2021-2022学年新教材人教A版数学必修第一册学案：2-3-1 一元二次不等式的解法 WORD版含答案.docx

1、23二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义2能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集3借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系学科核心素养1.会求一元二次不等式的解集(逻辑推理、直观想象)2会求分式不等式的解集(逻辑推理、数学运算)3能解决一元二次不等式的实际问题(逻辑推理、数学建模)4理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系，并能解决相应的问题(逻辑推理)第1课时一元二次不等式的解法教材要点要点一一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形

2、式(1)概念：我们把只含有_未知数，并且未知数的最高次数是_的不等式，称为一元二次不等式(2)形式：ax2bxc0(a0)；ax2bxc0(a0)；ax2bxc0(a0)；ax2bxc0(a0)状元随笔一元二次不等式的二次项系数 a有a0或a0两种，注意a0.当a0时，我们通常将不等式两边同乘以1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式要点二二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系000yax2bxc(a0)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2b2a没

3、有实数根ax2bxc0(a0)的解集_x|xb2aRax2bxc0(a0)的解集_状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图象法：一般地，当a0时，解形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的一元二次不等式，一般可分为三步：确定对应方程ax2bxc0的解；画出对应函数yax2bxc的图象简图；由图象得出不等式的解集对于a0的一元二次不等式，可以直接采取类似a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当pq时，若(x p)(x q)0，则xq或xp；若(x p)(x q)0，则pxq.有口诀如下“大于

4、取两边，小于取中间”要点三二次函数的零点对于二次函数yax2bxc，把使ax2bxc0的实数x叫做二次函数yax2bxc的_，即二次函数yax2bxc的_方程ax2bxc0的实数解函数yax2bxc的图象与x轴交点的_基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)mx25x0是一元二次不等式()(2)若不等式ax2bxc0的解集为x|x1xx2，则必有a0.()(3)若不等式ax2bxc0的解集是x|xx1或xx2，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(4)若方程ax2bxc0没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()2不等式2x2x10的解集是()Ax|x-12或

5、x1 Bx|x1或x2Cx|x1 Dx|-12x13若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，那么a的值是()A1 B2C3 D44不等式x26x100的解集为_题型1不含参数的一元二次不等式的解法例1解不等式：(1)3x26x20；(2)4x24x10.方法归纳解不含参数的一元二次不等式的步骤1通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正2对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式3求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根4根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图5根据图象写出不等式的解集记忆口诀：设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴

6、相交，则有口诀：大于取两边；小于取中间跟踪训练1(1)不等式x+1x-20的解集为()Ax|x1或x2Bx-1x2Cx|x2或x1 Dx-2x1(2)不等式x23x40的解集为()Ax|x1或x4 Bx|x1或x4Cx|4x1 Dx|x1或x4题型2解含参数的一元二次不等式角度1对判别式“”进行讨论例2解关于x的不等式2x2ax20.角度2对根的大小进行讨论例3解关于x的不等式x22x1a20(aR)角度3对二次项系数进行讨论例4设aR，解关于x的不等式ax2(12a)x20.方法归纳解含参数的一元二次不等式的步骤跟踪训练2解关于x的不等式(ax)(xa2)0，aR.题型三三个“二次”之间的关

7、系例5已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为x|2x3，求关于x的不等式cx2bxa0的解集方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系(2)若一元二次不等式的解集为R或，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围跟踪训练3已知一元二次不等式x2pxq0的解集为x|-12x13，求不等式qx2px10的解集易错辨析忽视二次项系数

8、致误例6若不等式ax2bxc0的解集为x|1x2，那么不等式a(x21)b(x1)c2ax的解集为()Ax|2x1 Bx|x2或x1Cx|x0或x3 Dx|0x3解析：因为不等式ax2bxc0的解集为x|1x2，所以1和2是方程ax2bxc0的两根，且a0，所以ba121，ca2，即ba，c2a，代入不等式a(x21)b(x1)c2ax整理得a(x23x)0，因为a0，所以x23x0，所以0x3.故选D.答案：D易错警示易错原因纠错心得忽视a的范围致误，易错选C.根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a0，由根与系数的关系求出a，b，c的关系，再代入不等式a(x21)b(x1)

9、c2ax，求解即可课堂十分钟1已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN()Ax|4x3 Bx|4x2Cx|2x2 Dx|2x32关于x的不等式ax2bxc0的解集为x|3x1，则关于x的不等式cx2bxa0的解集为()Ax|-13x1 Bx|-1x13Cx|x-13或x1 Dx|x-1或x133已知2a10，则关于x的不等式x24ax5a20的解集是()Ax|x5a或xa Bx|x5a或xaCx|ax5a Dx|5axa4已知x1在不等式k2x26kx80的解集内，则k的取值范围是_5. 已知函数yx2(ab)x2a.(1)若关于x的不等式y0的解集为x|1x2，求a，b的值；(2)当b

10、2时，解关于x的不等式y0.23二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式的解法新知初探课前预习要点一一个2要点二x|xx2x|x1xx2要点三零点零点横坐标基础自测1(1)(2)(3)(4)2答案：A3答案：C4答案：R题型探究课堂解透例1解析：(1)不等式可化为3x26x20.对应方程3x26x20.因为36432120，所以它有两个实数根解得x1133，x2133.画出二次函数y3x26x2的图象(如图)，结合图象得不等式3x26x20的解集是x|1-133x133.所以不等式-3x26x20的解集是x|133x133.(2)方程4x24x10的解是x1x212，画出二次函数y

11、4x24x1的图象(如图)，结合图象得不等式4x24x10的解集是x|x=12.跟踪训练1解析：(1)因为x+1x-20，所以对应的方程为(x1)(x2)0，解得x11，x22，所以不等式x+1x-20的解集为x-1x0，因式分解得：(x1)(x4)0，解得x1或x1或x0，aR，当a1或aa，原不等式的解集为x|xa2；当0a1时，a2a，原不等式的解集为x|xa当a1时，原不等式的解集为x|x1；当a0时，原不等式的解集为x|x0例5解析：由不等式ax2bxc0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系可知ba5，ca6.由a0知c0，bc-56，故不等式cx2bxa0，即x256x160，解得x12，所以不等式cx2bxa0的解集为x|x12.跟踪训练3解析：因为x2pxq0的解集为x|-12x0即为16x216x10，整理得x2x60，解得2x0的解集为x|2x3课堂十分钟1答案：C2答案：C3答案：A4答案：k2或k45解析：(1)y0的解集为x|1x0，当a0的解集为x|x2；当a2时，y0的解集为x|x2；当a2时，y0的解集为x|xa