2021届高考数学二轮复习 专题能力训练15 直线与圆 文（含解析）.docx

1、专题能力训练15直线与圆一、能力突破训练1.已知直线l1:x+3y-7=0与直线l2:kx-y-2=0,若直线l1,l2与x轴、y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则k的值等于()A.-3B.3C.-6D.62.(2020全国,文8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B.2C.3D.23.直线y=kx+3与圆(x-1)2+(y+2)2=4相交于M,N两点,若|MN|23,则实数k的取值范围是()A.-,-125B.-,-125C.-,125D.-,1254.已知直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点,则“k=1”是“AOB=120”的()A.充分不

2、必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.6.公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆,后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(2,0),则满足|PA|=2|PB|的点P的轨迹的圆心为,面积为.7.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以点F为圆心,且与l相切的圆的方程为.8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过P作抛物线

3、准线的垂线,垂足为M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是.9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.(1)求O的方程;(2)若O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=23,求直线MN的方程;(3)设O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PAPB的取值范围.10.已知O:x2+y2=4,点A(3,0),以线段AB为直径的圆内切于O,记点B的轨迹为.(1)求曲线的方程;(2)直线AB交O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.11.已知过点A(0,1)

4、且斜率为k的直线l与C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OMON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.二、思维提升训练12.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离13.已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C.2,32 D.22,32 14.已知坐标原点为O,过点P(2,6)作直线2mx-(4m+n)y+2n=0(m,n不同

5、时为零)的垂线,垂足为M,则|OM|的取值范围是.15.在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为Pyx2+y2,-xx2+y2;当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:若点A的“伴随点”是点A,则点A的“伴随点”是点A;单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)16.在平面直角坐标系xOy中,已知C1:(x+3)2+(y-1)2=4和C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被C1截得的

6、弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与C1和C2相交,且直线l1被C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.专题能力训

7、练15直线与圆一、能力突破训练1.B解析:由题意可知直线l1,l2的斜率分别为kl1=-13,kl2=k.因为直线l1,l2与x轴、y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,所以直线l1,l2互相垂直.所以kl1kl2=-1,即-13k=-1,解得k=3.2.B解析:直线y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线y=k(x+1)垂直时,点(-1,0)到直线y=k(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1)和(-1,0)两点之间的距离,为2.故选B.3.B解析:当|MN|=23时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1,-2)到直线y=kx+

8、3的距离为4-(3)2=1,即|k+5|1+k2=1,解得k=-125.若使|MN|23,则k-125.4.A解析:圆心(0,0)到直线l:y=kx+1的距离为d=11+k2.若AOB=120,则有11+k2=212,解得k2=1,即k=1.若k=1,则AOB=120;但AOB=120,则k=-1或k=1,故选A.5.22解析:圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=|0-(-1)+1|2=2,所以弦长|AB|=2r2-d2=24-2=22.6.103,0649解析:设P(x,y),|PA|=2|PB|,(x+2)2+y2=2(x-

9、2)2+y2,即(x+2)2+y2=4(x-2)2+4y2,化简可得x-1032+y2=649.故圆心坐标为103,0,面积为649.7.(x-1)2+y2=4解析:在抛物线y2=4x中,2p=4,p=2,焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,以点F为圆心,且与x=-1相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.8.26-1解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为

10、|FC|=(2-1)2+(5-0)2=26,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=26-1.9.解(1)依题意,O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离,即r=41+3=2.所以O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=|m|5.由垂径定理,得m25+(3)2=22,即m=5.所以直线MN的方程为2x-y+5=0或2x-y-5=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得(x+2)2+y2(x-2)2+y2=x2+y2,即x2-y2=2.因为PAPB=(-2

11、-x,-y)(2-x,-y)=2(y2-1),且点P在O内,所以x2+y24,x2-y2=2.由此得y2|AA|.所以点B的轨迹是以A,A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=3,b=1,故曲线的方程为x24+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OBCD,则OBAB.设B(x0,y0),则x0(x0-3)+y02=0.又x024+y02=1,解得x0=23,y0=23.则kOB=22,kAB=2,则直线AB的方程为y=2(x-3),即2x-y-6=0或2x+y-6=0.11.解(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k21.解得4-7

12、3k4+73.所以k的取值范围为4-73,4+73.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.OMON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由题设可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.二、思维提升训练12.B解析:圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x

13、+y=0的距离d=|0+a|12+12=22a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2R2-d2=2a2-22a2=2a,由题意可得2a=22,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=(1-0)2+(1-2)2=2,显然R-r|MN|R+r,所以两圆相交.13.A解析:设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|2=22.点P到直线AB的距离为d.易知d-rdd+r,即2d32.又AB=22,SABP=12|AB|d=2d,2SABP6.14.5-5,5+5 解析:根据题意,直线2mx-(4m+n)y+2n=0,即m(2x-4y)-n(y-2)=0,则有2x-4y=0,y-2=0,

14、解得x=4,y=2,则直线恒过定点(4,2).设点Q(4,2),又MP与该直线垂直,且M为垂足,则点M的轨迹是以PQ为直径的圆,其方程为(x-3)2+(y-4)2=5.所以5-5|OM|5+5,即|OM|的取值范围是5-5,5+5.15.解析:对于,若令P(1,1),则其伴随点为P12,-12,而P12,-12的伴随点为(-1,-1),而不是P,故错误;对于,令单位圆上点的坐标为P(cosx,sinx),其伴随点为P(sinx,-cosx)仍在单位圆上,所以正确;设A(x,y)与B(x,-y)为关于x轴对称的两点,则A的“伴随点”为Ayx2+y2,-xx2+y2,B点的伴随点为B-yx2+y2

15、,-xx2+y2,A与B关于y轴对称,故正确;对于,取直线l:y=1.设其“伴随曲线”为C,其上任一点M(x,y),与其对应的直线l上的点为N(t,1).则由定义可知x=1t2+1,y=-tt2+1,2+2得x2+y2=1+(-t)2(t2+1)2=11+t2=x,整理得x2+y2-x=0,显然不是一条直线.故错误.所以正确的序号为.16.解(1)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d=22-2322=1.由点到直线距离公式,得|-3k-1-4k|k2+1=1,化简,得24k2+7k=0,解得k=0或k=-724.当k=0时,直线l的方程

16、为y=0;当k=-724时,直线l的方程为y=-724(x-4),即7x+24y-28=0.故所求直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P坐标为(m,n),直线l1,l2的方程分别为y-n=k(x-m)和y-n=-1k(x-m),即kx-y+n-km=0,-1kx-y+n+1km=0.直线l1被C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等,两圆半径相等,由垂径定理得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等.|-3k-1+n-km|k2+1=-4k-5+n+1km1k2+1,化简,得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5.关于k的方程有无穷多解,2-

17、m-n=0,m-n-3=0或m-n+8=0,m+n-5=0.解得m=52,n=-12或m=-32,n=132.故点P坐标为52,-12或-32,132.17.解圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y07,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线lOA,所以直线l的斜率为4-02-0=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|26-7+m

18、|5=|m+5|5.因为BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.将代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5(t+4)-62+(3-7)25+5,解得2-221t2+221.因此,实数t的取值范围是2-221,2+221.