57、经典几何模型之“阿氏圆”.pdf

1、经典几何模型之“阿氏圆”段廉洁一.模型名称由来【模型背景】“PA+kPB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k值为 1 时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点 P 所在图像的不同来分类，一般分为 2 类研究。即点 P 在直线上运动和点 P在圆上运动。其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯

2、圆”，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA=kPB（k1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。二.模型建立如图 1 所示，O 的半径为 r，点 A、B 都在O 外，P 为O 上一动点，已知 r=kOB，连接 PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P 点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“kPB”的大小是关键，如图 2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=kr，则可说明BPO 与PCO 相似，即 kPB=PC。故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为“PA+

3、PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点,P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。如图 3三.“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心 O（一般将含有 k 的线段两端点分别与圆心 O 相连），即连接 OB、OP；第二步：计算出线段 OP 与 OB 及 OP 与 OA 的线段比，找到线段比为 k 的情况，如例子中的kOBOP 第三步：在 OB 上取点 C，使得OBOPOPOC；（核心关键步骤）第四步：连接 AC，与O 的交点即为点 P【核心步骤另单独解析】回顾图 2，在 OB 上取点 C 构建OBOPOPOC 的目的是为了形成“母子型相似模型

4、”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。将图 2 中BPO 单独提取出，如图 4，上色渲染的PCOBPO，就是“母子型相似模型”，“母子型相似模型”的特点如图 4，PCO 与BPO 有公共角O，且OBOPOPOC（在某些角度处理策略题中，“母子型相似”的主要特征是0=O、B=OPC）（构造出PCOBPO 后可以得到OBOPOPOC，进而推出OCOBOP2，即“半径的平方=原有线段构造线段”，确定 C 的位置后，连接 AC，求出 AC 长度“阿氏圆”即可破解）四.“阿氏圆”典型例题讲解例 1：如图 1，在 RtABC 中，ACB=90，C

5、B=4，CA=6，C 半径为 2，P 为圆上一动点，连接 AP、BP，求 AP+BP21的最小值.解答：如图 2，连接 CP，因为 CP=2，AC=6，BC=4，简单推算得31ACCP，21CBCP，而题目中是求“AP+BP21”其中的“k=21”，故舍弃在 AC 上取点，应用“21CBCP”，所以在CB 上取一点 D，使 CD=1，则有21BPPDCBCPCPCD，无论 P 如何移动，PCD 与BCP始终相似，故 PD=BP21始终成立，所以 AP+BP21=AP+PD，其中 A、D 为定点，故 A、P、D 三点共线时最小，AP+BP21=AP+PD=AD=22CDAC=37（思考：若求13

6、BPPA呢？）（大家仔细看第一题的解答过程，边看边与前面的“破解策略”对照，动脑筋悟出“核武器”）例 2：已知扇形 COD 中，COD=90，OC=6，OA=3，OB=5，点 P 是弧 CD 上一点，求2PA+PB 的最小值.解答：首先连接 OP，因为 OP=6，OA=3，OB=5，所以21OPAO、65OPBC，题目求的是“2PA+PB”，其中的“k=2”与之相关的是21OPAO，故在 OA 上取点，考虑到是 2PA，故在 OC 上取点 H，使 OH=12，则有21PHAPOHOPOPOA，无论 P 如何移动，PAO 与HPO 始终相似，故PH=2PA 始终成立，所以 2PA+PB=PH+P

7、B，其中 H、B 为定点，故 H、P、B 三点共线时最小，2PA+PB=PH+PB=22OBOH=13.（思考：若求65APPB呢？）例 3：如图 1，已知 AC=6，BC=8，AB=10，C 的半径为 4，点 D 是C 上的动点，连接AD、BD，则 AD+BD21的最小值为？解答：首先连接 CD，因为 CD=4，CB=8，CA=6，所以21CBCD、32CACD，题目求的是“AD+BD21”，其中的“k=21”与之相关的是21CBCD，故在 CB 上取点，故在 CB 上取点H，使 CH=2，则有21BDHDCBCDCDCH，无论 P 如何移动，DHO 与BDC 始终相似，故 HD=BD21始

8、终成立，所以 AD+BD21=AD+DH，其中 H、A 为定点，故 H、D、A 三点共线时最小，AD+BD21=AD+DH=10222 ACCH.（思考：若求23BDAD呢？）例 4：如图 1，在 RtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=3，点 D 为ABC 内一动点，且满足 CD=2，则 AD+BD32的最小值？解答：此题关键在于看出是“阿氏圆模型”，首先从问题看，可能是“阿圆”，接着题目条件“CD=2”更加确定此题有隐藏圆，如图 2，D 在 r=2 的C 上，下面步骤完全与上相同，故略。答案：4 103例 5：如图 1，在 RtABC 中，C=90，CA=3，CB=4，C 的半径为

9、2，点 P 是C 上一动点，则 AP+PB21的最小值？解答：如图 2，连接 CP，口算32CACP、21CBCP，故选择在 CB 上取点，构造“核武器”“母子型相似模型”，取点 H，使 CH=1，则有21BPPHCBCPCPCH，所以无论 P 如何移动，PCH 与BCP 始终相似，故 PH=BP21始终成立，所以 AP+PB21=AP+PH，其中 H、A 为定点，故 H、P、A 三点共线时最小，AP+PB21=AP+PH=1022 ACCH.（思考：若求23BPAP呢？）例 6：如图 1，正方形 ABCD 边长为 4，B 的半径为 2，P 是B 上一动点，则2 PD+PC4的最小值？解答：此

10、题，初学者有可能会陷入误区，以为很难，因为按照前面题的套路21BCBP、21BABP（因为前面我们都是比较这三条线段啊），感觉好像和“2 PD+PC4”没关系啊！实际上对“阿氏圆”套路的理解不够深，我们研究的线段是圆心到“一动两点”，在此题中，“一动”指的是“动点 P”，“两定”不是指 A、C，而是要看问题“2 PD+PC4”问题中 P为动点，C、D 才是定点，故本题应该比较21BCBP，42242BDBP，故选择在 BD 上取点 H（如图 2），使得 BH=22，则有42PDPHBDBPBPBH，所以无论 P 如何移动，PBH与DBP 始终相似，故 PH=42 PD 始终成立，所以2 PD+

11、PC4=4（PC+42 PD）=4（PC+PH），其中 H、C 为定点，故 H、P、C 三点共线时最小，2 PD+PC4=4（PC+42 PD）=4（PC+PH）=4CH，CH=225)27()21(2222MCPM，故答案为 102.（思考：若求12PDPC呢？）例 7：如图 1，在已知菱形 ABCD 的边长为 4，B=60，B 的半径为 2，P 为B 上一动点，则PCPD63的最小值？解答：比较 BP、BC、PD，得63BDBP，21BCBP，故在 BD 上取点 H，使得 BH=33，故63PDPHBDBPBPBH，所以 PH=63 PD，PCPD63=6（PC+63 PD）=6（PC+P

12、H）=6111222 MCHM（思考：若求12PDPC呢？）例 8：在平面直角坐标系中，A（2,0）、B（0,2）、C（4,0）、D（3,2），P 是AOB 外部的第一象限内一动点，且BPA=135，则 2PD+PC 的最小值是？解答：首先从问题，大概看出是“胡不归”或者“阿氏圆”的问题，然后 P 是动点，但是AB 是定线段，BPA=135是定值，属于“定弦定角”“隐圆模型”，故构建O，如图 2，然后下面过程略，答案：4 2例 9：如图 1，在 RtABC 中，AB=9，BC=8，ABC=60，A 的半径为 6，P 是A 上的动点，连接 PB、PC，则 3PC+2PB 的最小值？解答：如图 2

13、，取 AH=4，APHABP，故 PH=32 BP，所以 3PC+2PB=3（PC+32 BP）=3（PH+PC）=3CH，利用CBA=60BC=8，可以求出 BH=4，进而可知 HM=1，CM=34，故 CH=7五.“阿氏圆”实战训练练 1：如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 内，内切圆记为O，P 是O 上一动点，则 2PB+PC的最小值为？（答案：2 3）练 2：如图，等边ABC 的边长为 6，内切圆记为O，P 是O 上一动点，则 2PB+PC 的最小值为？（答案：3 7）练 3：（2017兰州）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 AB 交于 A（4，4），B（0，4）两点，直线

14、 AC：y=21 x6 交 y 轴于点 C点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EFx轴交 AC 于点 F，交抛物线于点 G（1）求抛物线 y=x2+bx+c 的表达式；（2）连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标；（3）在 y 轴上存在一点 H，连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以 A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E，H 的坐标；在的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为E 上一动点，求21 AM+CM 它的最小值答案：（1）224yxx（2）G（-2,4）（3）E（-2,0）、H（0，-1）5 22练 4：（2018 西北工业大学附属中学中考模拟压轴题）【问题提出】（1）如图 1，在ABC 中，AB=AC，BD 是 AC 边上的中线，请用尺规作图做出 AB 边上的中线 CE，并说明 BD=CE；【问题探究】（2）如图 2，已知点 P 是边长为 6 的正方形 ABCD 内部一动点，PA=3，求PC+21 PD 的最小值；【问题解决】（3）如图 3，在矩形 ABCD 中，AB=18,BC=25，点 M 是矩形内部一动点，MA=15，当 MC+53 MD 最小时，画出点 M 的位置，并求出 MC+53 MD 的最小值.答案：（1）略（2）7.5（3）1452