2024年高考数学二轮复习：解三角形压轴综合小题（学生版）.pdf

1、1解三角形压轴综合小题 目录题型 01 边角互化求角题型 02 判断三角型形状题型 03 三角形几解判断题型 04 正余弦应用：求面积题型 05 正余弦应用：求长度题型 06 正余弦应用：比值型求值题型 07 最值型：角与对边互化面积型题型 08 最值型：周长边长范围题型 09 最值型：比值范围题型 10 最值型：余弦定理齐次式题型 11 最值型：正切题型 12 三角形角平分线型题型 13 三角形中线型题型 14 三角形重心型题型 15 三角形外接圆高考练场题型 01 边角互化求角【解题攻略】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2

2、)从式子结构来选择边角互化的方法(1)边化角：利用正弦定理asinA=bsinB=csinC=2r(r 为 ABC 外接圆半径)得 a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC；(2)角化边：利用正弦定理：sinA=a2r，sinB=b2r，sinC=c2r利用余弦定理：cosA=b2+c2-a22bc辅助角公式asin+bcos=a2+b2aa2+b2 sin+ba2+b2 cos；aa2+b22+ba2+b22=12(1)正弦形式a2+b2sin(+)：sin cos cos sin=sin()其中：cos=aa2+b2,sin=ba2+b2.(2)余弦形式a2+b2cos(-)：

3、cos cos sin sin=cos()其中：sin=aa2+b2,cos=ba2+b2.1(2022 下黑龙江哈尔滨高三校联考)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a-bc-b=sinCsinA+sinB，则 A=()A.6B.3C.23D.3 或 232(2021 下内蒙古赤峰高三校考阶段练习)在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若 b=2asinB，则角 A 等于()A.30B.45C.60D.30 或 150【变式训练】1(2023 上河南焦作高三石家庄市第九中学校考)在 ABC 中，A,B,C 的对边分别为 a，b，c，若 b

4、cos A+B=c-2acosB，则 B=()A.6B.3C.2D.232(2023湖南校联考模拟预测)在 ABC 中，BC=3，sinB+sinC=103sinA，且 ABC 的面积为12 sinA，则 A=()A.6B.4C.3D.233(2023 上黑龙江佳木斯高三佳木斯一中校考阶段练习)在 ABC 中，a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，已知 b=3,cosBcosC=32a-c，则 cosB 等于()A.12B.32C.-12D.-32题型 02 判断三角型形状【解题攻略】判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点 sinA=sin

5、B A=B ABC 为等腰三角形 sinA=cosB A+B=2 或 A-B=2 ABC 直角三角形或钝角三角形3 sin2A=sin2B A=B 或 A+B=2 ABC 为等腰三角形或钝角三角形 cos2A=cos2B A=B ABC 为等腰三角形 a2+b2=c2 cosC=0 ABC 为直角三角形 a2+b2-c2 0 cosC 0或 a2+c2-b2 0 cosB 0 ABC 为钝角三角形或 b2+c2-a2 0 cosA 0 cosC 0且 a2+c2-b2 0 cosB 0 ABC 为锐角三角形且 b2+c2-a2 0 cosA 01 在 ABC 中，a,b,c 是三角形的三条边，

6、若方程 x2-2xsinC+sin2A+sin2B=0 有两个相等的实数根，则ABC 是()A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.以上都有可能2 在 ABC 中，已知 sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB 1，则 ABC 是()A.直角三角形；B.锐角三角形；C.钝角三角形；D.等边三角形【变式训练】1 在 ABC 中，1+cosA=b+cc，则三角形的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形D.等腰三角形2 记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a+b+cb+c-a=2bc，那么 ABC 是()A.锐角三角形B.直角三

7、角形C.钝角三角形D.无法确定3 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 c2-a2-b22ab 0，则 ABC 一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形题型 03 三角形几解判断【解题攻略】判断三角形解的个数有 2 种：画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。若无交点，则无解；若有一个交点，则有一个解；若有两个交点，则有两个解；若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。4公式法：运用正弦定理进行求解。a=bsinA，=0，则一个解；a bsinA，0，则两个解；a bsinA，0，则无解。1 在 ABC 中，a=

8、20,b=10,B=32，则此三角形的解的情况是()A.有两解B.有一解C.有无数个解D.无解2 在 ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，若 a=2,b=1,B=29，则此三角形解的情况是()A.无解B.有一解C.有两解D.有无数解【变式训练】1 在 ABC 中，a=80，b=100，A=45，则此三角形解的情况是()A.一解B.两解C.一解或两解D.无解2 在 ABC 中，已知 b=4 5，c=3 5，C=30，则此三角形的解的情况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定3 在 ABC 中，已知 a=18，b=20，A=150，这个三角形解的情况是A

9、.一解B.两解C.无解D.不确定题型 04 正余弦应用：求面积【解题攻略】三角形面积：SABC=12 absin C=12 bcsin A=12 acsin B=abc4R SABC=12(a+b+c)r(r 是切圆的半径)1 记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 asinB=bsinC，则 ABC 的面积为()A.a2sin2C2B.b2sin2A2C.c2sin2B2D.3 a2+b2+c2122 已知 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=2 17,b=5 2,cosA=45，则 ABC 的面积为()A.36 2B.18 3C.27D.36【

10、变式训练】1(2022 春河南许昌高三统考期末)如图，在平面四边形 ABCD 中，CD=2，ADC=45，ACD5=105，B=60，AB+BC=4，则三角形 ABC 的面积为()A.3B.32C.7 34D.7 322(2023 春辽宁沈阳高三沈阳二中校考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设 ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，面积为 S，“三斜求积”公式表示为 S=14 a2c2-a2+c2-b222.在 ABC 中，若 a2sinC=6sinA，a+c2=16+b2，则用“三斜求积”公式求得 ABC 的面积为.3(2019

11、陕西宝鸡统考二模)已知三角形的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a=2，b2-c2=6，则角 A 最大时，三角形 ABC 的面积等于题型 05 正余弦应用：求长度【解题攻略】.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.1(2023 下江西萍乡高三统考)已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，若 b=

12、4+2 2-c，cosB=34，tanC=-7，则 a=2(2023 下江苏盐城高三校联考)ABC 中，A=23，D 在 BC 上，AD AC，AD=2，则1AC+2AB=【变式训练】1(2023 下广西钦州高三统考)在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 bcosC+ccosB=1，则 a=.若 cos B2=24，c=2，则 b=.2(2022 下高三校考单元测试)在 ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，又 a=2.c=6.C=3，则 b=.3(2023 上山东日照高三统考开学考试)在 ABC 中，AB=2，D 为 AB 中点，CD=2，BAC=62

13、BCD，则边 AC 的长为.题型 06 正余弦应用：比值型求值【解题攻略】最值范围：分式比值型化边为角型1.通过正余弦定理，把边转化为角。2.利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式3.对单变量(单角)求最值。1(2022 上四川成都高三成都七中校考阶段练习)在 RtABC 中，斜边为 AB，点 D 在边 BC 上，若tanBAD=24，sinADC sinB=13，则 AB2+AD2AB AD=.2(2023 下福建泉州高三校联考阶段练习)记 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，cosA=45，若ABC 的面积为 3，则当 ABC 的

14、周长取到最小值时，ab=【变式训练】1(2022 上江苏南通高三统考)在 ABC 中(角 A 为最大内角，a，b，c 为 A、B、C 所对的边)和A1B1C1中，若 sinA=cosA1，sinB=cosB1，sinC=cosC1，则 4 5SABCa2-b2-c2=.2(2020四川成都高三双流中学校考阶段练习)在 ABC 中，2sin2 A2=3sinA，tanB=3tanC，则ACAB=.3 已知 ABC 中，设角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，ABC 的面积为 S，若 3sin2B+2sin2C=sinA sinA+2sinBsinC，则 Sb2 的值为()A.14B.12C

15、.1D.2题型 07 最值型：角与对边互化面积型【解题攻略】注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边 a,b,c 的齐次式或关于角的正弦 sinA,sinB,sinC 的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论1(2023全国高三专题练习)在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 B=60，b=4，则ABC 面积的最大值为()7A.3 3B.4 3C.5 3D.62(2022 秋黑龙江高三哈尔滨三中校考)在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 asin A+

16、C2=bsinA，b=1，则 ABC 面积的最大值为()A.32B.34C.36D.12【变式训练】1(2023 秋辽宁铁岭高三校考开学考试)在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 c2=(a-b)2+ab，且 c=3，则 ABC 面积的最大值为.2(2023 秋广东珠海高三校考开学考试)已知 a，b，c 分别为 ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a=4，且 4+bsinA-sinB=c-bsinC，则 ABC 面积的最大值为.3(2023 秋四川成都高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A=3，a=

17、2，则 ABC 面积的最大值为题型 08 最值型：周长、边长范围【解题攻略】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值1(2021 上河南濮阳高三濮阳市油田第二高级中学校考阶段练习)锐角 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且满足(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC，

18、若 a=3，则 b+c 的取值范围是()A.(3,4B.(3,2 3C.(3,3 3D.(3,62(2023 上四川南充高三四川省南充高级中学校考阶段练习)设锐角 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 A=3,a=3，则 b2+c2+bc 的取值范围为()A.(1，9B.(3，9C.(5，9D.(7，9【变式训练】1(2023 下高三单元测试)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sin(A+C)cosBb+cosCc=sinAsinC，B=3，则 a+c 的取值范围是()A.32,3B.32,3C.32,3D.32,32(2021河北唐山统考三模

19、)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，角 A 的内角平分线交 BC8于点 D，若 a=1，1b+1c=2，则 AD 的取值范围是3(2023 上四川宜宾高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习)ABC 中，若 b=3,B=600，则ABC 周长最大值为题型 9 最值型：比值范围1(2022 上广西桂林高三校考阶段练习)在 ABC 中，角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c，设 ABC 的面积为 S，则Sa2+4bc的最大值为()A.216B.312C.316D.2182(2023 上江苏无锡高三江苏省南菁高级中学校考阶段练习)在锐角 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别

20、为a,b,c，S 为 ABC 的面积，且 a2=2S+(b-c)2，则 2sin2B+sin2CsinBsinC的取值范围为()A.4315,5915B.2 2,4315C.2 2,5915D.2 2,+【变式训练】1(2023 上贵州黔东南高三统考)在锐角 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 ABC 的面积S=bc 1-cosA，则 a2bc 的取值范围为()A.45,+B.45,1615C.45,3235D.3235,16152(2022全国高三专题练习)已知 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 A=2B，则 cb+2ba 的取值范围为3(202

21、2 下重庆高三重庆市彭水第一中学校校考)在锐角 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2=b2+bc，则 ab 的取值范围是题型 10 最值型：余弦定理齐次式1(2022全国高三课时练习)锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2+b2=5c2，则 cosC的取值范围是()A.12，63B.12，1C.45，63D.45，12(2020全国高三课时练习)锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2+b2=4c2，则 cosC的取值范围为()A.12,3 35B.34,3 35C.12,155D.34,155【变式训练】

22、91(2022四川成都二模(理)已知 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 c=1,4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3，则 tanA 的最大值为()A.74B.73C.3 77D.4 772(2022全国高三专题练习)已知 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c若 4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3c2，则 cosA 的最小值为()A.23B.73C.74D.343(2020河南校联考二模)在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 BC 边上的高为24 a，则 cb+bc 的最大值是题型 11 最值型：正切【解题

23、攻略】正切：1.tan =tan tan1 tantan；2.在三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC1(2023 上辽宁丹东高三校联考阶段练习)在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 a2+acosB=c2，则 tanB-tanA2tanA tanB 的取值范围是()A.12,33B.34,12C.0,12D.1,2 332(2023 下云南保山高三校考)已知 ABC 的三个内角分别为 A，B，C，若 sin2C=2sin2A-3sin2B，则tanB 的最大值为()A.52B.53C.3 52D.2 53【变式训练】1(202

24、2黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考二模)在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，若 sin(A+C)=2Sb2-a2，则 tanA+13tan(B-A)的取值范围为()A.2 33,+B.2 33,43C.2 33,43D.2 33,432(2023 上全国高三专题练习)在锐角 ABC 中，a2-b2=bc，则角 B 的范围是，5tanB-5tanA+6sinA 的取值范围为.3(2023全国高三专题练习)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2+4b2=c2，则 tanB的最大值为10题型 12 三角形角平分线型【解题攻略】角平

25、分线定理(大题中，需要证明，否则可能会扣过程分)：ABBD=ACCD三角形角平分线的处理方法：SABC=SACD+SABD1(2022贵州贵阳高三开学考试(理)已知 ABC 的内角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c，内角 A 的角平分线交边 BC 于 D 点，且 AD=4若(2b+c)cosA+acosC=0，则 ABC 面积的最小值是()A.16B.16 3C.64D.64 32(2023全国高三专题练习)在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC=120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD=1，则 4a+c 的最小值为()A.8B.9C.10D.7【

26、变式训练】1(2022安徽巢湖市第一中学模拟预测(理)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB)，若角 A 的内角平分线 AD 的长为 2，则 4b+c 的最小值为()A.10B.12C.16D.182(2021全国高三专题练习)已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A=60，b=3c，角 A的平分线交 BC 于点 D，且 BD=7，则 cosADB 的值为()A.-217B.217C.2 77D.2173(2022陕西西安三模(理)在 ABC 中，B=120，AB=2，A 的角平分线 AD

27、的长为3，则AC=()11A.2B.3C.6D.2 3题型 13 三角形中线型【解题攻略】中线的处理方法1.向量法：AD=12(AB+AC)AM 2=14 AB 2+2AB AC+AC 22.双余弦定理法(补角法)：如图设 BD=DC，在 ABD 中，由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2 AD BD cosADB，在 ACD 中，由余弦定理得 AC2=AD2+DC2-2 AD DC cosADC，因为 AMB+AMC=，所以 cosADB+cosADC=0所以+式即可3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形4.中线分割的俩三角形面积相等1 在 ABC 中，内角 A,B,C 的对

28、边分别为 a,b,c,b-3asinA=bcos2A,a=1，且 AC 边上的中线 BM=32，则()A.3B.7C.1 或 2D.2 或 32 在 ABC 中，E，F 分别是 AC,AB 的中点，且 3AB=2AC，若 BECF t 恒成立，则 t 的最小值为()12A.34B.78C.1D.54【变式训练】1 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c=2 2，点 P 是 AB 的中点，若 PC=a-b，则ABC 面积的最大值为()A.3B.3C.2 3D.122 在 ABC 中，若 3sinC=2sinB,点 E,F 分别是 AC,AB 的中点，则 BECF 的取

29、值范围为()A.14，78B.13，78C.14，67D.13，673(2022河南郑州四中高三阶段练习(理)在等腰 ABC 中，AB=AC，若 AC 边上的中线 BD 的长为 3，则 ABC 的面积的最大值是()A.6B.12C.18D.24题型 14 三角形重心型【解题攻略】中线的处理方法1.向量法：2.补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理131 在钝角 ABC 中，a,b,c 分别是 ABC 的内角 A，B，C 所对的边，点 G 是 ABC 的重心，若 AG BG，则Ccos的取值范围是()A.B.C.D.2(2024 秋福建福州高三福建省福清第一中学校考阶段练习)已知点 G

30、 为三角形 ABC 的重心，且GA+GB=GA-GB，当 C 取最大值时，Ccos=()A.B.C.D.【变式训练】1(2023全国高三专题练习)在锐角 ABC 中，a,b,c 分别是 ABC 的内角 A、B、C 所对的边，点 G是 ABC 的重心，若 AG BG，则Ccos的取值范围是()A.B.C.D.2(2020 春天津高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习)已知 ABC 中，为 ABC 的重心，则A.B.C.D.3(2023全国高三专题练习)锐角 ABC 中，a,b,c 为角 A、B、C 所对的边，点 G 为 ABC 的重心，若AG BG，则Ccos的取值范围为()A.，B.，C.

31、，D.，题型 15 三角形外接圆【解题攻略】三角形所在的外接圆的处理方法：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R，其中 R 为 外接圆半径141(2023 秋辽宁沈阳高三沈阳市第一二中学校考开学考试)在 ABC 中，是 ABC 的外接圆上的一点，若，则的最大值是()A.1B.C.D.2(2023全国高三专题练习)已知锐角 ABC 满足，且 O 为 ABC 的外接圆圆心，若，则的取值范围为()A.B.C.D.【变式训练】1(2022 春上海闵行高三

32、上海市七宝中学校考)若是 ABC 外接圆圆心，A、B、C 是 ABC 的内角，若，则实数的值为()A.B.C.D.2(2023全国高三专题练习)设为锐角 ABC 的外心(三角形外接圆圆心)，若，则()A.B.C.D.3(2022 春北京高三校考期末)已知三角形外接圆的半径为 1为圆心，且，则等于()A.B.C.D.高考练场1(2021安徽安庆统考二模)在 ABC 中，分别是，的对边.若，且，则的大小是()A.B.C.D.152 在中，则三角形的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.等腰三角形3 在中，则此三角形的解的情况是()A.有两解B.有一解C.无解D.有无数个解4(20

33、23 春广东东莞高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习)在 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且，若，则 ABC 的外接圆直径为()A.B.C.D.5(2023 春云南高三云南师大附中校考阶段练习)在 ABC 中，AB=2，且，则三角形 ABC 的面积为.6(2023四川成都校联考二模)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，AcosB+Ctantan=2BCtantan，则 bc=.7 ABC.的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c.若，则()A.5B.4C.3D.28 (2023 秋安徽六安高三六安二中校联考阶段练习)在 ABC 中，当取最大

34、值时，ABC 的面积为.9(2023 下湖南长沙高三校考开学考试)已知 ABC 的三边长互不相等，角，的对边分别为，若，则的取值范围是.10(2023全国高三专题练习)在锐角 ABC 中，则中线 AD 长的取值范围是;11(2024河南鹤壁鹤壁高中校考二模)在 ABC 中，记角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，面积为 S，则的最大值为12(2022河南方城第一高级中学模拟预测(理)已知 ABC 中，D 为边 BC 的中点，若，则 BAD 的余弦值为()16A.B.C.D.13.在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，若角A 的内角平分线的长为 3，则的最小值为()A.21B.24C.27D.36广西柳州市 2023 届高三第二次模拟考试数学(理)试题14(2022 下四川遂宁高三射洪中学校考阶段练习)如图所示，ABC 是边长为 6 的等边三角形，G 是它的重心，过 G 的直线分别交线段 AB，AC 于 E，F 两点，当在区间上变化时，则的取值范围是()A.B.C.D.15(2022四川巴中统考模拟预测)在锐角 ABC 中，角，的对边分别为，若，则，的取值范围为