2022届天津市南开中学高三第四次学情调查数学试卷.docx

1、南开中学2022届高中三年级第四次学情调查数学学科 试题本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至3页，第II卷4至6页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案填涂在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将答题卡交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。. 本卷共9小题，每小题5分，共45分。一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合U

2、=1,2,3,4,5,6,7，A=1,3,5,7，B=1,2,3,4，则ACUB=（A）1,3（B）2,4（C）5,7（D）1,2,3,4,5,7（2）设xR，则“x12”是“2x2+x10”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）函数y=4xx2+1的图象大致为（A）（B）（C）（D）（4）某市通过统计50个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为：4,6，6,8，8,10，10,12，12,14，14,16，16,18.为了鼓励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量不少于14吨的社区划定为试点社区，则这样的试点

3、社区个数是（A）4（B）10（C）19（D）40（5）设a=log23，b=log46，c=0.50.1，则（A）abc（B）bac（C）cab（D）cba（6）已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC是边长为3的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为323，那么三棱锥PABC的体积为（A）934（B）334（C）932（D）332（7）若将函数gx图象上所有点向右平移6个单位长度后得到函数fx的图象，已知函数fx=Asinx+A0,0,0,b0与抛物线N:y2=8x有一个公共的焦点F，若双曲线M与抛物线N的一个交点为P，且PF=5，则双曲线M的离心率为（A）5（B）3（C）233（D）2（

4、9）已知函数fx=2x28x+10，x2，e2x+x1，x2，若fxxm恒成立，则实数m的取值范围为（A）18,52ln2（B）,42ln2（C）14,42ln2（D）14,52ln2第II卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共11小题，共105分。二填空题：本大题共6小题，每小题分，共30分（10）已知复数z=3+i1+i，则z= _.（11）二项式xx24的展开式中x3的系数为_.（12）过点M3,1作一条直线l截圆x2+y22x+4y4=0所得弦长为25，则直线l的方程是_.（13）已知正数a，b满足12a+1b=1ab，则4a2+ab+b2的最小值为_.（1

5、4）天津是一个古老与现代、保守与开放相融合的城市，历经600多年，特别是近代造就了中西合璧、古今兼容的独特城市风貌，成为国内外游客首选的旅游胜地. 2021年元月以来，来天津游览的游客络绎不绝，现通过对来津游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩的概率都是23，不游玩的概率都是13，若不游玩记1分，继续游玩记2分，游客之间选择意愿相互独立，从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，则X的数学期望EX=_.（15）如图，在菱形ABCD中，AB=3，BAD=60，E，F分别为线段BC，CD上的点，CE=2EB，CF=2FD，点M在线段EF上，且满足AM=xAB+56ADxR，则x=_；若点N为线段

6、BD上一动点，则ANMN的取值范围为_.三解答题：本大题共小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（16）（本小题满分14分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC acosB+bcosA+c=0.（I）求角C的大小；（II）若a=2，b=2. 求：（）边长c；（）sin2BC的值.（17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，BCAD，点M是棱PD上一点，且AB=BC=2，AD=PA=4.（I）若PMMD=12，求证：PB平面ACM；（II）求二面角ACDP的正弦值；（III）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为6

7、3，求MD的长.（18）（本小题满分15分）设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为SnnN.已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6.（I）求an和bn的通项公式；（II）设数列1an的前n项和为Tn.记cn=3+T2n12b2n1+3+T2n2b2n，求cn；（III）求.（19）（本小题满分15分）已知椭圆Cx2a2+y2b2=1ab0过点2,22，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，且OA=2OB.（I）求椭圆C的方程；（II）过点A的直线l1与椭圆C交于另一点M，过点B的直线l2与椭圆交于另一点N，直线l1与l2的斜率的乘积为14，点M

8、和点N关于y轴对称，求直线l1的斜率.（20）（本小题满分16分）已知fx=sinnx，gx=lnx+mex.（n为正整数，mR）（I）若y=gx在x=1处的切线垂直于直线y=12x，求实数m的值；（II）当n=1时，设函数x=x212fx，x0,，证明：x有且仅有1个零点；（III）当n=2时，证明：fx2+gxx+mex1.2022届南开中学高三第四次学情调查（数学）参考答案一、 单选题15. CADBA 69. DCDA二、 填空题10. 511. 3212. x=3或3x+4y5=013. 5214. 515. 12，3716,34三、 解答题16. （）；（）（）；（）.17. （I

9、）证明：在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，BCAD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，点M是棱PD上一点，PM：MD1：2，ABBC2，ADPA4P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，），（2，0，4），（2，2，0），（0，），设平面ACM的法向量，则，取x2，得（2，2，1），440，PB平面ACM，PB平面ACM（II）D（0，4，0），（2，2，4），（0，4，4），设平面CDP的法向量（a，b，c），则，取b1，得（1，1，1），平面ACD的法向量（0，0，1），设二面角ACDP的平面角为，则

10、|cos|，二面角ACDP的正弦值为（III）设，（01），则，平面CDP的法向量，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，| |，解得，18. （）设数列的公差为，数列的公比为（），由，可得，解得或（舍去），所以，由，则，解得，所以，解得，所以，解得，且，解得，所以.综上所述，.（）由（）中，所以，故.（）设， 可得，即，所以，故.19. （I）因为，即，又椭圆过点，所以，解得，椭圆方程为.（II）设直线的方程为，则得，解得，所以.因为直线的斜率乘积为，所以直线的方程为，同理可得.因为M，N关于y轴对称，所以，即，解得.所以直线的斜率为20. （），依题意得 （）要证仅有1个零点，即证仅有1个实根即证，仅有1个实根 当时，在区间p2,p上单调递增， 又，所以在区间p2,p上有一个零点. 当时，设.，所以在区间上单调递增.又，所以存在，使得.所以，当时，即单调递减；当时，即单调递增；又，.所以在区间上无零点. 综上所述，函数在内只有一个零点. （）当时，要证，只需证： 令，所以在单调递减所以所以 要证（1），只需证 法一：令 令 ，在单调递减，使，即，当，单调递增当，单调递减，所以原命题得证 ，法二：令在单调递减，在单调递增， ，即证原命题得证