2022届高中数学（理科）《统考版》一轮复习学案：9-5 椭圆 WORD版含解析.docx

1、第五节椭圆【知识重温】一、必记3个知识点1椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆_为椭圆的焦点|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)_为椭圆的焦距2.椭圆的简单几何性质(a2b2c2)标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：_对称中心：_顶点A1_，A2_B1_，B2_A1_，A2_B1_，B2_性质轴长轴A1A2的长为_短轴B1B2的长为_焦距|F1F2|_离心率e_a，b，c的关系_3.椭圆中的4个常用结论(1)设椭圆1(ab0)上任意一点P(x，y)，则当x0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴

2、端点处；当xa时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2b2c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则ac|PF|ac.二、必明3个易误点1椭圆的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件，当2a|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2ab0)3注意椭圆的范围，在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”

3、)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(5)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(6)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等()二、教材改编2已知椭圆1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于()A8B7C6D53过点A(3，2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1三、易错易混4若方程1表示椭圆，则m的取值范围是()A(3,

4、5) B(5,3)C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3)5已知椭圆1(m0)的离心率e，则m的值为_四、走进高考62019全国卷已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1椭圆的定义及其标准方程自主练透型12021安徽省示范高中名校高三联考已知椭圆C：1(ab0)，F1，F2为其左、右焦点，|F1F2|2，B为短轴的一个端点，三角形BF1O(O为坐标原点)的面积为，则椭圆的长轴长为()A4 B8C. D122021大同市高三学情调研测试试题在平面直角坐标系xO

5、y中，椭圆C的中点为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为()A.1 B.1C.1 D.132021深圳市普通高中高三年级统一考试已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆x21上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为()A2 B4C8 D16悟技法求椭圆标准方程的2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2

6、By21(A0，B0，AB)考点二椭圆的几何性质分层深化型考向一：求离心率的值例12021长沙市高三年级统一模拟考试设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0tb)，已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若PEF2的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.考向二：求离心率的范围例2已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)，P是椭圆上一点，|PF2|F1F2|2c，若PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.悟技法求椭圆离心率的三种方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，

7、c的值(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.考向三：最值(或范围)问题例3已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是_悟技法求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa

8、，byb,0eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2BAP，则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.拓展练(着眼于迁移应用)42021湖南长沙一中月考已知椭圆1(abc0)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的一条切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(ac)，则椭圆的离心率e的取值范围是_考点三直线与椭圆的位置关系互动讲练型例42020全国卷已知椭圆C：1(0m0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当0)，把点A(3，2)代入得1，解得10或2(舍去)

9、，故所求椭圆的方程为1.答案：A4解析：由方程表示椭圆知解得3m0)，则|AF2|2x，|AB|3x，|BF1|3x，|AF1|4a(|AB|BF1|)4a6x，由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a4x，所以|AF1|2x.在BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2|F2B|2|F1F2|22|F2B|F1F2|cosBF2F1，即9x2x2224xcosBF2F1，在AF1F2中，由余弦定理得|AF1|2|AF2|2|F1F2|22|AF2|F1F2|cosAF2F1，即4x24x2228xcosAF2F1，由得x，所以2a4x2，a，b2a2c22.故椭圆的方程为1.故选B.答案：B课堂考点

10、突破考点一1解析：由题意可知c，SBF1Obcb，b，所以a4，所以长轴长为2a8，故选B.答案：B2解析：设椭圆的方程为1(ab0)，由e21，得a22b2，根据椭圆的定义可知ABF2的周长为4a，所以4a16，即a4，a216，b28，则椭圆的标准方程为1.答案：D3解析：由x21可知a2，b1，c，不妨令F1(0，)，F2(0，)，则|MF2|MN|NF2|，而|MF1|MN|，所以当N，M，F2三点共线时(M在线段NF2上)，|NF2|取得最大值，此时|NF2|NM|MF2|MF1|MF2|2a4，选B.答案：B考点二例1解析：如图，连接PF1，EF1，则|EF1|EF2|.由椭圆的定

11、义知|PF1|PF2|2a，|PF2|2a|PF1|.PEF2的周长为|PE|PF2|EF2|PE|2a|PF1|EF2|2a|EF2|PE|PF1|2a|EF2|EF1|2a3b，椭圆C的离心率e，故选D.答案：D例2解析：根据题意有|PF1|2a2c，|PF2|F1F2|2c，则cosPF2F12，因为PF2F1，所以cosPF2F1，所以120.所以23e.故选D.答案：D例3解析：由椭圆的方程可知a2，由椭圆的定义可知，|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，由椭圆的性质可知3.所以b23，即b.答案：同类练1解析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x

12、，y)，则yx，由|AB|2c，可知|OA|c(O为坐标原点)，即c，解得xc，所以A，把点A坐标代入椭圆方程得1，又a2b2c2，整理得，8e418e290，即(4e23)(2e23)0，又0e1，所以e.答案：变式练2解析：椭圆1的长轴在x轴上，解得6mc)，|PF2|的最小值为ac，所以|PT|的最小值为.依题意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21.由，得e.答案：考点三例4解析：(1)由题设可得，得m2，所以C的方程为1

13、.(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ0，由题意知yP0.由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y(x5)，所以|BP|yP，|BQ|.因为|BP|BQ|，所以yP1，将yP1代入C的方程，解得xP3或3.由直线BP的方程得yQ2或8.所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(3,1)，Q2(6,8)|P1Q1|，直线P1Q1的方程为yx，点A(5,0)到直线P1Q1的距离为，故AP1Q1的面积为.|P2Q2|，直线P2Q2的方程为yx，点A到直线P2Q2的距离为，故AP2Q2的面积为.综上，APQ的面积为.变式练5解析：(1)设椭圆方程为1(a0，b0)，因为c1，所以a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，则由得(34k2)x28kx80，且0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由2得x12x2.又所以，消去x2，得2.解得k2，k.所以直线l的方程为yx1，即x2y20或x2y20.