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1、2022 学年第一学期高二年级三校联考 数学学科 参考答案 选择题部分 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.C 2.C 3.A 4.D5.C6.A 7.B 8.B二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9.AC10BC11BCD 12.ABD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13)0,1314315 12me16.6四、解答题：本大题共 6 小题

2、，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（本题满分 10 分）ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c，设222sinsinsin2sinsinABCAB+=（）求角C 的大小；（）若3cos5B=，D 是边 BC 上一点，且4CDBD=，ACD的面积为 75，求 AC 的长【解】（）由正弦定理知，2222abcab+=，则由余弦定理知，2222cos22abcCab+=，又在 ABC中，(0,)C，故4C （）由3cos5B=，知4sin5B=，42327 2sinsin()525210ABC=+=+=，由正弦定理知，sin7 2sin8AabbB=，又4

3、CDBD=，则47 2510CDab=，2117 2277sin22102205ACDSCD ACCb bb=，则2ACb=18（本题满分 12 分）已知 ABC的顶点(4,1)A，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为260 xy=，ABC的角平分线所在的直线方程为 230 xy+=（）求顶点 B 的坐标；（）求边 BC 所在的直线方程【解】（）由题意可设点(,32)B tt则边 AB 的中点4(,2)2tMt+代入260 xy=有4(2)60tt+=解得2t=所以顶点 B 的坐标为(2,1)B（）由题意知，点 A 关于角平分线230 xy+=的对称点A 在直线 BC 上可设(,)A m n

4、 得:41230221142mnnm+=解得:4475 (,)7555mAn=得直线 BC 的斜率71154725k+=+所以边 BC 所在的直线方程是1(1)(2)7yx=即790 xy=19.（本题满分 12 分）如图，已知三棱锥 SABC，SAABC 平面，120ABC=，2AB=，1BC=，3SA=,M N 分别为,SB SC 的中点（）证明：BCAMN平面；（）求点 M 到平面 ABN 的距离【解】NMSABC所以点 M 到平面 ABN 的距离1510d=20（本题满分 12 分）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知

5、识竞赛，满分 100 分（95 分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成 5 组，其中第一组：)20,25，第二组：)25,30，第三组：)30,35，第四组：)35,40，第五组：40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有 10 人（）根据频率分布直方图，估计这m 人的年龄的平均数和第 80 百分位数；（）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 20 人，担任本市的“中国梦”宣传使者（i）若有甲（年龄 38），乙（年龄 40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取 2 名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第

6、四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为 37 和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为 43 和 1，据此估计这m 人 3545 岁所有人的年龄的方差【解】（）设这m人的年龄的平均数为 x，则22.5 0.05 27.5 0.35 32.5 0.3 37.5 0.242.5 0.132.25x=+=（岁）.设第 80 百分位数为a，方法一：由5 0.02(40)0.040.2a+=，解得37.5a=.方法二：由0.050.350.3(35)0.040.8a+=，解得37.5a=.（）（i）由题意得，第四组应抽取 4 人，记为 A，B，C，甲，第五组抽取 2 人，记为 D，乙，对应的样本

7、空间为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A BA CAAA DB CBBB DCC=甲乙甲乙甲乙(,),(,),(,),(,)C DDD甲乙 甲乙，共 15 个样本点.设事件 M=“甲、乙两人至少一人被选上”，则(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)MAABBCCDD=甲乙甲乙甲乙 甲乙 甲乙，共有 9 个样本点.所以，()3()()5n MP Mn=.（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x，5x，方差分别为24s，25s，则437x=，543x=，2452s=，251s=，设第四组和第

8、五组所有宣传使者的年龄平均数为 z，方差为2s.则4542396xxz+=，()()2222245451 42106ssxzsxz=+=，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为 10，据此，可估计这m人中年龄在 3545 岁的所有人的年龄方差约为 10.21.（本题满分 12 分）如图，平行六面体1111ABCDA BC D中，CBBD，145C CD=，160C CB=，11CCCBBD=（）求对角线1CA 的长度；（）求二面角1CBDC的余弦值【解】（）求得 CD=2,以向量CB,CD,CC1 为基底，CA1=CB+CD+CC1,平 方 得 CA1 2=(CB+CD+CC1)2=CB

9、 2+CD 2+CC1 2+2CB CD+2CB CC1+2CD CC1=9，所以CA1=3（）设二面角 C-BD-C1为，求得C1D=1，所以C1CD为等腰直角三角形，取 BD 中点 O，连接C1O,则C1O BD,又CB BD CC1=CB+BO+OC1,平 方 得：CC1 2=CB 2+BO 2+OC1 2+2 CB BO+2 BO OC1+2CB OC1=2 3cos，所以2 3cos=1，cos=33（按建立空间直角坐标系解答的酌情给分）22（本题满分 12 分）如图，设直线 1l：0 x=，2l：340 xy=点 A 的坐标为()31,4aa过点 A 的直线l 的斜率为k，且与 1

10、l，2l 分别交于点,M N（,M N 的纵坐标均为正数）（）设1a=，求 MON面积的最小值；（）是否存在实数a，使得11OMON+的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，请说明理由【解】（）因为直线 l 过点()31()4Aaa，且斜率为 k，所以直线 l 的方程为()1yk xa=+因为直线 l 与 1l，2l 分别交于点 M，N，所以34k，因此由()01xyk xa=+得0 xyak=，即()0Mak，由()3401xyyk xa=+得44433343kaxkkayk=，即44334343kakaNkk，又因为 M，N 的纵坐标均为正数，所以033043akkak，即

11、0430akk，而34a，因此34k 又因为当1a=时，直线 OA 的方程为0 xy=，()01Mk，44 3343 43kkNkk，且2OA=，所以点 M 到直线 OA 的距离为()2 1122kk=，点 N 到直线 OA 的距离为()()44332 12143432 432 342kkkkkkkk=，因此MON面积()()()()22 12 12 112222 3434kkkSkk=+=令3 4tk=，则0t 且34tk=，因此()2232 1148ttStt+=11111222882tttt=+=，当且仅当1tt=，即1t=时，等号成立，所以 S 的最小值为 12，即MON面积的最小值为 12（）存在实数2a=，使得11OMON+的值与 k 无关由(1)知：()0Mak，44334343kakaNkk，且0430akk，因此 OMak=，()534akONk=，所以()()()4 21113455kkOMONakakak+=+=又因为20k，所以当2a=时，11OMON+为定值 45，因此存在实数2a=，使得11OMON+的值与 k 无关