2020版数学（文）新攻略总复习课标通用练习：第八章 第六节　平行、垂直的综合问题 WORD版含解析.docx

1、第六节平行、垂直的综合问题A组基础题组1.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知ADE是ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是()动点A在平面ABC上的射影在线段AF上;BC平面ADE;三棱锥A-FED的体积有最大值. A.B.C.D.答案C由已知可得平面AFG平面ABC,所以点A在平面ABC上的射影在线段AF上.由已知得BCDE,根据线面平行的判定定理可得BC平面ADE.当平面ADE平面ABC时,三棱锥A-FDE的体积达到最大.故选C.2.如图所示,四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90.将ADB沿BD折起,使平面AB

2、D平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC答案D易证BDCD.因为平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD,CD平面BCD,故CD平面ABD,则CDAB.又ADAB,ADCD=D,AD平面ADC,CD平面ADC,故AB平面ADC.又AB平面ABC,平面ADC平面ABC.3.如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2,BDCD,将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上,则该球的体

3、积为()A.32B.3C.23D.2答案A如图,取BD的中点E,BC的中点O,连接AE,OD,EO,AO.因为AB=AD,所以AEBD.又平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,所以AE平面BCD.因为AB=AD=CD=1,BD=2,所以AE=22,EO=12,BC=3.所以OA=32.在RtBDC中,OB=OC=OD=12BC=32,所以四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为32.所以该球的体积V=43323=32.4.在直角梯形ABCD中,AB=2,CD=CB=1,ABC=90,平面ABCD外有一点E,平面ADE平面ABCD,AE=ED=1.(1)求证:AEBE;(2)求点C到

4、平面ABE的距离.解析(1)证明:在直角梯形ABCD中,BD=BC2+CD2=2,AD=2,又AD=2=AE2+ED2,所以AEED.因为AB2=AD2+BD2,所以ADBD,又因为平面ADE平面ABCD,且平面ADE平面ABCD=AD,所以BD平面ADE.因为AE平面ADE,所以BDAE.又因为AEED,BDDE=D,所以AE平面BDE,因为BE平面BDE,所以AEBE.(2)如图,过点E作EMAD,交AD于M.因为平面ADE平面ABCD,所以EM平面ABCD.设点C到平面ABE的距离为h,EM=22,SABC=12ABBC=1221=1,SABE=12EBAE=1231=32.因为VE-A

5、BC=VC-ABE,所以13122=1332h,所以h=63,所以点C到平面ABE的距离为63.5.(2016课标全国,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD=22,求五棱锥D-ABCFE的体积.解析(1)证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故ACEF.由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(2)由EFAC得OHDO=AEAD=14.由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2

6、=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(22)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,因为OD平面BHD,所以ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.又由EFAC=DHDO得EF=92.五边形ABCFE的面积S=1268-12923=694.所以五棱锥D-ABCFE的体积V=1369422=2322.6.如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,BE平面ABCD,DFBE,且DF=2BE=2,EF=3.(1)证明:平面ACF平面BEFD;(2)若cosBAD=15,求几何体ABCDFE的体

7、积.解析(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD,因为BE平面ABCD,所以BEAC.所以AC平面BEFD.又因为AC平面ACF,所以平面ACF平面BEFD.(2)设AC与BD的交点为O,AB=a(a0),由(1)得AC平面BEFD,因为BE平面ABCD,所以BEBD,因为DFBE,所以DFBD,所以BD2=EF2-(DF-BE)2=8,所以BD=22,所以S四边形BEFD=12(BE+DF)BD=32,因为cosBAD=15,所以BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=85a2=8,所以a=5,所以OA2=AB2-OB2=3,所以OA=3,所以VABCDFE=2VA-BEF

8、D=23S四边形BEFDOA=26.B组提升题组1.(2017课标全国,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求该四棱锥的侧面积.解析(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解法一:在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x

9、.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13ABADPE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为12PAPD+12PAAB+12PDDC+12BC2sin 60=6+23.解法二:由题设条件和(1)可知四棱锥P-ABCD是一个正方体的一部分,底面ABCD是正方体的一个对角面,P是正方体的一个顶点(如图),设正方体的棱长为a,则VP-ABCD=132aa22a=13a3,由题设得13a3=83,解得a=2,从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22,故四棱锥P-ABCD的侧面积为12PA

10、PD+12PAAB+12PDDC+12BC2sin 60=6+23.2.(2017广西南宁二模)如图,在高为1的等腰梯形ABCD中,AM=CD=13AB=1,M为AB的三等分点.现将AMD沿MD折起,使平面AMD平面MBCD,连接AB、AC.(1)在AB边上是否存在点P,使AD平面MPC?(2)当点P为AB边的中点时,求点B到平面MPC的距离.解析(1)当AP=13AB时,有AD平面MPC.理由如下:连接BD交MC于N,连接NP.在梯形MBCD中,DCMB, DNNB=DCMB=12,ADB中, APPB=12,ADPN.AD平面MPC,PN平面MPC,AD平面MPC.(2)平面AMD平面MB

11、CD,平面AMD平面MBCD=DM,在平面AMD中,AMDM,AM平面MBCD.V三棱锥P-MBC=13SMBCAM2=13122112=16.MPC中,MP=12AB=52,MC=2, 过P作PHMB于H,连接HC,则PC=122+12=52,SMPC=122522-222=64,点B到平面MPC的距离d=3V三棱锥P-MBCSMPC=31664=63.3.(2019河南郑州二模)在如图所示的五面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且DAB=60,EA=ED=AB=2EF=2,EFAB,M为BC的中点.(1)求证:FM平面BDE;(2)若平面ADE平面ABCD,求F到平面BDE的距离.解

12、析(1)证明:取BD中点O,连接OM,OE,因为O,M分别为BD,BC的中点,所以OMCD,且OM=12CD,因为四边形ABCD为菱形,所以CDAB,因为EFAB,所以CDEF,又AB=CD=2EF=2,所以EF=12CD.所以OMEF,且OM=EF,所以四边形OMFE为平行四边形,所以FMOE.又OE平面BDE且FM平面BDE,所以FM平面BDE.(2)由(1)得FM平面BDE,所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离.取AD的中点H,连接EH,BH,因为EA=ED,所以EHAD,因为平面ADE平面ABCD,平面ADE平面ABCD=AD,所以EH平面ABCD,因为BH平面ABCD,所以EHBH.因为四边形ABCD是菱形,所以AB=AD=2,又BAD=60,所以ABD是等边三角形,所以BH=3.易得EH=3.在RtEBH中,因为EH=BH=3,所以BE=6,所以SBDE=12622-622=152,设F到平面BDE的距离为h,连接DM,因为SBDM=12344=32,所以由VE-BDM=VM-BDE,得13332=13h152,解得h=155.即F到平面BDE的距离为155.