2011届高考理科数学大纲版专题1：集合、函数、导数、不等式.ppt

1、第1讲 集合与简易逻辑 第2讲 函数的图象与性质 第3讲 基本初等函数 第4讲 不等式及其应用 第5讲 函数的极限与导数的基本应用 第6讲 函数、导数、不等式的综合应用专题 1 集合、函数、导数、不等式 专题 1 集合、函数、导数、不等式 知识网络构建 专题 1 知识网络构建 考情分析预测 专题 1 考情分析预测 专题 1 考情分析预测 专题 1 考情分析预测 专题 1 考情分析预测 专题 1 考情分析预测 专题 1 考情分析预测 集合与简易逻辑是数学的基础与工具性内容，函数是高中数学最重要的内容，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，导数是研究函数性质的重要工具，函数的单调性是函数

2、最重要的性质之一，它与不等式联系非常密切 通过近2年的高考试题分析，单独考查集合知识的考题通常放在选择题的第1或2题，主要考查集合的子集及交、并、补运算；函数的图象及其性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)是高考考查的主要内容，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰对于融函数、导数、不等式等知识于一体的综合题，这类题难度很大，综合性强，内容新、背景新、方法新，是高考命题的丰富宝藏；解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想 专题 1 考情分析预测 预计2011年高考对该部分的考查从难度和比例上将保持相对稳定，一是以选择题、填空题的形式考查函数的概念及其性质，导数的概

3、念、几何意义，导数的运算等，一般为容易题或中档题；二是解答题以函数为背景，以导数为工具，考查运用导数研究函数的单调性、极值或最值问题，在函数、不等式、数列等知识网络交汇点命题第讲 集合与简易逻辑 第1讲 集合与简易逻辑 主干知识整合 第讲 主干知识整合 1集合与简易逻辑第讲 主干知识整合 第讲 主干知识整合 (1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据 (2)在集合间的运算中要注意空集的情形 (3)要特别注意用描述法表示集合时先弄清楚集合的元素是什么，再进行集合间关系的判断及运算 (4)在命题关系中注意：否命题是同时否定命题的条件和

4、结论，而命题的否定仅是否定命题的结论 第讲 主干知识整合 2充分、必要条件 设集合 Ax|x 满足条件 p，Bx|x 满足条件 q，则有 第讲 主干知识整合 3常用公式及结论(1)设有限集合 A，card(A)n(nN*)，则 A 的子集个数是2n，A 的真子集个数是 2n1，A 的非空子集个数是 2n1，A 的非空真子集个数是 2n2.(2)ABAAB；ABBAB.(UA)(UB)U(AB)；(UA)(UB)U(AB)设有限集合 A、B、C，则 card(AB)card(A)card(B)card(AB)要点热点探究 第讲 要点热点探究 探究点一 集合的关系与运算例 1 设全集为 R，集合

5、Mx|y2x1，Ny|yx2，则()AMNBNMCMNDMN(1，1)第讲 要点热点探究 B【解析】本题的两个集合是数集而非点集，从代表元素入手，认识集合的意义，M 为一次函数的定义域，N 为二次函数的值域，化简判断，MR，N(，0NM，选 B.【点评】本题由学生比较容易出错的集合本质属性的认识入手，考查两个数集之间关系的判断，弄清每个集合的代表元素是求解的关键，常常要区分清点集和数集的代表元素，定义域和值域的代表元素，本题借助集合工具分别表示函数的定义域和值域的数集，这是历年高考题命制的热点，体现高考试题源于教材又高于教材的命题原则，应引起我们高度的重视 第讲 要点热点探究 2010湖北卷

6、设集合 A(x，y)|x24 y2161，B(x，y)|y3x，则 AB 的子集的个数是()A4 B3C2 D1 A【解析】画出椭圆x24 y2161 和指数函数 y3x的图象，可知其有两个不同交点，故 AB 包含 2 个元素，其子集个数应为 224.故选 A.要点热点探究 第讲 要点热点探究 探究点二 命题及命题真假的判定例 2 2010天津卷 命题“若 f(x)是奇函数，则 f(x)是奇函数”的否命题是()A若 f(x)是偶函数，则 f(x)是偶函数B若 f(x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数C若 f(x)是奇函数，则 f(x)是奇函数D若 f(x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数第

7、讲 要点热点探究 B【解析】否命题是同时否定命题的条件和结论，由否命题的定义可知 B 项是正确的【点评】本题主要考查否命题的概念，解题时要注意否命题与命题的否定的区别复合命题的真假判断要注意利用真值表 第讲 要点热点探究 下列 4 个命题中：(1)存在 x(0，)，使不等式 2x3x 成立；(2)不存在 x(0,1)，使不等式 log2xlog3x 成立；(3)任意的 x(0，)，使不等式 log2x2x 成立；(4)任意的 x(0，)，使不等式 log2x1x成立真命题是()A(1)(3)B(1)(4)C(2)(3)D(2)(4)A【解析】分别作出各函数的图象，观察图象可知选A.要点热点探究

8、 第讲 要点热点探究 探究点三 充要条件及判定例 3已知 p：Ax|xa|0，且p 是q 的充分条件，则 a 的取值范围为_1a6【解析】解法 1(集合思想)：A(a4，a4)，B(2,3)，RARB，a42 且 a43，1a6.解法 2(用等价命题构建不等式组求解)：p 是q 的充分条件，等价命题为 q 是 p 的充分条件，即 B是 A 的子集A(a4，a4)，B(2,3)，由 B 是 A 的子集知 a42 且 a43，故1a6.第讲 要点热点探究 【点评】解决充分条件和必要条件这类题关键是要分清条件和结论，然后判断是由条件推结论，还是由结论推条件，从而得出条件和结论的关系解法2就是利用原命

9、题与逆否命题的等价性进行转化 第讲 要点热点探究 2010浙江卷 设 0 x2，则“xsin2x 1”是“xsinx1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件 B【解析】因为 0 x2，所以 sinx1，故 xsin2xxsinx，由“xsinx1”可得“xsin2x1”；显然由 xsin2x1 仅得 xsinx 1sinx，不一定有 xsinx1，故选 B.要点热点探究 第讲 要点热点探究 探究点四 与集合有关的创新题例 4 2010四川卷 设 S 为复数集 C 的非空子集若对任意 x，yS，都有 xy，xy，xyS，则称 S 为封闭集下列命题：集合

10、Sabi|(a，b 为整数，i 为虚数单位)为封闭集；若 S 为封闭集，则一定有 0S；封闭集一定是无限集；若 S 为封闭集，则满足 STC 的任意集合 T 也是封闭集其中真命题是_.(写出所有真命题的序号)第讲 要点热点探究 【解析】直接验证可知正确；当 S 为封闭集时，因为 xyS，取 xy，得 0S，正确；对于集合 S0，显然满足条件，但 S 是有限集，错误；取 S0，T0,1，满足 STC，但由于 011T，故 T 不是封闭集，错误【点评】要判断给定的集合是否是新定义的集合或给定元素是否属于某集合，我们就需要按定义一一验证或举出反例 第讲 要点热点探究 2010浙江卷设函数的集合Pfx

11、log2xaba12，0，12，1；b1，0，1，平面上点的集合 Q(x，y)|x12，0，12，1；y1,0,1，则在同一直角坐标系中，P 中函数 f(x)的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是()A4 B6C8 D10B【解析】当 a0，b0；a0，b1；a12，b0；a12，b1；a1，b1；a1，b1 时满足题意，故答案选 B.教师备选习题 第讲 教师备选习题(备选理由：1.为易错题，其中 xZ 易忽视；2.是含字母的运算，需要重点掌握；3.为新定义问题，是近几年高考的常见问题，需充分结合推理归纳，理解题意后解答)1集合 PxZ|0 x3，MxZ|x29，则 PM()A0,3)B0

12、,1,2C1,2,3 D0,1,2,3【解析】B 注意 xZ，因此集合 P0,1,2，M3，2，1,0,1,2,3，则 PM0,1,2，选 B.第讲 教师备选习题 22010天津卷设集合 Ax|xa|2，xR若 AB，则实数 a，b 必满足()A|ab|3 B|ab|3C|ab|3 D|ab|3【解析】D Ax|a1xa1，Bx|xb2，因为 AB，所以 a1b2 或 a1b2，即ab3 或 ab3，即|ab|3.第讲 教师备选习题 32010湖北卷 记实数 x1，x2，xn，中的最大数为maxx1，x2，xn，最小数为 minx1，x2，xn已知ABC 的三边边长为 a、b、c(abc)，定

13、义它的倾斜度为lmaxab，bc，ca minab，bc，ca，则“l1”是“ABC 为等边三角形”的()A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件第讲 教师备选习题【解析】B 若ABC 为等边三角形，即 abc，则maxab，bc，ca 1minab，bc，ca，则 l1；若ABC 为等腰三角形，如 a2，b2，c3 时，则 maxab，bc，ca32，minab，bc，ca 23，此时 l1，仍成立，但ABC 不为等边三角形，所以 B 正确规律技巧提炼 第讲 规律技巧提炼 1解答集合有关问题，理解集合的意义是关键，其次注意集合中元素的互异性，空集是任何集合的

14、子集等问题，此外还要注意转化和化归，分类与整合，数形结合等数学思想的运用2命题真假的判断，先应分清所给命题是简单命题还是复合命题，若是复合命题则依据复合命题真值表来判定3充分、必要、充要、非充分非必要条件的判定必须坚持“双向”考查的原则，也可以转化为判断与原命题等价的逆否命题的真假第讲 函数的图象与性质 第2讲 函数的图象与性质 主干知识整合 第2讲 主干知识整合 1三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换(1)平移及伸缩变换平移变换口诀：“自变量加(减)左(右)移，函数值加(减)上(下)移”；伸缩变换参照三角函数 yAsin(x)注意：每一次变换都是对 x 而言，即每一次变换要把 x 的系

15、数提在括号外面第2讲 主干知识整合(2)对称变换特别注意以下两类图象变换：函数 yf(|x|)的图象可以通过作函数 yf(x)在y轴右方的图象及其与 y 轴对称的图形而得到函数 y|f(x)|的图象可以通过作函数 yf(x)的图象，然后把在 x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，其余部分保持不变而得到第2讲 主干知识整合 2函数的周期性的定义及常用结论一般地，对于函数 f(x)，如果对于定义域中的任意一个 x 的值若 f(xT)f(x)(T0)，则 f(x)是周期函数，T 是它的一个周期；若 f(xa)f(xb)(ab)，则 f(x)是周期函数，|ba|是它的一个周期；若 f(

16、xa)f(x)(a0)，则 f(x)是周期函数，2a 是它的一个周期；若 f(xa)1fx(a0 且 f(x)0)，则 f(x)是周期函数，2a 是它的一个周期；若 f(xa)1fx1fx(a0 且 f(x)1)，则 f(x)是周期函数，4a 是它的一个周期第2讲 主干知识整合 3有关对称性的几个重要结论一般地，对于函数 f(x)，如果对于定义域内的任意一个 x的值若 f(xa)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于直线 xab2 对称特别地，若 f(ax)f(ax)，则函数 f(x)的图象关于直线 xa 对称；若 f(ax)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于点ab2，0 中心对称特别地，

17、若 f(ax)f(ax)，则函数 f(x)的图象关于点(a,0)中心对称第2讲 主干知识整合 4对称性与周期性之间的关系周期性与对称性是相互联系、紧密相关的一般地，若 f(x)的图象有两条对称轴 xa 和 xb(ab)，则 f(x)必为周期函数，且 2|ba|是它的一个周期；若 f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(ab)，则 f(x)必为周期函数，且 2|ba|为它的一个周期；若 f(x)的图象有一条对称轴 xa 和一个对称中心(b,0)(ab)，则f(x)为周期函数，且 4|ba|是它的一个周期要点热点探究 第2讲 要点热点探究 探究点一 函数的概念及反函数有关问题例 1 已

18、知函数 f(x)cosx，x0 且 a1)，f1(x)是 f(x)的反函数，若 yf1(x)的图象过点(3,4)，则 a 等于()A2 B.2C.3D3 3A【解析】由 yf1(x)的图象过点(3,4)得 yf(x)的图象过点(4,3)，即 1loga43，则 a2.【点评】此类型的题需注意不要通过求反函数解析式再求函数值，而是要充分利用原函数与反函数的关系来解决 要点热点探究 第2讲 要点热点探究 探究点二 函数的图象及其应用例 2 2010山东卷 函数 y2xx2 的图象大致是()第2讲 要点热点探究【点评】由解析式判断函数图象一般应研究它的性质，比如定义域、值域、奇偶性、单调性等，然后再

19、选图象，或由变换法选图，也可以通过验证特征点(图象和坐标轴的交点、极值点等)来判断图象 A【解析】因为当 x2 或 4 时，2xx20，所以排除 B、C；当 x2 时，2xx21440，a1)在 R 上既是奇函数，又是减函数，则 g(x)loga(xk)的图象是()第2讲 要点热点探究 A【解析】奇函数，所以 f(0)0k2，又 f(x)axax 为减函数，所以 0a2，且递减，选 A.【点评】若一个函数是奇函数，且在 x0 处有定义，则一定有f(0)0，对于偶函数问题，应用好关系式 f(x)f(|x|)可以回避讨论要点热点探究 第2讲 要点热点探究 探究点三 函数的图象及其应用例 3 201

20、0江西卷 给出下列三个命题：函数 y12ln1cosx1cosx与 ylntanx2是同一函数；若函数 yf(x)与 yg(x)的图象关于直线 yx 对称，则函数 yf(2x)与 y12g(x)的图象也关于直线 yx 对称；若奇函数 f(x)对定义域内任意 x 都有 f(x)f(2x)，则 f(x)为周期函数其中真命题是()AB CD第2讲 要点热点探究【点评】是否是同一函数我们需从定义域、对应关系两方面考虑；注意对应关系是否相同不能只看表面，而应看本质，即通过化简来看，特别是三角函数式；有时它的实质就是考查三角函数的化简问题当然问题的研究是难点C【解析】考虑定义域不同，错误；排除 A、B，验

21、证，因为函数 yf(x)与 yg(x)的图象关于直线 yx 对称，则 yf(x)与 yg(x)互为反函数；若点(2x，y)在 yf(x)的图象上，则点(y,2x)在 yg(x)的图象上，即 2xg(y)，x12g(y)，所以 yf(2x)与 y12g(x)的图象也关于直线 yx 对称验证，f(x)f2(x)f(2x)，又通过奇函数得 f(x)f(x)，所以 f(x)是周期为 4 的周期函数，选择 C.第2讲 要点热点探究 函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x1)与 f(x1)都是奇函数，则()Af(x)是偶函数Bf(x)是奇函数Cf(x)f(x2)Df(x3)是奇函数D【解析】由题意得 f

22、(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，f(1x)f(1x)0，f(1x)f(1x)0，f(x)关于点(1,0)和(1,0)中心对称故 f(x)的一个周期为 4，则 f(x)f(x4)，所以 f(x3)f(x1)f(x1)f(x3)，则 f(x3)是奇函数要点热点探究 第2讲 要点热点探究 探究点四 函数的综合问题例 4 已知 f(x)x2bx2，xR.(1)若函数 F(x)ff(x)与 f(x)在 xR 时有相同的值域，求 b的取值范围；(2)若方程 f(x)|x21|2 在(0,2)上有两个不同的根 x1、x2，求 b 的取值范围，并证明 1x1 1x24.第2讲 要点热点探究【解答】(

23、1)当 xR 时，f(x)x2bx2 的图象是开口向上，对称轴为直线 xb2的抛物线，f(x)的值域为8b24，F(x)ff(x)的值域也为8b24，的充要条件是8b24b2，即 b22b80，b2 或 b4，即 b 的取值范围为(，24，)第2讲 要点热点探究(2)f(x)|x21|2，即x2bx|x21|0，由分析知b0.不妨设0 x1x21，因为H(x)在(0,1上是单调函数，所以H(x)0在(0,1上至多有一个解若x1，x2(1,2)，即x1、x2都是2x2bx10的解，x1x2120，与题设矛盾因此，x1(0,1，x2(1,2)由H(x1)0得b 1x1，所以b1；第2讲 要点热点探

24、究【点评】复合函数的问题是一个难点，第(1)问我们知道写出 F(x)的解析式是不现实的，考虑变量替换令 tf(x)；第(2)问的分类讨论的意识要加强.由 H(x2)0 得 b 1x22x2，所以72b1.故当72b1 时，方程 f(x)|x21|2 在(0,2)上有两个解由 b 1x1和 b 1x22x2 消去 b，得 1x1 1x22x2.由 x2(1,2)，得 1x1 1x20，0)的两根 x1，x2(x1x2)就是二次函数 f(x)ax2bxc 的图象与 x 轴交点的横坐标，不等式 ax2bxc0的解集为(x1，x2)第3讲 主干知识整合 2指数函数，对数函数的图象与性质(见下表)第3讲

25、 主干知识整合 要点热点探究 第3讲 要点热点探究 探究点一 二次函数的综合问题例 1 已知函数 f(x)ax2|x|2a1(a 为实常数)(1)若 a1，作函数 f(x)的图象；(2)设 f(x)在区间1,2上的最小值为 g(a)，求 g(a)的表达式；(3)设 h(x)fxx，若函数 h(x)在区间1,2上是增函数，求实数 a 的取值范围第3讲 要点热点探究【解答】(1)当 a1 时，f(x)x2|x|1x2x1，x0，x2x1，x0.作图(如图所示)第3讲 要点热点探究(2)当 x1,2时，f(x)ax2x2a1.若 a0，则 f(x)x1 在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)3.若

26、 a0，则 f(x)ax 12a22a 14a1，f(x)图象的对称轴是直线 x 12a.当 a0 时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3.当 0 12a12时，f(x)在区间1,2上是增函数，g(a)f(1)3a2.当 1 12a2，即14a12时，g(a)f12a 2a 14a1，当 12a2，即 0a14时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3.综上可得 g(a)6a3，a12.第3讲 要点热点探究(3)当 x1,2时，h(x)ax2a1x1，在区间1,2上任取 x1，x2，且 x10，因为 x2x10，x1x20，所以 ax1x2(2a1)0，即

27、ax1x22a1，当 a0 时，上面的不等式变为 01，即 a0 时结论成立当 a0 时，x1x22a1a，由 1x1x24 得，2a1a1，解得 0a1，当 a0 时，x1x22a1a，由 1x1x24 得，2a1a4，解得12a0，所以，实数 a 的取值范围为12，1.第3讲 要点热点探究【点评】本题是一道函数的综合问题，涉及函数的图象、函数的最值、恒成立问题，第(2)问中不要忘了 a0 的讨论，同时对于二次函数的含参的最值问题：定区间动轴、动区间定轴、动区间动轴动开口等各类问题的研究方法注意总结导数是研究函数单调性的常用方法，请同学们用导数方法研究第(3)问，注意解法的对比第3讲 要点热

28、点探究 设二次函数 f(x)x2bxc(b，cR)，已知不论，为何实数，恒有 f(sin)0 和 f(2cos)0.(1)求证：bc1；(2)求证：c3；(3)若函数 f(sin)的最大值为 8，求 b，c 的值第3讲 要点热点探究【解答】(1)证明：由 f(x)x2bxc(b，cR)产生 bc，只要消除差异 x，这可令 x1.1sin1 且 f(sin)0 恒成立，f(1)0.12cos3 且 f(2cos)0 恒成立，f(1)0.从而知 f(1)0，1bc0，即 bc1.(2)证明：12cos3 且 f(2cos)0 恒成立，f(3)0.即 93bc0，93(bc)2c0.又因为 bc1，

29、c3.第3讲 要点热点探究(3)f(sin)sin2(1c)sincsin1c22c1c22，当 sin1 时，f(sin)max8.代入原函数，由1bc8，1bc0.解得 b4，c3.【点评】注意：ab 且 abab，这是用不等关系得出等量关系的有效方法，值得重视；对于不等式的证明问题，要设法构造不等关系；二次函数在给定区间上的值域问题是热点，希望予以关注，这类问题解决的关键是看对称轴和给定区间的关系要点热点探究 第3讲 要点热点探究 探究点二 指数函数、对数函数的综合问题例 2 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，对 xR 都有 f(x2)f(x2)，且当 x2,0时，f(x)12x1，

30、若在区间(2,6内关于 x 的方程 f(x)loga(x2)0(a1)恰有 3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是()A(1,2)B(2，)C(1，3 4)D(3 4，2)第3讲 要点热点探究【解答】由 f(x2)f(x2)，知 f(x)是周期为 4 的周期函数，于是可得 f(x)在(2,6上的草图如图中实线所示，而函数 g(x)loga(x2)(a1)的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程 f(x)loga(x2)0(a1)在区间(2,6内恰有 3 个不同的实数根，必需且只需g23.所以loga43.解得3 4a2，选 D.第3讲 要点热点探究【点评】作为超越方程，研究问题的方法主

31、要有两种：数形结合；导数的方法；本题中因 f(x)的解析式是分段函数，因此选用方法.在同一个坐标系中作多个函数的图象，一定要注意它们的相对位置，很多学生用数形结合解决相关问题失误就是因为图象的相对位置不对 要点热点探究 第3讲 要点热点探究 探究点三 二次函数、三次函数的综合问题例 3 已知 f(x)x3bx2cxd 在(，0上是增函数，在(0,2上是减函数，且 f(x)0 有三个根，2，(2)(1)求 c 的值，并求出 b 和 d 的取值范围；(2)求证：f(1)2；(3)求|的取值范围，并写出当|取最小值时的 f(x)的解析式第3讲 要点热点探究【解答】(1)f(x)在(，0上是增函数，在

32、(0,2上是减函数，x0 是 f(x)0 的根，又f(x)3x22bxc，f(0)c0，c0.又f(x)0 的根为，2，f(2)0，84bd0.又f(2)0，124b0，b3，又 d84b.d4.(2)证明：f(2)0，d84b 且 b3，f(1)1bd1b84b73b2.第3讲 要点热点探究(3)f(x)0 有三根，2，f(x)(x)(x2)(x)x3(2)x2(22)x2，2b，220，d2.|2()24(b2)22db24b4168bb24b12(b2)216，又b3，|3，当且仅当 b3 时取最小值，此时 d4，f(x)x33x24.第3讲 要点热点探究【点评】三个“二次”即二次函数、

33、二次方程、二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具很多高考试题与这三个“二次”问题有关三次函数的导函数就是二次函数要深刻理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 第3讲 要点热点探究 设函数f(x)13 x32ax23a2x1(0a1)，g(x)f(x)(1)求函数f(x)的极大值；(2)若x1a,1a时，恒有ag(x)a成立，试确定实数a的取值范围第3讲 要点热点探究【解答】(1)f(x)x24ax3a2，令 f(x)0 得 xa或 x3a，画表得x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)极小

34、值极大值当 x3a 时，f(x)极大值1.第3讲 要点热点探究(2)g(x)x24ax3a2(x2a)2a2，想求最大最小值需要分类讨论，当 2a1a，即 0a13时，g(x)在 x1a,1a时单调递减，只要gxmaxg1aa，gxming1aa，无解，舍；当 1a2a1a，即13a1 时，g(x)在 x1a,1a时先增后减，只要gxmaxg2aa2a，g1aa，g1aa，得实数 a 的取值范围为13，7 1716.第3讲 要点热点探究【点评】本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转化为不等式恒成立问题，再转

35、化为函数研究最值考查运用函数与方程的思想、化归思想和分类讨论的思想解答问题的方法 教师备选习题 第3讲 教师备选习题(选题理由：1.指对数互为反函数；2、3.指数函数的性质)1若 x1是方程 lgxx3 的解，x2是 10 xx3 的解，则x1x2的值为()A.32B.23C3 D.13第3讲 教师备选习题【解析】C 解法一：作出 y1lgx，y23x，y310 x 的图象，y1与 y3互为反函数，y23x 与 yx 交点横坐标为32，从而 x1x22323.解法二：设 f(x)10 xx，则 f(lgx)xlgx，又因为10 x2x23，lgx1x13，即 f(x2)f(lgx1)，由 f(

36、x)的单调性得 x2lgx1所以 x1x23.第3讲 教师备选习题【点评】该题考查了指数函数、对数函数的图象及性质综合了函数的图象、方程的解及曲线的交点等问题指数函数、对数函数是两类重要的基本初等函数，高考中以它们为载体的函数综合题既考查双基，又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用 第3讲 教师备选习题 2在 xOy 平面上有一点列 P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，Pn(an，bn)，对每个正整数 n，点 Pn位于函数 y2000a10 x(0a10)的图象上，且点 Pn，点(n,0)与点(n1,0)构成一个以 Pn 为顶点的等腰三角形(1)求点 Pn的纵

37、坐标 bn的表达式；(2)若对于每个正整数 n，以 bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形，求 a 的取值范围第3讲 教师备选习题【解答】(1)由题意知：ann12，bn2000a10 n12.(2)函数 y2000a10 x(0abn1bn2.则以 bn，bn1，bn2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn2bn1bn，即a102a10 10，解得 a5(51)5(51)a0，a1b0)的定义域恰为(0，)，是否存在这样的 a，b，使得 f(x)恰在(1，)上取正值，且 f(3)lg4？若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由第3讲 教师备选习题【解答】axkbx0，即abx

38、k，又 a1b0，ab1，xlogabk 为其定义域满足的条件，又函数 f(x)的定义域恰为(0，)，logabk0，k1.f(x)lg(axbx)若存在适合条件的 a，b，则 f(3)lg(a3b3)lg4，且 lg(axbx)0 对 x1 恒成立，又由题意可知 f(x)在(1，)上单调递增，x1 时 f(x)f(1)，由题意可知 f(1)0，即 ab1，又 a3b34.注意到 a1b0，解得 a 512，b 512.存在这样的 a，b 满足题意规律技巧提炼 第3讲 规律技巧提炼 1“三个二次”，即二次函数，二次方程，二次不等式是一个有机的整体，其中二次函数的图象是联系三者的桥梁和纽带，要深

39、刻理解它们之间的关系2关于三次函数，往往可以通过求导，转化为二次函数和二次方程的问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质研究3对于 f(x)0 在区间p，q上恒成立问题，一般先等价转换成求f(x)在p，q上的最小值问题若 f(x)中含有参数，则要求对参数进行讨论，并注意尽量简化讨论的过程4讨论指(对)数函数的单调性或解指、对数不等式时，当底数含有参数时，应注意分类讨论第4讲 不等式及其应用 第4讲 不等式及其应用 主干知识整合 第4讲 主干知识整合 1不等式的性质主要是指三条基本性质(对称性、传递性、加减(乘)性)和运算性质(加、减、乘、除、乘方、开方及倒数法则)，它是解(证)不等式的基础

40、和依据 2解不等式的基本思想是等价转化，即利用不等式的性质及有关函数的性质把问题转化为一元一次不等式，一元二次不等式求解，因而一元一次不等式，一元二次不等式的解法是基础解含参数的不等式时，一般需分类讨论，它是这一部分的难点 3不等式在中学中有最广泛的应用，其中主要表现在：(1)求函数的定义域、值域；(2)求函数的最值；(3)讨论函数单调性；(4)研究方程的实根分布；(5)求参数取值范围；(6)解决与不等式有关的应用性问题等 要点热点探究 第4讲 要点热点探究 探究点一 不等式的性质及均值不等式的应用例 1 有三个条件：(1)ac2bc2；(2)acbc；(3)a2b2，其中能分别成为 ab 的

41、充分条件的个数有()A0 B1 C2 D3第4讲 要点热点探究【点评】正确理解和运用不等式的性质，是学好不等式的关键在进行不等式变形时，要注意思考“理论依据”是什么，千万不可“随心所欲”如本题中，在不等式两边同乘以某“数(式)”时，就必须认清所乘的“数(式)”是正数还是负数 B【解析】(1)由 ac2bc2 可知 c20，即 ab，若 ab，当 c0 时，ac2bc2，故 ac2bc2 是 ab 的充分条件；(2)c0 时，ab；(3)a0 时，ab 的充分条件，故答案选 B.第4讲 要点热点探究 例 2 已知 a0，f(x)ax312a x，且 f(1)12，则实数 a 的值为()A2 B2

42、 C4 D4【点评】本题主要考查导数及均值不等式理论“若 ab，且 ba，则 ab”这一奇妙的关系在高中数学里应用比较常见，它体现了“不等”与“相等”是对立统一的哲学思想导数是研究函数特征的有力工具，成为高考命题的一个热点 B【解析】f(x)3ax212a，f(1)3a12a 12.又 abc0，则 2a2 1ab1aab10ac25c2的最小值是()A2 B4 C2 5D5第4讲 要点热点探究 B【解析】2a2 1ab1aab10ac25c2(a5c)2a2abab 1ab1aab(a5c)2ab 1aba(ab)1aab0224，当且仅当 a5c0，ab1，a(ab)1 时等号成立如取 a

43、 2，b 22，c 25 满足条件答案选 B.【点评】利用均值不等式求最值时，要切实注意三要素，即“一正、二定、三等号”如何构建“积一定”是解决本题的关键，同时一定要注意等号成立的条件要点热点探究 第4讲 要点热点探究 探究点二 不等式的解法例 3 设函数 f(x)ax1x1，其中 aR.(1)解不等式 f(x)1；(2)求 a 的取值范围，使 f(x)在区间(0，)上是单调减函数.第4讲 要点热点探究【解答】(1)不等式 f(x)1 即为ax1x1 1，a1xx1 0，当 a1 时，不等式解集为(1,0(2)在(0，)上任取 x1x2，则 f(x1)f(x2)ax11x11 ax21x21

44、a1x1x2x11x21.0 x1x2，x1x20，x210.所以要使 f(x)在(0，)递减，即 f(x1)f(x2)0，只要 a10，即 a1，故当 a6，即|m|4，|m4|6，解得4m2 在12，2内恒成立，求实数 a 的取值范围第4讲 要点热点探究【解答】(1)Qx|ax22x20，因为 PQ，所以在12，2 内至少有一个 x 值，使不等式 ax22x20 成立，即 ax22x20 在12，2 内有解因为 x20，所以 a2x2x2(*)设 f(x)2x 2x2，x12，2，欲使(*)式成立，只需 af(x)min.因为 f(x)21x12212，在12，2 上的最小值 f(x)mi

45、n4，所以 a4，即 a的取值范围是(4，)第4讲 要点热点探究(2)方程 log2(ax22x2)2 在12，2 内有解，等价于方程ax22x20 在12，2 内有解，分离 a 得 a 2x22x(*)，设 g(x)2x22x，则在12，2 内存在 x 值，使得(*)式成立，即 agxx12，2.因为当 x12，2 时，g(x)32，12，所以 a32，12.第4讲 要点热点探究(3)不等式 log2(ax22x2)2 在12，2 内恒成立，等价于ax22x20 在12，2 内恒成立分离 a 得 a2x22x在12，2 内恒成立，只需 ag(x)max.因为 g(x)在12，2 内的最大值为

46、 12，所以 a12.第4讲 要点热点探究【点评】“在给定区间内不等式有解(能成立)”与“在该区间内不等式恒成立”是容易混淆的两个不同的概念一般地，二者均可采用数形结合，利用相应方程的根的分布情况，通过讨论加以解决，但解法很繁杂如果能用分离变量的方法，转化为函数的值域、最值问题来求解，简单明了，同时也更容易区分两类问题的不同即：在 xa，b内，mf(x)有解，只需 mf(x)min；在 xa，b内，mf(x)恒成立，只需 mf(x)max；在 xa，b内，方程 mf(x)有解，只需 mf(x)|xa，b 教师备选习题 第4讲 教师备选习题(选题理由：1.均值定理的拓展；2.构造函数，利用导数证

47、不等式)12010湖北卷 设 a0，b0，称 2abab为 a，b 的调和平均数如图所示，C 为线段 AB 上的点，且 ACa，CBb，O 为 AB 中点，以 AB 为直径做半圆过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D.连接 OD，AD，BD.过点 C作 OD 的垂线，垂足为 E.则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术平均数，线段_的长度是 a，b 的几何平均数，线段_的长度是 a，b 的调和平均数第4讲 教师备选习题 CD DE【解析】在 RtADB 中 DC 为高，则由射影定理可得 CD2ACCB，故 CD ab，即 CD 长度为 a，b 的几何平均数，将 OCaab2 ab2，CD a

48、b，ODab2 代入ODCEOCCD，可得 CEabab ab，故 OE OC2CE2ab22ab，所以 EDODOE 2abab，故 DE 的长度为 a，b 的调和平均数第4讲 教师备选习题 2已知函数 f(x)lnx.求证：当 xa0 时，恒有 axxafxfa.【解答】要证 axxafxfa，只需证 lnxa0.令 txa，则 t1，下面证明t212tlnt0.记 h(t)t212tlnt(t1)，h(t)12 12t21t1211t20，所以函数 h(t)在(1，)上单调递增，所以 h(t)h(1)0，故原不等式得证第4讲 教师备选习题【点评】近年来，一些用传统方法难以证明的不等式问题

49、逐渐融入高考，导数为这类问题的研究和解决提供了新途径，同时也充分展示了导数的思维价值和应用价值用导数证明超越不等式，证明过程往往简捷、明快，解答的关键是演好用导数证不等式的前奏构造辅助函数规律技巧提炼 第4讲 规律技巧提炼 1不等式的性质是解不等式和证明不等式的基础依据，应熟练掌握，并会区分哪些性质是充分的，哪些是充要的2在解不等式的过程中充分运用不等式的性质及相关知识，把原不等式等价转化为易解的不等式对不等式变形时，要注意不等式的同解性，即注意保持字母在允许值范围不发生变化，解含参数不等式时，注意对参数分类讨论，做到不重不漏第4讲 规律技巧提炼 3利用均值不等式求最值时，要切实注意三个条件，

50、即“一正、二定、三等号”4不等式的证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的一个难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题，但高考中几乎不可能出现单独考查不等式证明的试题，在题目的设计上，常常将不等式的证明与函数、数列、三角综合，意在考查逻辑推理能力比较法、分析法、综合法是不等式证明的最基本方法，另外放缩法、数学归纳法、构造函数法这三种方法也是高考的重点考查内容之一第5讲 函数的极限与导数的基本应用 第5讲 函数的极限与导数 的基本应用 主干知识整合 第5讲 主干知识整合 导数的概念、常见公式及应用第5讲 主干知识整合 第5讲 主干知识整合 1.函数

51、极限的四则运算、几个重要极限及极限存在的判定方法(1)若 limxx0f(x)a，limxx0g(x)b，则 limxx0f(x)g(x)ab；limxx0f(x)g(x)ab；limxx0fxgxab(b0)(2)几个重要的极限：limnCC(C为常数)；limnCnk0(k0，C为常数)；limnqn0(|q|1)；对于无穷等比数列an，当|q|1时，各项和Sli mnSn a11q.(3)limxaf(x)blimxaf(x)limxaf(x)b.第5讲 主干知识整合 2函数的连续性的定义如果函数yf(x)在点xx0处及附近有定义，且limxx0 f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点

52、xx0处连续3导数的定义f(x0)limx0fx0 xx limxx0fxfx0 xx0limx0fx02xfx02x.4导数的几何意义(1)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)，就是曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率；(2)函数ss(t)在点t0处的导数s(t0)，就是物体的运动方程ss(t)在时刻t0时的瞬时速度要点热点探究 第5讲 要点热点探究 探究点一 极限与导数的概念、几何意义及运算例1 已知f(x)x3x2f(1)3xf(1)，则f(1)f(1)_.第5讲 要点热点探究 34【解析】f(1)，f(1)为常数，f(x)3x22xf(1)3f(1)，f(1)32f(1

53、)3f(1)，f(1)32f(1)3f(1)，即f(1)3f(1)3,2f(1)2f(1)3，联立解得f(1)38，f(1)98，f(1)f(1)34，故填34.【点评】本题主要考查导数的概念和运算法则，亮点是函数方程思想与导数交汇处命题，切入点是：理解导数的概念，即f(1)、f(1)为常数第5讲 要点热点探究 已知函数f(x)alog2xx2，x24x2 x2在x2处连续，则常数a的值是()A2 B3 C4 D5B【解析】解法一：由题得alog2222a3，故选B.解法二：本题考查分段函数的连续性由li mx2 f(x)li mx2x24x2 li mx2 (x2)4，f(2)alog22a

54、1，由函数在一点处的连续性的定义知f(2)li mx2f(x)4，可得a3.故选B.要点热点探究 第5讲 要点热点探究 探究点二 利用导数处理有关单调性的问题例2 2010辽宁卷 已知函数f(x)(a1)lnxax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a12，f(x)112xm.因为f(x)为定义域上的单调增函数，由f(x)112xm0对x12恒成立，m112x，而112x0，当x(0，)时，f(x)0，f(x)在x0时取得最大值，此时函数f(x)的最大值为f(0)0.【点评】利用导数研究函数的极值和最值是导数最重要的应用之一，涉及极值、单调性的问题，首先考查函数的定义域，然后求出导数

55、，得到导数为零的点，通过列表可以清楚地判断在哪些点处是极值点，是极大值还是极小值；在得到极值的基础上，与区间端点处的函数值进行比较得到函数的最值特别注意，如果在开区间或无穷区间上函数只有一个极值，那么它就是相应的最值 教师备选习题 第5讲 教师备选习题(选题理由：1.如何求解析式；2.导数与直线倾斜角的关系；3奇偶函数的导函数的特点)12009安徽卷 已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是()Ay2x1 ByxCy3x2 Dy2x3第5讲 教师备选习题【解析】A 由f(x)2f(2x)x28x8，得f(2x)2f(x)(2x)

56、28(2x)8，即2f(x)f(2x)x24x4，联立得f(x)x2，f(x)2x，切线方程为y12(x1)，即y2x1，选A.【点评】本题考查导数的几何意义，通过求导，求函数在某点处的切线方程问题是经常考查的，难度不大深刻理解导数在某个点的导数的几何意义是解题的关键第5讲 教师备选习题 22010辽宁卷 已知点P在曲线y4ex1上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A.0，4B.4，2C.2，34D.34，【解析】D y4exe2x2ex14ex21ex，ex1ex2，1y0，即1tan0)，f(x)为f(x)的导函数设Ax|f(x)0，Bx|f(x)0，所以设A(x1，x2)

57、，其中x1，x2是方程ax2bxc0的两个不等实根，显然Bx|f(x)3时，要AB(2,3)，则x12，x23，bax1x25，b2a523，b2a 3时，才有AB(2,3)，这时 b2a3，4a2bc0，整理得bca 2.第6讲 要点热点探究【点评】本题是一道关于集合、函数、导数、方程、不等式的原创题主要考查集合的运算、“三个二次”间的关系、分类讨论等数学思想方法 第6讲 要点热点探究 2009湖南卷设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数K，定义函数fK(x)fx，fxK，K，fxK，取函数f(x)2xex.若对任意的x(，)，恒有fK(x)f(x)，则()AK的最大值为2BK的最小

58、值为2CK的最大值为1DK的最小值为1第6讲 要点热点探究 D【解析】由 f(x)ex10，知 x0，所以 x(，0)时，f(x)0，当 x(0，)时，f(x)6.第6讲 要点热点探究【解答】(1)当 ab3 时，f(x)(x33x23x3)ex，故f(x)(x33x23x3)ex(3x26x3)exex(x39x)x(x3)(x3)ex.当 x3 或 0 x0；当3x3 时，f(x)0.从而 f(x)在(，3)，(0,3)上单调递增，在(3,0)，(3，)上单调递减 第6讲 要点热点探究(2)证明：f(x)(x33x2axb)ex(3x26xa)exexx3(a6)xba由条件得：f(2)0

59、，即 232(a6)ba0，故 b4a，从而 f(x)exx3(a6)x42a因为 f()f()0，所以x3(a6)x42a(x2)(x)(x)(x2)x2()x将右边展开，与左边比较系数得，2，a2.故 24 124a.又(2)(2)0，即 2()40，由此可得 a6.第6讲 要点热点探究【高考命题者说】【考查目的】本题主要考查导数的运算和利用导数研究函数单调性的方法，综合考查考生的运算求解能力、推理论证能力【命制过程】试题对函数 f(x)的表达式作了细致的设计，目的是考查考生对函数单调性与导数关系的理解，同时考查考生对基本初等函数的求导公式和导数的运算法则的掌握，考查不等式的求解运算能力本

60、题设置两个问题，紧紧围绕函数的单调性展开，从特殊到一般，考查考生综合运用函数单调性的知识解决问题的能力第6讲 要点热点探究【试题评价】试题紧紧围绕函数的单调性与导数的关系从特殊到一般进行设计，层次分明，梯度递进，突出导数的工具性作用，把对函数单调性的理解和运用提高到必要的深度试题结构简洁，考查重点突出，方法具体明确，对中学教学有积极的引导作用【点评】判定函数的单调性，是导数应用的核心内容，判定方法就是要通过判定导函数的符号来确定函数的单调性对一类含参的问题要注意合理地根据参数的值进行分类讨论 要点热点探究 第6讲 要点热点探究 探究点三 函数与导数和不等式的知识网络交汇例 3 2010全国卷

61、设函数 f(x)1ex.(1)证明：当 x1 时，f(x)xx1；(2)设当 x0 时，f(x)xax1，求 a 的取值范围第6讲 要点热点探究【解答】(1)当 x1 时，f(x)xx1，当且仅当 ex1x.令 g(x)exx1，则 g(x)ex1.当 x0 时 g(x)0，g(x)在0，)是增函数；当 x0 时 g(x)0，g(x)在(，0是减函数于是 g(x)在 x0处达到最小值，因而当 xR时，g(x)g(0)，即 exx10，即 ex1x，所以当 x1 时，f(x)xx1.第6讲 要点热点探究(2)由题设 x0，此时 f(x)0.当 a1a，则xax112时，由 xf(x)，得 h(x

62、)af(x)axf(x)axf(x)af(x)axf(x)af(x)f(x)(2a1ax)f(x)，当 0 x0，所以 h(x)h(0)0，即 f(x)xax1，不符合题意综上，a 的取值范围是0，12.【点评】导数常作为高考的综合解答题，不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，在证明不等式时，首先要构造函数，再运用导数的方法来证明 第6讲 要点热点探究 例 4 已知函数 f(x)ln(1x)ax 的图象在 x1 处的切线与直线 x2y10 平行(1)求实数 a 的值；(2)若方程 f(x)14

63、(m3x)在2,4上有两个不相等的实数根，求实数 m 的取值范围；(参考数据：e2.71828)(3)设常数 p1，数列an满足 an1anln(pan)(nN*)，a1lnp，求证：an1an.第6讲 要点热点探究【解答】(1)f(x)11xa，f(1)12a.由题知12a12，解得 a1.(2)由(1)有 f(x)ln(1x)x，原方程可整理为 4ln(1x)xm.令 g(x)4ln(1x)x，得 g(x)41x13x1x，当 3x4 时 g(x)0，当 2x0，g(3)0，即 g(x)在2,3上是增函数，在3,4上是减函数，在 x3 时 g(x)有最大值 4ln43.g(2)4ln32，

64、g(4)4ln54，g(2)g(4)4ln35222ln351 2ln9e25.由 9e24.4625，于是 2ln9e250.g(2)1)有 f(x)11x1 x1x，显然 f(0)0，当x(0，)时，f(x)0，f(x)在(1,0)上是增函数，在0，)上是减函数f(x)在(1，)上有最大值 f(0)，而 f(0)0，当 x(1，)时，f(x)0，因此 ln(1x)x.(*)由已知有 pan，即 pan0，所以 pan11.an1anln(pan)ln(1p1an)，由(*)中结论可得 an1anp1an，即 an1p1(nN*)当 n2 时，an1anln(pan)lnp(p1)0，即 a

65、n1an.当 n1 时，a2a1ln(plnp)，lnpln(1p1)p1，a2a1lnp(p1)a1，结论成立对 nN*，an1an.第6讲 要点热点探究【点评】本题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、最值、函数与方程的思想、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力 教师备选习题 第6讲 教师备选习题(选题理由：1.在某点与过某点的切线的区别；2、3.三角函数的导数问题)1已知函数 f(x)x33x，过点 A(1，m)(m2)可作曲线 yf(x)的三条切线，则 m 的取值范围是()A(3，2)B(2,3)C(2，1)D(1,1)第6讲 教师备选习

66、题【解析】A f(x)3x23，设切点为(x0，y0)，则切线的斜率 k3x203y0mx01x303x0mx01，即 2x303x20m30，由条件知该方程有三个实根，令 g(x)2x33x2m3，则 g(x)的图象与 x 轴有三个不同交点，由g(x)6x26x6x(x1)，所以当 x(，0及1，)时，g(x)0，g(x)单增；当 x(0,1)时，g(x)0，g10，解得3m0)与函数 y2sinx6 的图象有且仅有两个公共点，若这两个公共点的横坐标分别为、，且，则以下正确的是()Atan6 Btan6 Ctan6 Dtan6 第6讲 教师备选习题【解析】C 由图象知 ykx 为 y2sin

67、x6 的切线，即 k2cosx6，切点横坐标为，则 k 2sin6 2cos6 2sin6 tan6，故选 C.【点评】本题考查三角函数求导法则及导数的几何意义，由已知“ykx(k0)与函数 y2sinx6 的图象有且仅有两个公共点”转化为“ykx 为 y2sinx6 的切线”是关键第6讲 教师备选习题 32010安徽卷 设函数 f(x)sinxcosxx1,0 x2，求函数 f(x)的单调区间与极值第6讲 教师备选习题【解答】由 f(x)sinxcosxx1,0 x2，知 f(x)cosxsinx11 2sinx4.令 f(x)0，从而 sinx4 22，得 x 或 x32，当 x 变化时，

68、f(x)，f(x)变化情况如下表：x(0，)，323232，2f(x)00f(x)单调递增2单调递减32单调递增因此，由上表知 f(x)的单调递增区间是(0，)与32，2，单调递减区间是，32，极小值为 f32 32，极大值为 f()2.规律技巧提炼 第6讲 规律技巧提炼 1高考压轴题经常是将函数、数列、不等式、导数等有机地综合或将解析几何和立体几何等巧妙地交汇，构成一道超大型综合题，体现了在“知识网络交汇点处设计试题”的高考命题指导思想貌似“庞然大物”，令人望而生畏！对许多考生来讲是形同虚设，考试时经常是全题放弃，令人惋惜！要知道高考评分是“踩点得分”，学生要依据题目条件能写多少，就写多少，尽量多写，踩上得分点便有分数正确的策略是“分段得分巧智取”！2鉴于压轴题难度大，有些题还有高等数学的背景和竞赛题的味道，标准答案提供的解法如同“神来”之笔，芸芸众生确实想不到，加之“搏杀”到此题时，同学们的精力和考试时间基本耗尽，建议同学们一定要当机立断，视时间和自身数学实力可强攻、分段得分或放弃