2021版数学（理科）攻略大一轮复习课标版精练：专题十五　坐标系与参数方程（试题部分） WORD版含解析.docx

1、专题十五坐标系与参数方程探考情 悟真题【真题探秘】【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.极坐标方程能在极坐标中用极坐标表示点的位置,能通过极坐标和直角坐标的互化研究曲线的性质2019课标,22,10分极坐标方程轨迹问题2017课标,22,10分极坐标方程与直角坐标方程互化轨迹问题、三角函数求面积最值2016课标,23,10分极坐标方程求参数2015课标,23,10分极坐标方程与直角坐标方程互化三角函数求最值2.参数方程了解参数方程及参数的意义,能借助参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质2019课标,22,10分参数方程与普通方程互化距离最值2018课标,22,

2、10分参数方程与普通方程互化直线的斜率分析解读从近5年的高考情况来看,本专题内容一直是高考命题的热点,以解答题的形式出现,分值为10分.主要考查极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化,参数方程与普通方程的互化以及参数方程的应用,其中利用椭圆、圆的参数方程求最值及利用直线参数方程中参数的几何意义求值是高考考查的重点.解题时,应熟记互化公式和互化方法,巧妙设取参数,充分利用化归与转化思想在解题中的指导作用.考查学生的数学运算和逻辑推理素养.破考点 练考向【考点集训】考点一极坐标方程1.(2019豫南九校联考,22)在直角坐标系xOy中,直线l:y=3x,曲线C1的参数方程为x=cos,y=1+si

3、n(为参数),M是C1上的动点,P点满足OP=3OM,P点的轨迹为曲线C2.(1)求直线l与曲线C2的极坐标方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.解析(1)设P(x,y),则由条件知Mx3,y3.由于M点在C1上,所以x3=cos,y3=1+sin(为参数),即x=3cos,y=3+3sin(为参数),(2分)从而C2的参数方程为x=3cos,y=3+3sin(为参数),(3分)则C2的极坐标方程为=6sin .易知直线l的极坐标方程为=3(R).(5分)(2)曲线C1的极坐标方程为=2sin ,(6

4、分)又因为曲线C2的极坐标方程为=6sin ,直线l的极坐标方程为=3(R),所以直线l与C1的交点A的极径为1=2sin3,(7分)直线l与C2的交点B的极径为2=6sin 3,(8分)所以|AB|=|2-1|=4sin3=23.(10分)2.(2020届宁夏六盘山9月月考,22)在直角坐标系xOy中,已知圆C:x=2cos,y=2sin(为参数),点P在直线l:x+y-4=0上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求圆C和直线l的极坐标方程;(2)射线OP交圆C于R,点Q在射线OP上,且满足|OP|2=|OR|OQ|,求Q点轨迹的极坐标方程.解析(1)将圆C:x=2c

5、os,y=2sin(为参数)转化为普通方程为x2+y2=4,圆C的极坐标方程为=2.直线l的直角坐标方程为x+y-4=0,直线l的极坐标方程为=4sin+cos.(2)设P,Q,R的极坐标分别为(1,),(,),(2,).因为1=4sin+cos,2=2,且|OP|2=|OR|OQ|,所以12=2,所以=122=16(sin+cos)212,即=81+sin2.所以Q点轨迹的极坐标方程为=81+sin2.考点二参数方程1.(2018四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:x=22t,y=-1+22t(t为参数),曲线C的极坐标方

6、程是2-6cos +1=0,l与C相交于A、B两点.(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;(2)已知M(0,-1),求|MA|MB|的值.解析(1)直线l的参数方程为x=22t,y=-1+22t(t为参数),转化为普通方程为x-y-1=0.曲线C的极坐标方程是2-6cos +1=0,转化为直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.(2)把直线l的参数方程x=22t,y=-1+22t(t为参数)代入x2+y2-6x+1=0,得到t2-42t+2=0,设A点对应的参数为t1,B点对应的参数为t2,则|MA|MB|=|t1t2|=2.2.(2020届江西景德镇摸底测试,22)在极坐标系中,曲线C1的

7、极坐标方程是=244cos+3sin,以极点为原点O,极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中,曲线C2的参数方程为x=cos,y=sin(为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程;(2)将曲线C2经过伸缩变换x=22x,y=2y后得到曲线C3,若M,N分别是曲线C1和曲线C3上的动点,求|MN|的最小值.解析(1)C1的极坐标方程是=244cos+3sin,4cos +3sin =24,4x+3y=24,C1的直角坐标方程为4x+3y=24.曲线C2的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),C2的普通方程为x2+y2=1.(2)将曲线C2经过伸

8、缩变换x=22x,y=2y后得到曲线C3,则曲线C3的参数方程为x=22cos,y=2sin(为参数).设N(22cos ,2sin ),则N到曲线C1的距离d=|422cos+32sin-24|5=|241sin(+)-24|5,故当sin(+)=1时,|MN|取得最小值24-2415.炼技法 提能力【方法集训】方法1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(2019全国统一诊断卷A,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1-22t,y=-1+22t(t为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2+(6cos -2sin )+4=0.(1)求直线l的

9、极坐标方程;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,求1|OA|2+1|OB|2的值.解析(1)由x=1-22t,y=-1+22t(t为参数)两式相加得x+y=0,将x=cos,y=sin代入得cos +sin =0,(2分)整理得=34,(4分)所以直线l的极坐标方程为=34(R).(5分)(2)联立=34,2+(6cos-2sin)+4=0,得2+6cos34-2sin34+4=0,(6分)即2-42+4=0.(7分)设A1,34,B2,34,则1+2=42,12=4,(8分)所以1|OA|2+1|OB|2=112+122=(1+2)2-212(12)2=(42)2-2416=32.(10分)

10、方法2参数方程与普通方程的互化方法(2019海南海口一中模拟,21)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,2),其参数方程为x=a+s,y=2+s(s为参数,aR),以坐标原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin2-+8sin =0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1和曲线C2交于A,B两点,且PA+2PB=0,求实数a的值.解析(1)由x=a+s,y=2+s(s为参数,aR)消去s,可得x-y+2-a=0,由sin2-+8sin =0,得2sin2-2+8sin =0,x2=8y.(2)将曲线C1的参数方程化为x=

11、a+22t,y=2+22t(t为参数),代入曲线C2的方程,可得t2+(22a-82)t+2a2-32=0.由=(22a-82)2-4(2a2-32)0,解得a4.设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=82-22a,t1t2=2a2-32,又t1=-2t2,联立可得a=4(舍)或a=289.【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一极坐标方程1.(2019课标,22,10分)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,4,C2,34,D(2,),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),1,2,(1,),曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1

12、,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3,求P的极坐标.解析本题考查极坐标的概念,求极坐标方程等知识点,通过极坐标的应用考查学生的运算求解能力,以求极坐标方程、求点的极坐标为背景考查数学运算的核心素养.(1)由题设可得,弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为=2cos ,=2sin ,=-2cos .所以M1的极坐标方程为=2cos 04,M2的极坐标方程为=2sin 434,M3的极坐标方程为=-2cos 34.(2)设P(,),由题设及(1)知若04,则2cos =3,解得=6;若434,则2sin =3,解得=3或=23;若34,则-

13、2cos =3,解得=56.综上,P的极坐标为3,6或3,3或3,23或3,56.2.(2018课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解析(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在

14、圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.方

15、法总结极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有cos ,sin ,2的形式,然后利用公式代入化简得到直角坐标方程.(2)巧借两角和差公式,转化成sin(+)或cos(+)的形式,进而利用互化公式得到直角坐标方程.(3)将直角坐标方程中的x转化为cos ,将y转化为sin ,即可得到极坐标方程.考点二参数方程1.(2019课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2,y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos +3sin +11=0.

16、(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.解析本题主要考查学生对椭圆的参数方程、直线的极坐标方程的掌握与运用,考查曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的转化;考查学生的运算求解能力及化归与转化思想;考查的核心素养是数学运算.(1)因为-11-t21+t21,且x2+y22=1-t21+t22+4t2(1+t2)2=1,所以C的直角坐标方程为x2+y24=1(x-1).l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为x=cos,y=2sin(为参数,-).C上的点到l的距离为|2cos+23sin+11|7=4cos-3+117.当=-23时

17、,4cos-3+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为7.注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的“求C和l的直角坐标方程”更改为“求C的普通方程和l的直角坐标方程”更合适.思路分析(1)通过平方相加消参可得曲线C的普通方程,利用x与t的关系得出x-1,利用x=cos ,y=sin 将l的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)借助椭圆的参数方程、点到直线的距离公式求椭圆上的点到直线l的距离的最小值.失分警示在第一问中,学生易对x-1这一条件考虑不周,从而导致失分.2.(2018课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2co

18、s,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.解析(1)曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1.当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2c

19、os+sin)1+3cos2,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的“直角坐标方程”更改为“普通方程”更合适.方法总结以角为参数的参数方程,一般利用三角函数的平方关系:sin2+cos2=1将参数方程化为普通方程;而弦的中点问题常用根与系数的关系或点差法进行整体运算求解.3.(2017课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数),直线l的参数方程为x=a+4t,y=1-t(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的

20、点到l距离的最大值为17,求a.解析(1)曲线C的普通方程为x29+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由x+4y-3=0,x29+y2=1解得x=3,y=0或x=-2125,y=2425.从而C与l的交点坐标为(3,0),-2125,2425.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离d=|3cos+4sin-a-4|17.当a-4时,d的最大值为a+917.由题设得a+917=17,所以a=8.当a0)与圆=2cos 相切,则a=.答案1+22.(2019江苏,21B,10分)在极坐标系中,已知两点A3,4,B2,2,

21、直线l的方程为sin+4=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.解析本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.(1)设极点为O.在OAB中,A3,4,B2,2,由余弦定理,得AB=32+(2)2-232cos2-4=5.(2)因为直线l的方程为sin+4=3,则直线l过点32,2,倾斜角为34.又B2,2,所以点B到直线l的距离为(32-2)sin34-2=2.考点二参数方程1.(2019北京,3,5分)已知直线l的参数方程为x=1+3t,y=2+4t(t为参数),则点(1,0)到直线l的距离是()A.15B.25C.45D.65答案D2.(2019天津,

22、12,5分)设aR,直线ax-y+2=0和圆x=2+2cos,y=1+2sin(为参数)相切,则a的值为.答案34C组教师专用题组考点一极坐标方程1.(2017北京,11,5分)在极坐标系中,点A在圆2-2cos -4sin +4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为.答案12.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4cos-6+1=0与圆=2sin 的公共点的个数为.答案23.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线cos -3sin -1=0与圆=2cos 交于A,B两点,则|AB|=.答案24.(2015广东,14,5分)已知直线l的极坐标方程为2sin-4=

23、2,点A的极坐标为A22,74,则点A到直线l的距离为.答案5225.(2018江苏,21C,10分)在极坐标系中,直线l的方程为sin6-=2,曲线C的方程为=4cos ,求直线l被曲线C截得的弦长.解析本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.因为曲线C的极坐标方程为=4cos ,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆,因为直线l的极坐标方程为sin6-=2,所以直线l过点(4,0),倾斜角为6,设A(4,0),则A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则OAB=6.连接OB,因为OA为直径,所以OBA=2,所以AB=4cos6=23.因此,直线l被曲线C截得的弦

24、长为23.一题多解把直线和曲线的极坐标方程化成直角坐标方程得到l:x-3y-4=0,C:x2+y2-4x=0,则C:(x-2)2+y2=4,半径R=2,圆心(2,0)到l的距离d=22=1,因此,直线l被曲线C截得的弦长为2R2-d2=23.6.(2017课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为2,3,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.解析本题考查极坐标方程及其应用.(1)设P

25、的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=4cos.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程为=4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积S=12|OA|BsinAOB=4cos sin-3=2sin2-3-322+3.当=-12时,S取得最大值2+3.所以OAB面积的最大值为2+3.7.(2017课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt(t为参数),直线l2的参数方程为x=-2+m,

26、y=mk(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )-2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.解析本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程.(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2).设P(x,y),由题设得y=k(x-2),y=1k(x+2).消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(00).在以坐标原点为极点,

27、x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解析(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(3分)将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.(5分)(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组2-2sin+1-a2=0,=4cos.(6分)若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由ta

28、n =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),或a=1.(8分)a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.(9分)所以a=1.(10分)解后反思将曲线的参数方程化成普通方程后,容易看出曲线所属的类型.9.(2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是x=tcos,y=tsin(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,求l的斜率.解析(1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程2+1

29、2cos +11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R).(4分)设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0.于是1+2=-12cos ,12=11.(6分)|AB|=|1-2|=(1+2)2-412=144cos2-44.(8分)由|AB|=10得cos2=38,tan =153.(9分)所以l的斜率为153或-153.(10分)方法总结利用数形结合的思想方法及整体运算的技巧可以极大地提高解题效率.本题考查直线和圆的极坐标方程,极坐标的几何意义的应用.利用方程的思想方法是求解的关键.10.(2015课标

30、,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为=4(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.解析(1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(5分)(2)将=4代入2-2cos -4sin +4=0,得2-32+4=0,解得1=22,2=2,故1-2=2,即|MN|=2.由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为12.(10分)思路分析(

31、1)利用x=cos ,y=sin 求解;(2)将直线C3的极坐标方程代入圆C2的极坐标方程,通过解方程求出|MN|的值,再结合圆C2的半径求C2MN的面积.方法总结直角坐标方程与极坐标方程的互化方法:直角坐标方程极坐标方程11.(2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=tcos,y=tsin(t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=23cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线

32、C3的直角坐标方程为x2+y2-23x=0.联立x2+y2-2y=0,x2+y2-23x=0,解得x=0,y=0或x=32,y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32,32.(2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0.因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(23cos ,).所以|AB|=|2sin -23cos |=4sin-3.当=56时,|AB|取得最大值,最大值为4.思路分析(1)由互化公式把曲线C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程,联立方程求得交点的直角坐标;(2)求出C1的极坐标方程,进而得点A,B的极坐标分别为(2sin ,),(23cos ,),从

33、而得出|AB|=|2sin -23cos |,利用三角函数的相关知识可求其最大值.解题关键将|AB|表示成关于的函数是解第(2)问的关键.12.(2015江苏,21C,10分)已知圆C的极坐标方程为2+22sin-4-4=0,求圆C的半径.解析以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2+2222sin-22cos-4=0,化简,得2+2sin -2cos -4=0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为6.本题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等基础知识

34、,考查运算求解能力.考点二参数方程1.(2018天津,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线x=-1+22t,y=3-22t(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则ABC的面积为.答案122.(2015湖北,16,5分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin -3cos )=0,曲线C的参数方程为x=t-1t,y=t+1t(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.答案253.(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=1+12t,y=32t(t为参数),椭圆C的参数方程为

35、x=cos,y=2sin(为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.解析椭圆C的普通方程为x2+y24=1.将直线l的参数方程x=1+12t,y=32t代入x2+y24=1,得1+12t2+32t24=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-167.所以AB=|t1-t2|=167.本题主要考查直线和椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.4.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=-8+t,y=t2(t为参数),曲线C的参数方程为x=2s2,y=22s(s为参数).设P

36、为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.解析直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,22s),从而点P到直线l的距离d=|2s2-42s+8|12+(-2)2=2(s-2)2+45.当s=2时,dmin=455.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值455.5.(2015湖南,16(2),6分)已知直线l:x=5+32t,y=3+12t(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,3),直线l与曲线C

37、的交点为A,B,求|MA|MB|的值.解析(1)=2cos 等价于2=2cos .将2=x2+y2,cos =x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.(2)将x=5+32t,y=3+12t代入,得t2+53t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义知,|MA|MB|=|t1t2|=18.6.(2016课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin+4=22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C

38、1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解析(1)C1的普通方程为x23+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(3cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()=|3cos+sin-4|2=2sin+3-2.(8分)当且仅当=2k+6(kZ)时,d()取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为32,12.(10分)思路分析(1)对于C1的参数方程,利用sin2+cos2=1消去参数可得C1的普通方程,对于C2的极坐标方程,由两角和的正弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得C

39、2的直角坐标方程;(2)由C1的参数方程设出P点的直角坐标,利用点到直线的距离公式和三角函数的知识进行求解.方法总结求与曲线上动点有关的最值时,常利用曲线的参数方程表示出曲线上的动点,从而利用三角函数的知识求最值,这样可以极大简化运算过程.7.(2015陕西,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+12t,y=32t(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=23sin .(1)写出C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解析(1)由=23sin ,得2=23sin ,从而有x2+y2=23y,

40、所以x2+(y-3)2=3.(2)设P3+12t,32t,又C(0,3),则|PC|=3+12t2+32t-32=t2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).8.(2014课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos ,0,2.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1).可得C的参数方程为x=1+cost,y=sint(t为参数,0t).(2)

41、设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,即tan t=3,t=3.故D的直角坐标为1+cos 3,sin3,即32,32.思路分析(1)先把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,再求其参数方程;(2)利用曲线C的参数方程设出点D的直角坐标,由切线的性质求解.9.(2014课标,23,10分)已知曲线C:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大

42、值与最小值.解析(1)曲线C的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离d=55|4cos +3sin -6|.则|PA|=dsin30=255|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =43.当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255.当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255.思路分析(1)利用三角换元的方法求曲线C的参数方程,消去参数t得直线l的普通方程;(2)利用曲线C的参数方程表示出P的直角坐标,由点到直线的距离公式及解直角三角形建立|PA|关于的

43、函数,利用三角函数的知识求最值.【三年模拟】解答题(共80分)1.(2020届山西太原五中第二次诊断,22)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=tcos,y=tsin(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1:=2cos ,C2:=2cos-3.(1)求C1与C2交点的直角坐标;(2)若直线l与曲线C1,C2分别相交于异于原点的点M,N,求|MN|的最大值.解析(1)由=2cos ,得2=2cos ,则曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=2x.由=2cos-3,得2=cos +3sin ,则曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-x-3y=0.由x2+y2=2

44、x,x2+y2-x-3y=0解得x=0,y=0或x=32,y=32,故C1与C2交点的直角坐标为(0,0),32,32.(2)由题意可知直线l过极点,设极坐标方程为=(00),与C1,C2的公共点分别为A,B,0,2,当|OB|OA|=4时,求的值.解析本题主要考查参数方程与普通方程的互化,直角坐标方程与极坐标方程的互化,极坐标的几何意义,考查的核心素养是直观想象,数学运算.(1)因为x=cos ,y=sin ,所以曲线C1的极坐标方程为cos +sin -1=0.消去参数可得曲线C2的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2-4x+y2=0.因为x=cos ,x2+y2=2,所以曲线C2的极

45、坐标方程为=4cos .(5分)(2)设点A,B的极坐标分别为(1,),(2,),10,20.因为点A在曲线C1上,所以1cos +1sin -1=0,则1=1cos+sin.同理,点B在曲线C2上,所以2=4cos .由极坐标的几何意义知,|OB|OA|=21=4cos1cos+sin=4,所以cos (cos +sin )=1,所以cos2+cos sin =1,即cos sin =sin2.又0,2,所以sin 0,则cos =sin ,所以=4.(10分)思路分析(1)根据x=cos ,y=sin 将曲线C1的直角坐标方程化为极坐标方程.先将曲线C2的参数方程化为普通方程,再化为极坐标

46、方程.(2)利用极坐标的几何意义得|OB|OA|,再利用三角函数知识求解.3.(2020届云南昆明第二次月考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1+cos,y=sin(为参数),以O为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为3sin -cos +1=3m.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)设点P(1,m),若直线l与曲线C相交于A,B两点,是否存在m使得|PA|=8|PB|?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.解析(1)曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=1,直线l的直角坐标方程为3y-x+1-3m=0,即x-3y-1+3m=

47、0.(2)由于直线l过点P(1,m),倾斜角为30,故直线l的参数方程为x=1+32t,y=m+12t(t为参数).设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并化简,得t2+mt+m2-1=0.则=4-3m20,解得-233m233.|PA|PB|=|t1t2|=|m2-1|=8,解得m=3,不满足-233m0知(4cos +6sin )2-360,则4cos +6sin 6或4cos +6sin 0而使取值范围扩大,从而导致求解错误.5.(2018四川绵阳模拟,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是x=3+5cos,y=4+5sin(为参数),以坐

48、标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)设l1:=6,l2:=3,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求AOB的面积.解析(1)曲线C的参数方程是x=3+5cos,y=4+5sin(为参数),曲线C的普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,即x2+y2-6x-8y=0.(2分)曲线C的极坐标方程为=6cos +8sin .(4分)(2)把=6代入=6cos +8sin ,得1=4+33,A4+33,6.(6分)把=3代入=6cos +8sin ,得2=3+43,B3+43,3.(8分)SAOB=1212sinAOB=12(4+33)(3

49、+43)sin3-6=12+2534.(10分)6.(2019山西3月质检,22)在极坐标系中,直线l:cos =3,P为直线l上一点,且点P在极轴上方,以OP为边作正三角形OPQ(逆时针方向),且OPQ的面积为3.(1)求Q点的极坐标;(2)求OPQ外接圆的极坐标方程,并判断直线l与OPQ外接圆的位置关系.解析(1)设P3cos,02,由三角形面积公式得343cos2=3,则cos2=34,cos =32,又02,=6.OPQ为正三角形,且点Q在P点左边,OQ的极角为2,且|OP|=|OQ|=2.Q点的极坐标为2,2.(5分)(2)设OR为OPQ的外接圆的一条直径,OPQ为正三角形,由正弦定

50、理可得其外接圆直径|OR|=433.设M(,)为OPQ外接圆上异于点O,R的任意一点,在RtOMR中,cos3-=|OR|,M(,)满足=433cos3-.故OPQ外接圆的极坐标方程为=433cos3-.(8分)直线l:x=3,OPQ外接圆的直角坐标方程为x2+y2-233x-2y=0,即x-332+(y-1)2=43.圆心到直线l的距离d=233,等于半径.故直线l与OPQ的外接圆相切.(10分)7.(2019新疆乌鲁木齐模拟,21)在直角坐标系xOy中,圆O的方程为x2+y2=1.(1)将其横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到曲线C,求曲线C的方程;(2)已知直线l的参数方程是x=1+

51、tcos,y=tsin(t为参数),l与C交于A,B两点,求|AB|的最小值.解析(1)根据题意,设P(x,y)为曲线C上任意一点,其对应圆O上的点的坐标为22x,y,又圆O的方程为x2+y2=1,则有x22+y2=1,即曲线C的方程为x22+y2=1.(2)因为曲线C的方程为x22+y2=1,直线l的参数方程是x=1+tcos,y=tsin(t为参数),所以(1+tcos )2+2t2sin2-2=0,变形可得(1+sin2)t2+2tcos -1=0,则有t1+t2=-2cos1+sin2,t1t2=-11+sin2,则|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=221+sin

52、2,当=2,即sin =1时,|AB|最小,此时|AB|=2.8.(2018河南郑州二模,22)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点A的极坐标为2,4,直线l的极坐标方程为cos-4=a,且l过点A,曲线C1的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数).(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值;(2)过点B(-1,1)与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M,N两点,求|BM|BN|的值.解析(1)由直线l过点A可得2cos4-4=a,故a=2,则易得直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.(2分)根据点到直线的距离公式可得曲线C1上的点到直线l的距离d=|2cos+3sin-2|2=|7sin(+)-2|2,其中满足sin =277,cos =217,dmax=7+22=14+222.(5分)(2)由(1)知直线l的倾斜角为34,则直线l1的参数方程为x=-1+tcos34,y=1+tsin34(t为参数).又易知曲线C1的普通方程为x24+y23=1.(7分)把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得72t2+72t-5=0,设M、N对应的参数分别为t1,t2,t1t2=-107,依据直线参数方程中参数的几何意义可知|BM|BN|=|t1t2|=107.(10分)