2021版数学北师大版攻略大一轮复习精练：11-4　统计（试题部分） WORD版含解析.docx

1、11.4统计探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.随机抽样理解随机抽样的必要性和重要性会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样方法2015北京文,4分层抽样2.统计图表会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图,体会它们各自的特点2016北京文,17统计图表的理解与应用样本估计总体3.用样本估计总体理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想会用随机抽样的

2、基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题2018北京文,17方差古典概型的概率2017北京文,17用样本特征估计总体特征统计图表分析解读1.掌握简单随机抽样、分层抽样等常用抽样方法,体会两种抽样方法的区别与联系及具体的操作步骤.2.会用样本的频率分布估计总体的分布,会用样本的数字特征估计总体的数字特征.3.样本数字特征及频率分布直方图为高考热点.有关统计内容及方法主要以选择题、填空题的形式呈现;抽样方法和各种统计图表与概率的有关内容相结合也会出现在解答题中.破考点 练考向【考点集训】考点一随机抽样1.(2018课标文,14改编)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差

3、异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样和分层抽样,则比较合适的抽样方法是.答案分层抽样2.某校高三共有720人,其中男生480人,女生240人,现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生进行问卷调查,则抽取男生的人数为.答案60考点二统计图表3.(2015陕西,2,5分)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案C4.(2018江苏,3,5分)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为.8999011答案905.(201

4、5湖北文,14,5分)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间0.3,0.9内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a=;(2)在这些购物者中,消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为.答案(1)3(2)6 000考点三用样本估计总体6.(2018课标文,19,12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0

5、.6)0.6,0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)频数151310165(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解析(1)(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.20.1+10.1+2.60.1+20.05=0.48

6、,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x1=150(0.051+0.153+0.252+0.354+0.459+0.5526+0.655)=0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x2=150(0.051+0.155+0.2513+0.3510+0.4516+0.555)=0.35.估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)365=47.45(m3).7.(2019天津文,15,13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利

7、息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.员工项目ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人解析本题

8、主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算素养.(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6910,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种.(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,

9、E,F,共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=1115.思路分析(1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满足题意的基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.失分警示在列举基本事件时应找好标准,做到不重不漏.8.(2019北京昌平二模文,17)某学校为了解学生的体质健康状况,对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试.现从两个年级学生中各随机抽取20人,将他们的测试数据用茎叶图表示如下:国家学生体质健康标准的等级标准如下表.规定:测试数据60,体质健康为合格.等级优秀良好及格不及格测试数据90,10080,8960,790,59(1)从该校高二年级学生中随机

10、抽取一名学生,试估计这名学生体质健康合格的概率;(2)从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生,求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率;(3)设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为x1,s12,高二学生测试数据的平均数和方差分别为x2,s22,试比较x1与x2、s12与s22的大小.(只需写出结论)解析(1)高二年级学生样本中合格的学生数为3+4+4+4=15,样本中学生体质健康合格的频率为1520=34,所以从该校高二年级学生中随机抽取一名学生,估计这名学生体质健康合格的概率为34.(2)设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是93,94,96的学生分别为a1,a2,a3,高

11、二年级测试数据是90,95,98的学生分别为b1,b2,b3.选取的两名学生构成的基本事件空间为(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),总数为9,选取的测试数据平均数大于95的两名学生构成的基本事件空间为(a1,b3),(a2,b3),(a3,b2),(a3,b3),总数为4,所以从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生,选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为49.(3)x1x2,s12s22.炼技法 提能力【方法集训】方法1频率分布直方图的应用1.(2018北京昌平二模,17

12、)为评估大气污染防治效果,调查区域空气质量状况,某调研机构从A,B两地区分别随机抽取了20天的观测数据,得到A,B两地区的空气质量指数(AQI),绘制如下频率分布直方图:A地区B地区根据空气质量指数,将空气质量状况分为以下三个等级:空气质量指数AQI(0,100)100,200)200,300)空气质量状况优良轻中度污染重度污染(1)试根据样本数据估计A地区当年(365天)的空气质量状况为“优良”的天数;(2)若分别在A、B两地区上述20天中,空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天,求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.解析(1)从A地区抽取的20天中随机抽取一天,这一天

13、空气质量状况为“优良”的频率为(0.008+0.007)50=0.75,估计A地区当年(365天)的空气质量状况为“优良”的概率为0.75,则估计A地区当年(365天)的空气质量状况为“优良”的天数为3650.75274.(2)A地区20天中空气质量指数在150,200)内有200.00350=3(天),设为a1,a2,a3,空气质量指数在200,250)内有200.00150=1(天),设为a4,B地区20天中空气质量指数在150,200)内有200.00250=2(天),设为b1,b2,空气质量指数在200,250)内有200.00350=3(天),设为b3,b4,b5.设“A,B两地区的

14、空气质量等级均为重度污染”为事件C,则基本事件空间=a1b1,a1b2,a1b3,a1b4,a1b5,a2b1,a2b2,a2b3,a2b4,a2b5,a3b1,a3b2,a3b3,a3b4,a3b5,a4b1,a4b2,a4b3,a4b4,a4b5,共20个基本事件,C=a4b3,a4b4,a4b5,事件C包含3个基本事件,所以A,B两地区在抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率P(C)=320.2.(2019北京东城期末,16)某中学有学生500人,学校为了解学生的课外阅读时间,从中随机抽取了50名学生,获得了他们某一个月课外阅读时间的数据(单位:小时),将数据分为5组:10,12

15、),12,14),14,16),16,18),18,20,整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的x的值;(2)试估计该校所有学生中,课外阅读时间不小于16小时的学生人数;(3)已知课外阅读时间在10,12)的样本学生中有3名女生,现从课外阅读时间在10,12)的样本学生中随机抽取3人,记X为抽到女生的人数,求X的分布列与数学期望E(X).解析(1)由0.052+0.082+0.102+0.122+2x=1,可得x=0.15.(3分)(2)0.102+0.052=0.30,即课外阅读时间不小于16小时的学生样本的频率为0.30.5000.30=150,所以可估计该校所有学生

16、中,课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150.(6分)(3)课外阅读时间在10,12)的学生样本的频率为0.082=0.16,500.16=8,即课外阅读时间在10,12)的学生样本人数为8,8名学生包含3名女生,5名男生,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C30C53C83=528;P(X=1)=C31C52C83=1528;P(X=2)=C32C51C83=1556;P(X=3)=C33C50C83=156.所以X的分布列为X0123P52815281556156故X的期望E(X)=0528+11528+21556+3156=98.(13分)方法2样本的数字特征及

17、其应用3.(2019课标全国,3,5分)西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位,阅读过红楼梦的学生共有80位,阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位,则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8答案C4.(2018北京丰台一模,18)某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动.会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分),每多走2千步再积20分(不足2千步不积分).为了解会员的健

18、步走情况,工会某天从系统中随机抽取了1 000名会员,统计了当天他们的步数,并将样本数据分为3,5),5,7),7,9),9,11),11,13),13,15),15,17),17,19),19,21九组,整理得到频率分布直方图:(1)求当天这1 000名会员中步数少于11千步的人数;(2)从当天步数在11,13),13,15),15,17)的会员中按分层抽样的方式抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人积分之和不少于200分的概率;(3)写出该组数据的中位数(只写出结果).解析(1)这1 000名会员中健步走的步数在3,5)内的人数为0.0221 000=40;健步走的步数在5,7)内的

19、人数为0.0321 000=60;健步走的步数在7,9)内的人数为0.0521 000=100;健步走的步数在9,11)内的人数为0.0521 000=100.40+60+100+100=300.所以这1 000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300.(2)易知按分层抽样的方法,在11,13)内应抽取3人,记为a1,a2,a3,每人的积分都是90分;在13,15)内应抽取2人,记为b1,b2,每人的积分都是110分;在15,17)内应抽取1人,记为c,积分是130分.从这6人中随机抽取2人,有a1a2,a1a3,a1b1,a1b2,a1c,a2a3,a2b1,a2b2,a2c,a3b1

20、,a3b2,a3c,b1b2,b1c,b2c,共15种取法,所以从这6人中随机抽取2人,这2人的积分之和不少于200分的有a1b1,a1b2,a1c,a2b1,a2b2,a2c,a3b1,a3b2,a3c,b1b2,b1c,b2c,共12种取法.设从这6人中随机抽取2人,这2人的积分之和不少于200分为事件A,则P(A)=1215=45,即从这6人中随机抽取2人,这2人的积分之和不少于200分的概率为45.(3)中位数为373.思路分析(1)根据频率分布直方图中的数据得到健步走的步数在3,5)内的人数为40,在5,7)内的人数为60,在7,9)内的人数为100,在9,11)内的人数为100,共

21、有300人;(2)根据分层抽样的概念得到在11,13)内应抽取3人,每人的积分都是90分,在13,15)内应抽取2人,每人的积分都是110分,在15,17)内应抽取1人,积分是130分,再根据古典概型概率公式得到概率;(3)由中位数的概念以及直方图可求出结果.5.(2019北京怀柔一模,17)某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销,准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量的使用情况,通过抽样调查,得到了100位员工月平均使用流量L(单位:M)的数据,其频率分布直方图如图所示.(1)从该企业的员工中随机抽取3人,求这3人中至多有1人月平均使用流量不超过900 M的概率;(2)据了解,某网络运

22、营商推出两款流量套餐,详情如下:套餐名称月套餐费(单位:元)月套餐流量(单位:M)A20700B301 000流量套餐的规则:每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量,则需要购买流量叠加包,每一个叠加包(包含200 M的流量)需要10元,可以多次购买,如果当月流量有剩余,将会被清零.该企业准备订购其中一款流量套餐,每月为员工支付套餐费,以及购买流量叠加包所需费用.若以所需费用的数学期望为决策依据,该企业订购哪一款套餐更经济?解析(1)由题意得100位员工月平均使用流量不超过900 M的概率为1-(0.000 2+0.000 8)100=0.9.设事件A为“3人中至多有1人月平均使用

23、流量不超过900 M”,则P(A)=C310.910.12+C300.900.13=0.028.(6分)(2)若该企业选择A套餐,设一个员工所需费用为X,则X可能为20,30,40,X的分布列为X203040P0.30.60.1E(X)=200.3+300.6+400.1=28.若该企业选择B套餐,设一个员工所需费用为Y,则Y可能为30,40,Y的分布列为Y3040P0.980.02E(Y)=300.98+400.02=30.2.E(X)0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5,所以2xa1+a2+amm(1mn)(2)a1+a2+annam+1+am

24、+2+ann-m(1m44,XN*.所以随机变量Y1的分布列为Y1140170200230260290320P0.050.050.20.30.20.150.05所以EY1=1400.05+1700.05+2000.2+2300.3+2600.2+2900.15+3200.05=236.同理,随机变量Y2的分布列为Y2100130180230280330P0.10.20.30.20.150.05所以EY2=1000.1+1300.2+1800.3+2300.2+2800.15+3300.05=194.5.因为EY1EY2,所以建议骑手选择方案1.9.(2020届北京十四中期中,16)为了研究某种

25、农作物在特定温度下(要求最高温度t满足:27 t30 )的生长状况,某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验.现有该地区历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度(单位:)的记录如下:(1)根据本次试验目的和试验周期,写出农学家观察试验的起始日期;(2)设该地区今年10月上旬(10月1日至10月10日)的日平均最高温度的方差和日平均最低温度的方差分别为D1,D2,估计D1,D2的大小;(直接写出结论即可)(3)从10月份31天中随机选择连续3天,求所选3天每天的日平均最高温度值都在27,30之间的概率.解析(1)由该地区历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度(单位:)的记录

26、得,要使连续10天日平均最高温度t满足27 t30 ,则农学家观察试验的起始日期为7日或8日.(2)D1D2.(3)设“连续三天日平均最高温度值都在27,30之间”为事件A,则基本事件空间为=(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(29,30,31),共29个基本事件,由题图可以看出,事件A中包含10个基本事件,所以P(A)=1029,即所选3天每天的日平均最高温度值都在27,30之间的概率为1029.思路分析(1)由该地区历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度(单位:)的记录,得到农学家观察试验的起始日期为7日或8日.(2)由题图得到D1D2.(3)基本事件空间为=(1,2,3

27、),(2,3,4),(3,4,5),(29,30,31),共29个基本事件,由题图可以看出,事件A中包含10个基本事件,由此能求出所选3天每天日平均最高温度值都在27,30之间的概率.10.(2020届北京五十中期中,17)诚信是立身之本,道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”,既便于学生用水,又推进诚信教育,并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”.为了便于数据分析,以四周为一周期,下表为该水站连续十二周(共三个周期)的“水站诚信度”数据统计:第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%(1)计算

28、表中十二周“水站诚信度”的平均数x;(2)分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据,设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数,求随机变量X的分布列和期望;(3)已知学生会分别在第一个周期的第四周周末和第二个周期的第四周周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动.根据已有数据,说明两次主题教育活动的宣传效果,并根据已有数据陈述理由.解析本题考查平均数的计算,考查离散型随机变量的分布列与数学期望,考查学生处理数据的能力,体现数据分析的核心素养.(1)十二周“水站诚信度”的平均数x=95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96121100=91%.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=141214=132,P(X=1)=341214+141214+141234=732,P(X=2)=341214+141234+341234=1532,P(X=3)=341234=932,X的分布列为X0123P1327321532932EX=0132+1732+21532+3932=2.(3)两次活动效果均好.理由:活动举办后,“水站诚信度”分别由88%增加到94%和由80%增加到85%,有明显提升.