2022-2023学年高考数学一轮复习 解题技巧方法 第一章 第12节 一类双参问题的切线分析（教师版）.docx

1、一类双参问题的切线分析知识与方法本节针对的题型是在函数满足或恒成立的条件下，研究一些关于和的双参代数式的最值问题，以及相关的一些演变题型.请通过下面的一组题去感悟其中的解题方法和技巧吧.典型例题【例题】若直线和的图象相切，则的最小值为_.【解析】解法1：设和的图象相切于点，因为，所以的图象在点P处的切线方程为，即,从而，所以，设，则，所以，故在上，在上，从而,所以的最小值为0.解法2：如图，表示切线上横坐标为1的点的纵坐标，易得在处的切线方程为，对于这条切线，而对于其它切线，显然切线上横坐标为1的点必在轴的上方，所以，故的最小值为0.【答案】0变式1若直线和的图象相切，则的最小值为_.【解析】

2、解法1：设和的图象相切于点，因为，所以的图象在点处的切线方程为,即，从而，故，设，则，所以，从而在上，在上，故，所以的最小值为.解法2：切线在轴上的截距为，所以欲寻找的最小值，只需寻找横截距的最大值，如图，对于切线，其横截距为1，而对于其它切线，横截距显然都小于1，所以切线的横截距的最大值为1，即的最小值为.【答案】【反思】本题若将条件改为恒成立，问题不变，答案和原来一样吗?不明白的同学去看看视频吧.变式2若不等式恒成立，则的最小值为_.【解析】解析：，若，则当时，,或，不等式不可能恒成立，所以，此时，设，则，又，所以的大致图象如图，当最小时，最大，注意到是直线在轴上的截距，由图可知当最大时，

3、必为的图象在处的切线，从而的最大值为1，故的最小值为.【答案】变式3若不等式对任意的恒成立，则：（1）当时，的最小值为_;（2）当时，的最小值为_.【解析】（1）解法1：当时，即为，设，则，所以，从而在上，在上，故，因为恒成立，所以，故的最小值为1.解法2：当时，即为，易证，所以，当且仅当时取等号，故，因为恒成立，所以，故的最小值为1.（2），故直线：始终在图象的上方（可以有交点），要使最小，则直线的横截距最大，如图所示即为直线的横截距最大的情形，且的最大值为，所以的最小值为.【答案】（1）1；（2）强化训练1.（）已知直线是曲线的一条切线，则的最大值是_.【解析】解法1：设切点为，所以切线方

4、程为，整理得：，所以，从而，设，则，所以，,从而在上，在上，故，即的最大值为.解法2：，所以曲线如图，是曲线上的一点，当直线恰为点处的切线时，因为点也在切线上，所以，若直线不是点处的切线，如图中的，则点必在图中的点的上方，从而此时，所以的最大值为.【答案】2.（）设函数，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_.【解析】，设，则，所以在上，故的大致图象如图所示，当最大时，直线必为图象的切线，注意到直线在轴上的截距为，所以要使最大，只需该直线的横截距最大，横截距最大的情形如图所示，即直线恰为在处的切线的情形，显然横截距的最大值为，所以的最大值为.【答案】3.（）已知为自然对数的底数，且不等式对任意

5、的恒成立，则当取得最大值时，的值为_.【解析】，设，则，所以在上，结合可得的大致图象如图所示，由图可知当最大时，直线必与的图象相切，（为什么？视频中会讲哦）要使最大，则直线在轴上的截距最大，此时的情形如图所示，即直线恰为在处的切线的情形，易求得该切线的方程为，所以，故.【答案】4.（）已知不等式对任意的都成立，则的最大值为_.【解析】由题意，所以，设，则的图象与轴的交点为，如图所示，要使最大，则直线在轴上的截距最小，此时恰为在处的切线，且该截距的最小值为，所以的最大值为.【答案】5.（）已知，若存在实数，使得在上有2个零点，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.【解析】设，则，所以，当时，所以问题等价于存在实数，使得方程在上有2个解，记，则，设为图象上一点，则在点处的切线为，即，也即，该切线在横轴上的截距为，设，则，所以，故在上，在上，如图1，设切线与轴交于点，由前面的分析过程可得，当在轴上方部分时，往右，则往左，当在轴下方部分时，往右，则往右，当恰好移动到右端点处时，如图2，此时，切线方程为，即，故，所以当时，折线与的图象不可能有2个交点，不合题意，当时，折线与的图象不可能有2个交点，不合题意，当时，折线与的图象可能有2个交点，符合题意，如图3和图4，所以的取值范围为.【答案】A