(分配律)特别提醒：不满足结合律(ab)ca(bc)【小试牛刀】1. 判断正错(1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则ab|a|b|.()(2)对于向量a，b，c，有(ab)ca(bc)()(3)对任意向量a，b，满足|ab|a|b|.()(4)对于非零向量b，由abbc，可得ac.()2对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是 ()A若ab0，则a0或b

3、0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc【经典例题】题型一数量积的计算注意：(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)；(2)；(3)；(4).跟踪训练 1 已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)；(2)()()；(3)|.题型二用数量积证明垂直问题注意：（1）证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积

4、是否为0来判断两直线是否垂直(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.例2 如图所示，已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60.求证：BD平面ADC.跟踪训练 2已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，那么AD与BC的位置关系为_(填“平行”或“垂直”)题型三用数量积求角度注意：求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cosa，b，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题例

5、3如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_跟踪训练 3已知点O是正ABC平面外的一点，若OAOBOCAB1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值题型四用数量积求长度注意:求解长度问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可例4 如图，已知ABCD中，AD4，CD3，D60，PA平面ABCD，并且PA6，则PC的长为_跟踪训练 4 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，

6、BAA1DAA160，求AC1的长【当堂达标】1在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45的是()A与B与C与D与2已知|a|2，|b|3，a，b60，则|2a3b|等于()AB97CD613.已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_4.已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_5已知|a|3，|b|4，mab，nab，a，b135，mn，则_6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角。7.在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA8，AB6，

7、AC4，BC5，OAC45，OAB60，求向量与所成角的余弦值8如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长【参考答案】【自主学习】1.（1）夹角a，b（2）0，方向相同方向相反互相垂直0或.2. （1）|a|b|cosa，b（2）（3）ab0aa（4）(a)bbaabac【小试牛刀】1.2B【解析】对于A，可举反例：当ab时，ab0；对于C，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab；对于D，abac可以移项整理推得a(bc)【经典例题】例1 解(1)|cos，cos 60.(2)|2.(3)|cos，c

8、os 120.(4)()|cos，|cos，cos 60cos 600.跟踪训练 1 (1)|cosAOB11cos60；(2)()()()()()(2)1211cos60211cos6011cos6012211cos601；(3)|.例2 【证明】不妨设ADBDCD1，则ABAC.()，由于()1，|cos 601.0，即BDAC，又已知BDAD，ADACA，BD平面ADC.跟踪训练2解析()()2()0，AD与BC垂直例3 90【解析】不妨设棱长为2，则，cos，0，跟踪训练 3设a，b，c，则abbcca，|a|b|c|1，(ab)，cb，(ab)(cb)(acbcab|b|2)(1)，

9、cos，异面直线OE与BF所成角的余弦值为.例4 7【解析】，|2()2|2|2|22226242322|cos 120611249PC7跟踪训练 4 解因为，所以()2222()因为BAD90，BAA1DAA160，所以1492(13cos 6023cos 60)23.因为|2，所以|223，则|，即AC1.【当堂达标】1. A【解析】A，B，C，D四个选项中各对向量的夹角依次是45，135，90，1802.C解析|2a3b|24a212ab9b24221223cos 6093261，|2a3b|.3【解析】将|ab|化为(ab)27，求得ab，再由ab|a|b|cosa，b求得cosa，b

10、.413【解析】abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbcca13.5【解析】由mn，得(ab)(ab)0，a2(1)abb20，18(1)34cos 135160，即460，.6.解以点D为原点，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立坐标系Dxyz设正方体的棱长为2，则(2，1,2)， (0,2,1)，0，故异面直线A1M与ND所成角为907.解，|cos，|cos，84cos 13586cos 1202416，cos，.6. (1)证明，.BB1平面ABC，0，0.又ABC为正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)解结合(1)知|cos，221.又|.cos，|2，即侧棱长为2.