2021-2022学年高中数学人教B版选择性必修第三册课后巩固提升：5-4　数列的应用 WORD版含解析.docx

1、5.4数列的应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2020河南郑州高三模拟)南宋数学家杨辉提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第19项为()注:12+22+32+n2=A.1 624B.1 024C.1 198D.1 560答案B解析设该数列为an,依题意,an:1,4,8,14,23,36,54,两两作差,得bn:3,4,6,9,13,18,两两作差,得cn:1,2,3,4

2、,5,令bn=an+1-an,设bn的前n项和为Bn,又令cn=bn+1-bn,设cn的前n项和为Cn.易知cn=n,Cn=,进而得bn+1=3+Cn=3+,所以bn=3+n+3,则Bn=+3n,所以an+1=1+Bn,所以a19=1 024.2.(2021吉林高二三模)周髀算经中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,前三个节气日影长之和为28.5尺,最后三个节气日影长之和为1.5尺,今年3月20日17时37分为春分时节,其日影长为()A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺答案A解析冬至

3、、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列an,设公差为d,由题意得解得所以an=a1+(n-1)d=11.5-n,所以a7=11.5-7=4.5,即春分时节的日影长为4.5尺.3.(2020江西安福中学高一月考)某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于2018年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清.若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该学生家长每年的偿还金额是()A.B.C.D.答案D解析设每年偿还

4、的金额为x,则a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+x(1+p)m-1,所以a(1+p)m=x,解得x=.故选D.4.我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一道题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠亦日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢,各穿几何?”其意思是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大、小鼠第一天都进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,则几天后两鼠相遇?这个问题体现了古代对数列问题的研究,现将墙的厚度改为1 200尺,则打穿墙面需要的天数(结果取整数)为()A.12B.11C.10D.9答案B解析大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列an

5、,bn,它们都是等比数列,a1=b1=1,数列an的公比为q1=2,数列bn的公比为q2=,设需要n天能打穿墙,则(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)=2n+1-,当n=10时,2n+1-=1 025-1 0251 200,因此需要11天才能打穿.故选B.5.赵先生准备通过某银行贷款5 000元,然后通过分期付款的方式还款,银行与赵先生约定:每个月还款一次,分12次还清所有欠款,且每个月还款的钱数都相等,贷款的月利率为0.5%,则赵先生每个月所要还款的钱数为元.精确到0.01元,参考数据:17.213答案430.33解析设每一期所还款数为x元,因为贷款的月利率为0.5%,所以每期所还款本

6、金依次为,则+=5 000,即x+=x=x=5 000,x=430.33,赵先生每个月所要还款约430.33元.6.(2020上海华师大二附中高三月考)如图,一个粒子从原点出发,在第一象限和两坐标轴正半轴上运动,在第一秒时它从原点运动到点(0,1),接着它按图所示在x轴、y轴的垂直方向上来回运动,且每秒移动一个单位长度,那么,在2 018秒时,这个粒子所处的位置在点.答案(6,44)解析如图,设粒子运动到A1,A2,An时所用的时间分别为a1,a2,an,则a1=2,a2=6,a3=12,a4=20,an-an-1=2n,将a2-a1=22,a3-a2=23,a4-a3=24,an-an-1=

7、2n相加得an-a1=2(2+3+4+n)=n2+n-2,则an=n(n+1),由4445=1 980,得运动了1 980秒时它到点A44(44,44),又由运动规律知,A1,A2,An中,奇数点处向下运动,偶数点处向左运动,故粒子到达A44(44,44)时,向左运动38秒即运动了2 018秒,到达点(6,44),则所求点应为(6,44).7.某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”,自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件,已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是100-200n万元,则n的值为.答案10解析由题意,可得第n层的货物的价格

8、为an=nn-1,设这堆货物总价是Sn=10+21+32+nn-1,由可得Sn=11+22+33+nn,由-,可得Sn=1+1+2+3+n-1-nn=-nn=10-(10+n)n,Sn=100-10(10+n)n.这堆货物总价是100-200n万元,n=10.8.(2020山东高二期末)沿海某市为了进一步完善海防生态防护体系,林业部门计划在沿海新建防护林3万亩,从2020年开始,每年春季在规划的区域内植树造林,第一年植树1 200亩,以后每一年比上一年多植树400亩,假设所植树木全部成活.(1)到哪一年春季新建防护林计划全部完成?(2)若每亩新植树苗的木材量为2立方米,且所植树木每一年从春季开

9、始生长,到年底停止生长时木材量的年自然增长率为10%,到新建防护林计划全部完成的那一年底,新建防护林的木材总量为多少立方米?(参考数据:1.1113)解(1)设第n年春季植树为an亩,由题意,可知a1=1 200,an+1-an=400=d(常数),所以an为等差数列.设植树n年新建防护林计划全部完成,则1 200n+400=30 000,化简得n2+5n-150=0,所以n=10.2 020+10-1=2 029,所以到2029年新建防护林计划全部完成.(2)设从2020年开始,第n年年底种植树木到2029年底的木材量为数列bn,则b10=a1021.1,b9=a921.12,b1=a121

10、.110.则木材总量S=b1+b2+b10=2(1.1a10+1.12a9+1.110a1),1.1S=2(1.12a10+1.13a9+1.111a1),所以0.1S=2-1.1a10+d(1.12+1.13+1.110)+a11.111=2-1.14 800+400+1 2001.11110 960,解得S=109 600,所以到2029年底新建防护林的木材总量约为109 600立方米.关键能力提升练9.一个卷筒纸的内圆直径为4 cm,外圆直径为12 cm,一共卷60层,若把各层都视为一个同心圆,令=3.14,则这个卷筒纸的长度(精确到个位)为()A.17 mB.16 mC.15 mD.1

11、4 m答案C解析纸的厚度相同,且各层同心圆直径成等差数列dn,则纸的长度为l=d1+d2+d3+d60,其中d1+d2+d3+d60=60=480,则l=d1+d2+d3+d60=480=4803.14=1 507.215(m).故选C.10.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL.如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小,当他可以驾驶机动车时,至少需要经过(精确到小时)()A.1小时B.2小时C.4小时D.6小时答案C解析设n个小

12、时后才可以驾车,根据题意,可知每小时酒精下降的量成等比数列,公比为50%,进而可得方程0.3(1-50%)n0.02,得n,即n4,所以至少要经过4小时后才可以驾驶机动车.故选C.11.(2021江苏海门第一中学高二期末)算法统宗中有这样一个问题:“二百五十二里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走252里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.则最后一天走了()A.4里B.16里C.64里D.128里答案A解析由题意得此人每天走的路程构成公比为的等比数列,且前6项和为252.设首项

13、为a1,则有=252,解得a1=128.a6=1285=4.故选A.12.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图):ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3分别以A,B,C为圆心,AC,BA1,CA2为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线,然后又以A为圆心,AA3为半径画弧如此下去,则所得螺旋线CA1,A1A2,A2A3,A28A29,A29A30的总长度Sn为()A.310B.C.58D.110答案A解析根据弧长公式,知螺旋线CA1,A1A2,A2A3,A3n-2A3n-1,A3n-1A3n的长度分别为,2,3,3n,此数列是为首项,为公差,项数为3n的等差数列,根据等差

14、数列的求和公式,得Sn=3n=n(3n+1),此时n=10,易得螺旋线CA1,A1A2,A2A3,A28A29,A29A30的总长度Sn为310.13.(2021山东惠民第二中学高二期末)在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定,假设某种传染病的基本传染数R0=3(注:对于R01的传染病,要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径),那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为.(注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人

15、每人再传染R0个人为第二轮传染)答案4 095解析初始一名感染者,经过一轮传染后,感染人数为1+R0=4,经过二轮传染后,感染人数为4+4R0=16,经过三轮传染后,感染人数为16+16R0=64,则每一轮传染后的感染人数构成以4为首项,以4为公比的等比数列,设为an.到第n轮传染后,感染人数为an=44n-1=4n,所以由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为46-1=4 095.14.(2020湖北武汉高二期末)某学习软件以数学知识为题目设置了一项闯关游戏,共有15关,每过一关可以得到一定的积分,现有三种积分方案供闯关者选择.方案一,每闯过一关均可获得40积分;方案二

16、,闯过第一关可获得5积分,后面每关的积分都比前一关多5;方案三,闯过第一关可获得0.5积分,后面每关的积分都是前一关积分的2倍.若某关闯关失败则停止游戏,最终积分为闯过的各关的积分之和.设三种方案闯过n(1n15,且nN+)关后的积分之和分别为An,Bn,Cn,要求闯关者在开始前要选择积分方案.(1)求出An,Bn,Cn的表达式.(2)如果你是一个闯关者,为获得尽量多的积分,这几种积分方案该如何选择?小明通过试验后觉得自己至少能闯过12关,他应该选择第几种积分方案?解(1)按方案一闯过各关所得积分构成常数数列,故An=40n;按方案二闯过各关所得积分构成首项为5,公差为5的等差数列,故Bn=5

17、n+5=;按方案三闯过各关所得积分构成首项为,公比为2的等比数列,故Cn=(2n-1).(2)令AnBn,即40n,解得0nCn,即40n(2n-1),解得0n10,故当0nCn;当10n15,AnCn,故当能闯过的关数小于10时,应选择方案一;当能闯过的关数大于等于10时,应选择方案三.小明应该选择方案三.学科素养拔高练15.设黄河和洮河在汛期的水流量均为2 000 m3/s,黄河水的含沙量为2 kg/m3,洮河水的含沙量为20 kg/m3,假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1秒内交换1 000 m3 的水量,即从洮河流入黄河

18、1 000 m3的水混合后,又从黄河流入1 000 m3的水到洮河再混合.(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;(2)从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m3?(不考虑泥沙沉淀)解(1)用an,bn分别表示河流在经过第n个观测点时,洮河水和黄河水的含沙量,则a1=20,b1=2.由题意可知,b2=a1+b1=8,a2=a1+b2=14,即经过第二个观测点时,洮河水的含沙量为14 kg/m3,黄河水的含沙量为8 kg/m3.(2)由题意,可知bn=an-1+bn-1(n2,nN+),an=an-1+bn=an-1+bn-1(n2,nN+),河水中含沙量之差可考虑数列an-bn,由上式可知,an-bn=(an-1-bn-1)(n2,nN+),a1-b1=18,所以数列an-bn是以18为首项,为公比的等比数列,则an-bn=18n-1,令18n-11 800,n8,即从第8个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m3.