2020新教材高中数学第十一章立体几何初步11.4.1直线与平面垂直练习新人教B版必修第四册202004280514.docx

1、11.4.1直线与平面垂直课后篇巩固提升基础巩固1.如图所示,PA平面ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数为()A.4B.3C.2D.1解析因为PA平面ABCBC平面ABCPABCACBCPAAC=ABC平面PACBCPC,所以直角三角形有PAB,PAC,ABC,PBC.故选A.答案A2.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是()A.5B.25C.35D.45解析由题PB=PC=82+52=89,则P到BC的距离d=PB2-12BC2,即pd=89-9=45.答案D3.下列命题中,正确的有()如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这

2、个平面垂直.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.A.2个B.3个C.4个D.5个解析正确,中当这两条直线平行时,可能直线平行平面或在平面内.答案C4.一条直线和平面所成角为,那么的取值范围是()A.(0,90)B.0,90C.(0,90D.0,180解析由线面角的定义知B正确.答案B5.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是()A.1B.2C.3D.6解析仅有平面ABCD和平面A1B1C1D

3、1与直线AA1垂直.答案B6.直线a与平面所成的角为50,直线ba,则直线b与平面所成的角等于()A.40B.50C.90D.150解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与所成的角也是50.答案B7.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是()A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60解析BDB1D1,A正确;ACBD,BDCC1,BD面ACC1,得BDAC1,知B正确;由AC1BD,AC1B1D1.又B1CBC1,B1CAB,得B1C平面ABC,B1CAC1,得AC平面CB1D1,故C正确;D中显然

4、异面直线AD与CB1所成的角为45.故选ABC.答案ABC8.空间四边形ABCD的四条边相等,则对角线AC与BD的位置关系为.解析取AC中点E,连BE,DE.由AB=BC,得ACBE.同理ACDE,所以AC面BED.因此,ACBD.答案垂直9.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PCBD,则平行四边形ABCD一定是.解析由于PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又PCBD,且PC平面PAC,PA平面PAC,PCPA=P,所以BD平面PAC.又AC平面PAC,所以BDAC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.答案菱形10.如图所示,M,N分别是正方体AB

5、CD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中点.(1)则MN与CD1所成的角为.(2)则MN与AD所成的角为.解析(1)由图易知MNAD1,ACD1构成正三角形.AD1与CD1成60角,MN与CD1成60角.(2)AD1与AD成45角,而MNAD1,MN与AD成45角.答案(1)60(2)4511.线段AB在平面的同侧,A,B到的距离分别为3和5,则AB的中点到的距离为.解析如图,设AB的中点为M,分别过A,M,B向作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直的性质可知,AA1MM1BB1,四边形AA1B1B为直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,MM1=4.答案412.如图

6、,在三棱锥A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BECD,点E为垂足,作AHBE于点H.求证:AH平面BCD.证明取AB的中点F,连接CF,DF.CA=CB,DA=DB,CFAB,DFAB.CFDF=F,AB平面CDF.CD平面CDF,ABCD.又CDBE,ABBE=B,CD平面ABE.AH平面ABE,CDAH.AHBE,BECD=E,AH平面BCD.能力提升1.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABCDEF,则下列结论不正确的是()A.CD平面PAFB.DF平面PAFC.CF平面PABD.CF平面PAD解析由CDAF得CD平面PAF,A正确;由DFAF,DFPA

7、得B正确;由CFAB得C正确;CF与AD不垂直,CF与平面PAD不垂直,得D不正确.答案D2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是()A.ACBEB.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.AEF的面积与BEF的面积相等解析由AC平面DBB1D1,BE平面DBB1D1知A正确;由EF平面A1B1C1D1且平面A1B1C1D1平面ABCD知B正确;由BEF面积S=12112=14.VA-BEF=132214=224知C正确,D中两三角形以EF为底边,高不等,则面积不等,故D错误.答案D3.将图(1)中

8、的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD如图(2),则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直解析在图(1)中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则ADBC,翻折后如图(2),AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD,CD,这两条线段均与AD垂直,即ADBD,ADCD,故AD平面BCD,所以ADBC,选C.答案C4.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,A1A,A1B1的中点,下列命題中正确的是()A.EFB1CB.BC1平面E

9、FGC.A1C平面EPGD.异面直线FG,B1C所成角的大小为4解析如图,连接AD1,则EFAD1BC1,而BC1B1C,则EFB1C,故A正确;BC1EF,EF平面EFG,BC1平面EFG,BC1平面EFG,故B正确;A1CEF,A1CEG,EFEG=E,A1C平面EFG,故C正确;FGAB1,AB1C为异面直线FG,B1C所成角,连接AC,可得AB1C为等边三角形,则AB1C=3,即异面直线FG,B1C所成角的大小为3,故D错误.故选ABC.答案ABC5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A.

10、30B.45C.60D.90解析如图,取BC的中点E,连接AE,则AE平面BCC1B1.故ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为a,则AE=32a,DE=12a.tanADE=3.ADE=60.答案C6.如图,三条相交于点P的线段PA,PB,PC两两垂直,点P在平面ABC外,PH平面ABC于点H,则垂足H是ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心解析PCPA,PCPB,PAPB=P,PC平面PAB.又AB平面PAB,ABPC.又ABPH,PHPC=P,AB平面PCH.又CH平面PCH,ABCH.同理BCAH,ACBH.H为ABC的垂心.答案C7.如图,正方体ABCD-A1B

11、1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成的角为90的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有条.解析与AD1异面的面对角线分别为A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角为90.答案18.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内,若AC与所成的角为30,则斜边上的中线CM与所成的角为.解析如图,设C在平面内的射影为O点,连结AO,MO,则CAO=30,CMO就是CM与所成的角.设AC=BC=1,则AB=2,CM=22,CO=12.sinCMO=COCM=22,CMO=45.答案459.ABC的三个顶点A,B,C到平面的距离分别为2 cm,3 cm,4 cm,

12、且它们在的同侧,则ABC的重心到平面的距离为.解析如图,设A,B,C在平面上的射影分别为A,B,C,ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于中点E,又设E,G在平面上的射影分别为E,G,则EAB,GCE,EE=12(AA+BB)=52,CC=4,CGGE=21,在直角梯形EECC中,取GC,GC中点H,H,设GG=x1,HH=x2,则x1=x2+522,x2=x1+42,则x1=3,即可求得GG=3.答案3 cm10.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=13,ABC=90,AB=8,BC=6,M为AC的中点.(1)求证:PM平面ABC;(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值.(

13、1)证明PA=PC,M为AC的中点,PMAC.又ABC=90,AB=8,BC=6,AM=MC=MB=12AC=5.在PMB中,PB=13,MB=5.PM=PC2-MC2=132-52=12.PB2=MB2+PM2,PMMB.由可知PM平面ABC.(2)解PM平面ABC,MB为BP在平面ABC内的射影,PBM为BP与底面ABC所成的角.在RtPMB中tanPBM=PMMB=125.11.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,ABC=120.G为线段PC上的点.(1)证明:BD平面APC;(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成角的正切值;

14、(3)若G满足PC平面BGD,求PGGC的值.(1)证明设点O为AC,BD的交点.由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.所以O为AC的中点,BDAC.又因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又PAAC=A,所以BD平面APC.(2)解连接OG.由(1)可知OD平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以OGD是DG与平面PAC所成的角.由题意得OG=12PA=32.在ABC中,因为AB=BC,ABC=120,AO=CO,所以ABO=12ABC=60,所以AO=OC=ABsin60=3.在RtOCD中,OD=CD2-OC2=2.在RtOGD中,tanOGD=ODOG=433.所以DG与平面APC所成角的正切值为433.(3)解因为PC平面BGD,OG平面BGD,所以PCOG.在RtPAC中,PC=(3)2+(23)2=15.所以GC=ACOCPC=2155.从而PG=3155,所以PGGC=32.